1、数学讲义之三角函数、解三角形【主干内容】1. 弧长公式:. 扇形面积公式:2. 三角函数的定义域:三角函数 定义域sinxcosxtanxcotxsecxcscx3.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:(A、0)定义域RRR值域R周期性 奇偶性奇函数偶函数奇函数当非奇非偶当奇函数单调性上为增函数;上为减函数();上为增函数上为减函数()上为增函数()上为增函数;上为减函数()4. 同角三角函数的基本关系式: 5. 诱导公式:“奇变偶不变,符号看象限”。重要公式: 6.三角函数图象的作法:描点法及其特例五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正切曲线).【注意!】本专题主要思想方法1.等
2、价变换。熟练运用公式对问题进行转化,化归为熟悉的基本问题;2.数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题;3.分类讨论。【题型分类】题型一:三角运算,要求熟练使用各种诱导公式、倍角公式等。例1(10全国卷文)A B.- C. D.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解析】例2(10全国卷文)已知,则A. B. C. D.【解析】B:本题考查了二倍角公式及诱导公式, SINA=2/3,例3(10福建文)计算的结果等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】原式=,故选B.例4 (10浙江文)函数的最小正周期是 。解析:对解析式进行降幂扩角,
3、转化为,可知其最小正周期为,本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用,属容易题。题型二:三角函数的图象:三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质。例1(10重庆文)下列函数中,周期为,且在上为减函数的是A. B.C. D.【答案】A例2(09浙江文)已知是实数,则函数的图象不可能是( )D世纪教育网 例3为得到函数的图象,只需将函数的图象A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位学C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位学分析:先统一函数名称,在根据平移的法则解决学科网解析:函数,故要将函数的图象向左平移个长度单位,选择答案A学科例4 (10江西文)四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区
4、间,各自作出三个函数,的图像如下,结果发现恰有一位同学作出的图像有错误,那么有错误的图像是【答案】C【命题意图】考查三角函数的图像与性质.【解析】作出三个函数图像对比分析即可选择C。例5(09重庆文)设函数的最小正周期为()求的最小正周期()若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到,求的单调增区间解:()依题意得,故的最小正周期为. ()依题意得: 由 解得故的单调增区间为: 例6(11浙江文)已知函数,.的部分图像,如图所示,、分别为该图像的最高点和最低点,点的坐标为.()求的最小正周期及的值;()若点的坐标为,求的值.题型三:三角函数的最值:最值是三角函数最为重要的内容之一,其主要方法
5、是利用正余弦函数的有界性,通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题。例1若是三角形的最小内角,则函数的最大值是()学科网A B C D学科解析:由,令而,得.又,得,得,有 D点评:涉及到与的问题时,通常用换元解决学科网例2(09上海文)函数的最小值是 。解析:,例3(10江西文)函数的值域为A B C D例4已知函数,且学(1)求实数,的值;(2)求函数的最大值及取得最大值时的值学科网分析:待定系数求,;然后用倍角公式和降幂公式转化问题学科网解析:函数可化为学科网 (1)由,可得,所以,学 (2),故当即时,函数取得最大值12点评: 题型四:正余弦定理的应用例1(11浙江文)在中,角所对
6、的边分.若,则A B C -1 D 1例2(10上海文)若的三个内角满足则A一定是锐角三角形. B一定是直角三角形.C一定是钝角三角形. D可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.解析:由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得,所以角C为钝角例3(2009浙江文)在中,角所对的边分别为,且满足, (I)求的面积; (II)若,求的值解析:() w.w 又,而,所以,所以的面积为:()由()知,而,所以所以例4(2011届稽阳联考)如右图,在中,为边上一点, (1)求的大小;(2)当时,求的值解:(1) 由已知, 1分 2分3分5分 7分(2)(1)9分(2)11分14分例5(201
7、0山东文)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,则角A的大小为 .【解析】由得,即,因为,所以,又因为,所以在中,由正弦定理得:,解得,又,所以,所以。【好题速递】1.(2010年高考宁夏卷文科16)在中,D为BC边上一点,,.若,则BD=_【答案】 2.( 2010年高考全国卷文科14)已知为第二象限的角,,则 .【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【解析】因为为第二象限的角,又, 所以,,所3.(2010年高考全国卷文科13)已知是第二象限的角,tan=1/2,则cos=_【解析】 :本题考查了同角三角函数的基础知识 ,