高三文科数学一轮复习之三角函数和解三角形.doc

数学讲义之三角函数、解三角形
【主干内容】
1. 弧长公式：. 扇形面积公式：
2. 三角函数的定义域：
三角函数
定义域
sinx

cosx

tanx

cotx

secx

cscx

3.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

（A、＞0）
定义域
R
R

R
值域

R

周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
当非奇非偶
当奇函数

单调性
上为增函数；上为减函数（）
；上为增函数
上为减函数
（）

上为增函数（）
上为增函数；
上为减函数（）
4. 同角三角函数的基本关系式：
5. 诱导公式：
“奇变偶不变，符号看象限”。
重要公式：

6.三角函数图象的作法：描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正切曲线）.
【注意！！！】本专题主要思想方法
1.等价变换。熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；
2.数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；
3.分类讨论。

【题型分类】
题型一：三角运算，要求熟练使用各种诱导公式、倍角公式等。
〖例1〗（10全国卷Ⅰ文）
A． B.- C. D.
C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识
【解析】
〖例2〗（10全国卷Ⅱ文）已知，则
A. B. C. D.
【解析】B：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3，
∴
〖例3〗（10福建文）计算的结果等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】原式=,故选B.
〖例4〗 (10浙江文)函数的最小正周期是 。
解析：对解析式进行降幂扩角，转化为，可知其最小正周期为，本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用，属容易题。
题型二：三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质。
〖例1〗（10重庆文）下列函数中，周期为，且在上为减函数的是
A. B.
C. D.
【答案】A
〖例2〗（09浙江文）已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）D世纪教育网
〖例3〗为得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位学
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位学
分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决．学科网
解析：函数，故要将函数的图象向左平移个长度单位，选择答案A．学科
〖例4〗 (10江西文)四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数，的图像如下，结果发现恰有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是

【答案】C
【命题意图】考查三角函数的图像与性质.
【解析】作出三个函数图像对比分析即可选择C。

〖例5〗（09重庆文）设函数的最小正周期为．
（Ⅰ）求的最小正周期．
（Ⅱ）若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到，求的单调增区间．
解：（Ⅰ）

依题意得，故的最小正周期为.
（Ⅱ）依题意得:

由
解得\
故的单调增区间为:
〖例6〗（11浙江文）已知函数，，，.的部分图像，如图所示，、分别为该图像的最高点和最低点，点的坐标为.

（Ⅰ）求的最小正周期及的值；
（Ⅱ）若点的坐标为，，求的值.
题型三：三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题。
〖例1〗若是三角形的最小内角，则函数的最大值是（　　）学科网
A．　 B．　 C． D．学科
解析：由，令而，得.又，得，得，有．∴ D．
点评：涉及到与的问题时，通常用换元解决．学科网
〖例2〗（09上海文）函数的最小值是 。
解析:，∴
〖例3〗(10江西文)函数的值域为
A． B． C． D．
〖例4〗已知函数，且．学
（1）求实数，的值；
（2）求函数的最大值及取得最大值时的值．学科网
分析：待定系数求，；然后用倍角公式和降幂公式转化问题．学科网
解析：函数可化为． 学科网
（1）由，可得
，，所以，．学
（2），故当
即时，函数取得最大值12．
点评：
题型四：正余弦定理的应用
〖例1〗（11浙江文）在中，角所对的边分.若，则
A． B． C． -1 D． 1
〖例2〗（10上海文）若△的三个内角满足则△
A．一定是锐角三角形. B．一定是直角三角形.
C．一定是钝角三角形. D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13
由余弦定理得，所以角C为钝角
〖例3〗（2009浙江文）在中，角所对的边分别为，且满足，．
（I）求的面积； （II）若，求的值．
解析：（Ⅰ） w.w 又，，而，所以，所以的面积为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以
所以
〖例4〗（2011届稽阳联考）如右图，在△中，为边上一点，

，．
（1）求的大小；
（2）当时，求的值．
解：（1） 由已知， …………………1分
…………………2分
…………3分
…………………5分
∵∴．………………………… 7分
（2）（1）…………………9分
（2）………………11分
14分
〖例5〗（2010山东文）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，,,则角A的大小为 .
【解析】由得，即，因为，所以，又因为，，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以。

【好题速递】
1.(2010年高考宁夏卷文科16)在中，D为BC边上一点，,,.若,则BD=_____
【答案】
2.（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科14）已知为第二象限的角，,则 .
【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.
【解析】因为为第二象限的角,又, 所以，,所
3.（2010年高考全国卷Ⅱ文科13）已知α是第二象限的角,tanα=1/2，则cosα=__________
【解析】 ：本题考查了同角三角函数的基础知识
∵，∴