资源描述
1．(2021·台州高二检测)函数y＝lg x的导数为( )
A. B.ln 10
C. D.
解析：选C.∵(logax)′＝，
∴(lg x)′＝.
2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n＝( )
A．1 B．3
C．2 D．4
解析：选B.y′＝nxn－1，∵y′|x＝2＝12，
∴n·2n－1＝12.检验知n＝3时成立，∴选B.
3．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A．1 B．2
C．e D.
解析：选A.由条件得y′＝ex，依据导数的几何意义，可得k＝y′|x＝0＝e0＝1.
4．(2021·黄冈高二检测)若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于( )
A．64 B．32
C．16 D．8
解析：选A.∵y′＝－·x－，
∴y′|x＝a＝－·a－，
∴在点(a，a－)处的切线方程为(y－a－)＝－·a－·(x－a)．令x＝0，得y＝a－，令y＝0，得x＝3a，
∴×3a×a－＝18，解得a＝64.
5．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A．[0，]∪[，π) B．[0，π)
C．[，] D．[0，]∪[，]
解析：选A.∵(sin x)′＝cos x，
∵kl＝cos x，
∴－1≤kl≤1，∴αl∈[0，]∪[，π)．
6．(2021·株洲质检)曲线y＝在其上一点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标为________．
解析：y′＝′＝－＝－4，x＝±，点P的坐标为(，2)，(－，－2)．
答案：(，2)或(－，－2)
7．(2021·金华调研)设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.
解析：∵f′(x)＝，
∴f′(1)＝＝－1.
∴ln a＝－1.∴a＝.
答案：
8．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________．
解析：y′＝ex，设切点为(x0，ex0)，
则切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，
由于原点在切线上，
则－ex0＝ex0(－x0)⇒x0＝1，y0＝ex0＝e，
即切点为(1，e)．
答案：(1，e)
9．求下列函数的导数．
(1)y＝sin(x＋)；
(2)y＝logx2－logx.
解：(1)∵y＝sin(x＋)＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
(2)∵y＝logx2－logx
＝2logx－logx
＝logx(x＞0)，
∴y′＝(logx)′＝＝－.
10．已知直线y＝kx是y＝ln x的一条切线，求k的值．
解：设切点坐标为(x0，y0)．
∵y＝ln x，∴y′＝.
∴f′(x0)＝＝k.
∵点(x0，y0)既在直线y＝kx上，
也在曲线y＝ln x上，
∴
把k＝代入①式得y0＝1，
再把y0＝1代入②式求出x0＝e.
∴k＝＝.
1．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a等于( )
A．4 B．－4
C．5 D．－5
解析：选A.f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，∴a＝4.
2．函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
解析：∵y′＝2x，∴在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)．又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
答案：21
3．求抛物线y＝x2上的点到直线2x＋y＋2＝0的最短距离．
解：∵y＝x2，∴y′＝2x.而抛物线y＝x2与直线2x＋y＋2＝0平行的切线只有一条，且k＝－2，也就是2x＝－2，这个切点坐标为(－1,1)．该点到直线的距离为d＝＝.
4．设曲线y＝上有点P(x1，y1)，与曲线切于点P的切线为m，若直线n过P且与m垂直，则称n为曲线在点P处的法线．设n交x轴于点Q，又作PR⊥x轴于R，求RQ的长．
解：依题意，y′|x＝x1＝，
∵n与m垂直，∴n的斜率为－2，
∴直线n的方程为y－y1＝－2(x－x1)．
令y＝0，则－y1＝－2(xQ－x1)，∴xQ＝＋x1，
简洁知道xR＝x1，于是，|RQ|＝|xQ－xR|＝.
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