福建专版2020中考数学复习方案第三单元函数及其图象课时训练15二次函数的图象与性质2.docx

课时训练(十五)　二次函数的图象与性质2
(限时:40分钟)

|夯实基础|
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图K15-1所示,下列结论:①ac<0,②b-2a<0,③b2-4ac<0,④a-b+c<0,正确的是 (　　)

图K15-1
A.①② B.①④ C.②③ D.②④
2.[2019·烟台]已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:
x
-1
0
2
3
4
y
5
0
-4
-3
0
下列结论:①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线x=2;③当0<x<4时,y>0;④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4;⑤若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,则x1<x2.
其中正确的个数是 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
3.[2019·深圳]已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图K15-2所示,则函数y=ax+b与y=cx的图象为 (　　)

图K15-2 图K15-3
4.[2019·天津]二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=ax2+bx+c
…
t
m
-2
-2
n
…
且当x=-12时,与其对应的函数值y>0.有下列结论:①abc>0;②-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根;③0<m+n<203.其中,正确结论的个数是 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
5.[2019·荆门]抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为　　　　. 
6.[2018·镇江]已知二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,则实数k的取值范围是　　　　. 
7.[2019·云南]已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.
(1)求k的值;
(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.

8.如图K15-4,在同一直角坐标系中,二次函数的图象与两坐标轴分别交于点A(-1,0),点B(3,0)和点C(0,-3),一次函数的图象与抛物线交于B,C两点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)结合图象,直接写出当一次函数值小于二次函数值时自变量x的取值范围.

图K15-4

|能力提升|
9.[2019·达州]如图K15-5,抛物线y=-x2+2x+m+1(m为常数)交y轴于点A,与x轴的一个交点在(2,0)和(3,0)之间,顶点为B.
①抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点;②若点M(-2,y1)、点N12,y2、点P(2,y3)在该函数图象上,则y1<y2<y3;③将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,所得的抛物线解析式为y=-(x+1)2+m;④点A关于直线x=1的对称点为C,点D,E分别在x轴和y轴上,当m=1时,四边形BCDE周长的最小值为34+2.其中正确判断的序号是　　　　. 

图K15-5
10.已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为 (　　)
A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或3
11.[2019·杭州]在平面直角坐标系中,已知a≠b,设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点,函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点,则 (　　)
A.M=N-1或M=N+1 B.M=N-1或M=N+2
C.M=N或M=N+1 D.M=N或M=N-1
12.如图K15-6,抛物线y=ax2+bx-4a(a≠0)的对称轴为直线x=32,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,4).
(1)求抛物线的解析式,结合图象直接写出当0≤x≤4时y的取值范围;
(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,点D关于直线BC的对称点为E,求点E的坐标.

图K15-6

|思维拓展|
13.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点,且图象过A(x1,m),B(x1+n,m)两点,则m,n的关系为 (　　)
A.m=12n B.m=14n
C.m=12n2 D.m=14n2
14.[2019·雅安]已知函数y=-x2+2x(x>0),-x(x≤0)的图象如图K15-7所示.若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点,则m的取值范围为　　　　. 

图K15-7

【参考答案】
1.A
2.B　[解析]先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线,由图象可以看出抛物线开口向上,所以结论①正确,由图象(或表格)可以看出抛物线与x轴的两个交点分别为(0,0),(4,0),所以抛物线的对称轴为直线x=2,且抛物线与x轴的两个交点间的距离为4,所以结论②和④正确,由抛物线可以看出当0<x<4时,y<0,所以结论③错误,由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时,对应的点均有两个,若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,既有可能x1<x2,也有可能x1>x2,所以结论⑤错误.
3.C　[解析]由二次函数的图象可知,a<0,b>0,c<0.当a<0,b>0,c<0时,一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限;反比例函数y=cx的图象位于第二、四象限,选项C符合.故选C.
4.C　[解析]①因为当x=-12时,与其对应的函数值y>0,且由表可知x=0时,y=-2,x=1时,y=-2,所以可以判断对称轴左侧y随x的增大而减小,图象开口向上,a>0,对称轴为直线x=12,所以b<0;x=0时,y=-2,所以c=-2<0,故abc>0,①正确;②由于对称轴是直线x=12,点(-2,t),(3,t)关于对称轴对称,所以②正确;③由对称轴是直线x=12,可得a+b=0,由①可知c=-2,当x=-12时,与其对应的函数值y>0,可得14a-12b-2>0,解得a>83,当x=-1时,m=a-b-2=2a-2>103,因为-1+22=12,所以点(-1,m),(2,n)关于对称轴对称,可得m=n,所以m+n>203,故③错误.故选C.
5.2　[解析]当x=0时,y=-x2+4x-4=-4,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,-4);
当y=0时,-x2+4x-4=0,解得x1=x2=2,抛物线与x轴的交点坐标为(2,0),
所以抛物线与坐标轴有2个交点.
6.k<4　[解析]∵二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,
∴二次函数y=x2-4x+k的图象与x轴有两个公共点.
∴b2-4ac>0,即(-4)2-4×1×k>0.解得k<4.
7.解:(1)∵抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,
∴x=-k2+k-62=0,
即k2+k-6=0,解得k=-3或k=2.
当k=2时,抛物线解析式为y=x2+6,与x轴无交点,不满足题意,舍去;
当k=-3时,抛物线解析式为y=x2-9,与x轴有两个交点,满足题意,∴k=-3.
(2)∵点P到y轴的距离为2,
∴点P的横坐标为-2或2.
当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-5.
∴点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5).
8.解:(1)根据题意,设二次函数的表达式为y=a(x+1)(x-3),
把(0,-3)代入表达式,得-3=-3a,
解得a=1,∴二次函数的表达式是y=x2-2x-3.
(2)根据图象可得,一次函数值小于二次函数值时自变量x的取值范围是x<0或x>3.
9.①③④　[解析]m+2=-x2+2x+m+1,
得:x2-2x+1=0,
因为b2-4ac=0,
所以抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点,①正确;
由图可得:y1<y3<y2,故②错误;
y=-x2+2x+m+1=-(x-1)2+m+2,将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,所得的抛物线解析式为y=-(x+1)2+m,故③正确;
当m=1时,抛物线的解析式为y=-x2+2x+2,
∴A(0,2),C(2,2),B(1,3),作B关于y轴的对称点B'(-1,3),作C关于x轴的对称点C'(2,-2),连接B'C',与x轴,y轴分别交于D,E点,如图,

则BE+ED+CD+BC=B'E+ED+C'D+BC=B'C'+BC,根据两点之间线段最短,知B'C'最短,而BC的长度一定,∴此时,四边形BCDE周长=B'C'+BC最小,为:B'M2+C'M2+BM2+CM2=32+52+12+12=34+2,故④正确.
10.B
11.C　[解析]先把两个函数化成一般形式,若为二次函数,计算当y=0时,关于x的一元二次方程根的判别式,从而确定图象与x轴的交点个数,若为一次函数,则与x轴只有一个交点,据此解答.∵y=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,∴Δ=(a+b)2-4ab,又∵a≠b,(a+b)2-4ab=(a-b)2>0,∴函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有2个交点,∴M=2.∵函数y=(ax+1)(bx+1)=abx2+(a+b)x+1,∴当a≠b,ab≠0时,(a+b)2-4ab=(a-b)2>0,函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交点,即N=2,此时M=N;
当ab=0时,不妨令a=0,∵a≠b,∴b≠0,函数y=(ax+1)(bx+1)=bx+1为一次函数,与x轴有一个交点,即N=1,此时M=N+1.综上可知,M=N或M=N+1.故选C.
12.解:(1)将C(0,4)代入y=ax2+bx-4a中得a=-1,
∵对称轴为直线x=32,
∴-b2×(-1)=32,解得b=3.
∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.
∵y=-x2+3x+4=-x-322+254,
∴顶点坐标为32,254,
当x=4时,
y=-42+3×4+4=0,
∴当0≤x≤4时,y的取值范围是0≤y≤254.
(2)∵点D(m,m+1)在抛物线上,
∴m+1=-m2+3m+4,

解得m=-1或m=3.
∵点D在第一象限,
∴点D的坐标为(3,4).
又∵C(0,4),∴CD∥AB,且CD=3.
当y=-x2+3x+4=0时,
解得x=-1或x=4,
∴B(4,0).
∴OB=OC=4,
∴∠OCB=∠DCB=45°,
∴点E在y轴上,且CE=CD=3,
∴OE=1,∴点E的坐标为(0,1).
13.D　[解析]∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点,∴b2-4c=0,c=b24,∴y=x2+bx+b24=x+b22,∵图象过A(x1,m),B(x1+n,m)两点,∴-b2=x1+x1+n2=x1+12n,把(x1,m)代入二次函数解析式,得m=x1+b22,∴m=-12n2,即m=14n2,故选D.
14.0<m<14　[解析]由y=x+m与y=-x2+2x得x+m=-x2+2x,整理得x2-x+m=0,当有两个交点时,b2-4ac=(-1)2-4m>0,解得m<14,当直线y=x+m经过原点时与函数y=-x2+2x(x>0),-x(x≤0)的图象有两个不同的交点,再向上平移,有三个交点,∴m>0,∴m的取值范围为0<m<14.

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