江西专版2020中考数学复习方案第三单元函数课时训练14二次函数的综合应用.docx

课时训练(十四)　二次函数的综合应用
(限时:60分钟)

|夯实基础|
1.若二次函数y=x2+mx图象的对称轴是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为 (　　)
A.x1=0,x2=6 B.x1=1,x2=7
C.x1=1,x2=-7 D.x1=-1,x2=7
2.[2019·湖州]已知a,b是非零实数,|a|>|b|,在同一平面直角坐标系中,二次函数y1=ax2+bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是 (　　)

图K14-1
3.[2018·泸州]已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值为9,则a的值为 (　　)
A.1或-2
B.-2或2
C.2
D.1
4.[2019·宜宾]已知抛物线y=x2-1与y轴交于点A,与直线y=kx(k为任意实数)相交于B,C两点,则下列结论不正确的是 (　　)
A.存在实数k,使得△ABC为等腰三角形
B.存在实数k,使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°
C.任意实数k,使得△ABC都为直角三角形
D.存在实数k,使得△ABC为等边三角形
5.[2019·襄阳]如图K14-2,若被击打的小球飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有的关系为h=20t-5t2,则小球从飞起到落地所用的时间为　　　　s. 

图K14-2
6.[2019·广安]在广安市中考体考前,某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析,发现实心球飞行高度(米)与水平距离(米)之间的关系为y=-112(x-4)2+3,由此可知该生此次实心球训练的成绩为　　　　米. 

7.[2018·沈阳]如图K14-3,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计),当AB=　　　　m时,矩形土地ABCD的面积最大. 

图K14-3
8.[2019·黔东南州]某山区不仅有美丽风光,也有许多令人喜爱的土特产.为实现脱贫奔小康,某村组织村民加工包装土特产销售给游客,以增加村民收入.已知某种土特产每袋成本10元,试销阶段每袋的销售价x(元)与该土特产的日销售量y(袋)之间的关系如下表:
x(元)
15
20
30
…
y(袋)
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数,
(1)试求:日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式.
(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同,要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为多少元?每日销售的最大利润是多少元?

9.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80 m的围网在水库中围成了如图K14-4所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围.
(2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?

图K14-4

10.[2019·衢州]某宾馆有若干间标准房,当标准房的价格为200元时,每天入住的房间数为60间,经市场调查表明,该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间(含170元,240元)浮动时,每天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表:
x(元)
…
190
200
210
220
…
y(间)
…
65
60
55
50
…
(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点,并画出图象.
(2)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
(3)设客房的日营业额为w(元),若不考虑其他因素,问宾馆标准房的价格定为多少元时,客房的日营业额最大?最大为多少元?

图K14-5

|拓展提升|
11.[2019·南充]在“我为祖国点赞”征文活动中,学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔、一本笔记本.已知购买2支钢笔和3本笔记本共38元,购买4支钢笔和5本笔记本共70元.
(1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元?
(2)经与商家协商,购买钢笔超过30支时,每增加1支,单价降低0.1元;超过50支,均按购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人,其中一等奖的人数不少于30,且不超过60,这次奖励一等奖学生多少人时,购买奖品总金额最少,最少为多少元?

12.[2019·泰安]如图K14-6,若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴,y轴分别交于点A(3,0),B(0,-2),且过点C(2,-2).
(1)求二次函数的表达式.
(2)若点P为抛物线上第一象限内的点,且S△PBA=4,求点P的坐标.
(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M,使∠ABO=∠ABM?若存在,求出点M到y轴的距离;若不存在,请说明理由.

图K14-6

13.[2019·菏泽]如图K14-7,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,-2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x=-1.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)若点P在第二象限内,且PE=14OD,求△PBE的面积.
(3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使△BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

图K14-7

【参考答案】
1.D
2.D　[解析]由y=ax+b,y=ax2+bx解得x1=1,y1=a+b,x2=-ba,y2=0,
故直线与抛物线的两个交点坐标分别为(1,a+b)和-ba,0.
对于D选项,从直线过第一、二、四象限可知a<0,b>0.
∵|a|>|b|,∴a+b<0.从而(1,a+b)在第四象限,因此D选项不正确.
故选D.
3.D　[解析]原函数可化为y=a(x+1)2+3a2-a+3,图象的对称轴为直线x=-1.当x≥2时,y随x的增大而增大,所以a>0,抛物线开口向上.因为-2≤x≤1时,y的最大值为9,结合对称轴及增减性可得当x=1时,y=9,代入可得a1=1,a2=-2.又因为a>0,所以a=1.
4.D　5.4
6.10　[解析]当y=0时,y=-112(x-4)2+3=0,解得x=-2(舍),x=10.
7.150
8.解:(1)依题意,设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y=kx+b,根据表格的数据,得
25=15k+b,20=20k+b,解得k=-1,b=40.
∴日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y=-x+40.
(2)依题意,设利润为w元,得
w=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400,
整理得w=-(x-25)2+225.
∵-1<0,
∴当x=25时,w取得最大值,最大值为225.
故要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为25元,每日销售的最大利润是225元.
9.解:(1)∵三块矩形区域的面积相等,∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍,
∴AE=2BE.
设BE=a,则AE=2a,∴8a+2x=80,
∴a=-14x+10,2a=-12x+20,
∴y=-12x+20x+-14x+10x=-34x2+30x.
∵a=-14x+10>0,∴x<40,
则y=-34x2+30x(0<x<40).
(2)∵y=-34x2+30x=-34(x-20)2+300(0<x<40),且二次项系数-34<0,
∴当x=20时,y有最大值,最大值为300 m2.
10.解:(1)如图所示.

(2)设y=kx+b(k≠0),把(200,60)和(220,50)代入,
得200k+b=60,220k+b=50,解得k=-12,b=160.
∴y=-12x+160(170≤x≤240).
(3)w=x·y=x·-12x+160=-12x2+160x.
∵函数w=-12x2+160x图象的对称轴为直线x=-1602×(-12)=160,且-12<0,
∴在170≤x≤240范围内,w随x的增大而减小.
故当x=170时,w有最大值,最大值为12750.
即当标准房价格定为170元时,客房的日营业额最大,最大为12750元.
11.解:(1)设钢笔、笔记本的单价分别为x元、y元,
根据题意,得2x+3y=38,4x+5y=70,解得x=10,y=6.
答:钢笔、笔记本的单价分别为10元、6元.
(2)设钢笔的单价为a元,购买数量为b支,支付钢笔和笔记本的总金额为w元,
①当30≤b≤50时,
a=10-0.1(b-30)=-0.1b+13,
w=b(-0.1b+13)+6(100-b)=-0.1b2+7b+600=-0.1(b-35)2+722.5.
∵当b=30时,w=720,当b=50时,w=700,
∴当30≤b≤50时,700≤w≤722.5.
②当50<b≤60时,a=10-(50-30)×0.1=8,
w=8b+6(100-b)=2b+600,
700<w≤720.
∴当30≤b≤60时,w的最小值为700元,
∴这次奖励一等奖学生50人时,购买奖品总金额最少,最少为700元.
12.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过点(0,-2),∴c=-2.又∵抛物线过点(3,0),(2,-2),
∴9a+3b-2=0,4a+2b-2=-2,解得a=23,b=-43,
∴二次函数的表达式为y=23x2-43x-2.
(2)连接PO,设点Pm,23m2-43m-2,

则S△PAB=S△POA+S△AOB-S△POB=12×3·23m2-43m-2+12×3×2-12×2·m=m2-3m.由题意得m2-3m=4,
∴m=4或m=-1(舍去),∴23m2-43m-2=103.
∴点P的坐标为4,103.
(3)设直线AB的表达式为y=kx+n,
∵直线AB过点A(3,0),B(0,-2),
∴3k+n=0,n=-2,解得k=23,n=-2,
∴直线AB的表达式为y=23x-2.
假设存在点M满足题意,并设点M的坐标为t,23t2-43t-2.
过点M作ME⊥y轴,垂足为E,作MD∥y轴交AB于点D,则D的坐标为t,23t-2,MD=-23t2+2t,BE=-23t2+43t.
∵MD∥y轴,∴∠ABO=∠MDB.
又∵∠ABO=∠ABM,∴∠MDB=∠ABM,
∴MD=MB,∴MB=-23t2+2t.
在Rt△BEM中,t2+-23t2+43t2=-23t2+2t2,解得t=118(t=0不合题意,舍去).
故存在满足题意的点M,点M到y轴的距离为118.
13.解:(1)由题意得点A的坐标是(2,0),抛物线的对称轴是直线x=-1,则点B(-4,0).
设函数表达式为y=a(x-2)(x+4)=a(x2+2x-8).
将C(0,-2)的坐标代入,得-8a=-2,
解得a=14,
故抛物线的表达式为y=14x2+12x-2.
(2)易得直线BC的表达式为y=-12x-2.
设点D(x,0),
则点Px,14x2+12x-2,点Ex,-12x-2,
∵PE=14OD,点P在直线BC上方,
∴PE=14x2+12x-2+12x+2=14(-x),
解得:x=0或x=-5(舍去x=0),则点D(-5,0).
故S△PBE=12·PE·BD=12×14OD·BD=12×54×1=58.
(3)由题意得△BDM是以BD为腰的等腰三角形,存在BD=BM和BD=DM两种情况,

易得BD=1.
①当BD=BM,M点在线段CB的延长线上时,过点M作MH⊥x轴于点H,
易得△MHB∽△COB,则MHMB=COBC,
即MH1=225,解得MH=55.
令y=-12x-2=55,解得x=-20+255,故点M-20+255,55.
②当BD=DM'时,
设点M'x,-12x-2,其中x<-4.
则M'D2=[x-(-5)]2+-12x-2-02=1.
整理得x2+485x+1125=0.
解得x1=-4(舍去),x2=-285.
当x=-285时,-12x-2=45.故点M'-285,45.
综上所述,点M的坐标为-20+255,55或-285,45.

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