资源描述
1．(2021·芜湖调研)已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.∵f′(x)＝3ax2＋6x，
∴f′(－1)＝3a－6＝4.∴a＝.
2．函数y＝(2 013－8x)8的导数为( )
A．8(2 013－8x)7 B．－64x
C．64(8x－2 013)7 D．64(2 013－8x)7
解析：选C.y′＝8(2 013－8x)7·(2 013－8x)′
＝－64(2 013－8x)7＝64(8x－2 013)7.
3．(2021·嘉兴高二检测)曲线y＝cos(2x＋)在x＝处切线的斜率为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选D.∵y′＝－2sin(2x＋)，
∴切线的斜率k＝－2sin(2×＋)＝－2.
4．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
解析：选B.设切点为(x0，y0)，
则y0＝x0＋1，
y0＝ln(x0＋a)，又∵y′＝，
∴＝1，即x0＋a＝1，
∴y0＝0，x0＝－1，∴a＝2.
5．若函数f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
解析：选B.∵f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，
∴f′(x)＝f′(－1)x－2.
∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2.∴f′(－1)＝－1.
6．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
解析：y′＝3ln x＋1＋x·＝3ln x＋4，
∴y′|x＝1＝3ln 1＋4＝4.
又f(1)＝1×(3ln 1＋1)＝1，
∴所求的切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
答案：4x－y－3＝0
7．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．
解析：y′＝＝≥－1，
即tan α≥－1且tan α＜0，所以≤α＜π.
答案：[，π)
8．函数f(x)＝e－x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
解：f′(x)＝－e－x＋a，由题意－e－x＋a＝2，
∴e－x＝a－2，∴a－2＞0，∴a＞2.
答案：(2，＋∞)
9．求下列函数的导数：
(1)y＝(ax＋b)n；
(2)y＝xsin x－；
(3)y＝xsin2x；
(4)y＝ln(ln x)．
解：(1)∵y＝(ax＋b)n可以看作函数y＝un和u＝ax＋b的复合函数，
∴y′＝(un)′(ax＋b)′＝nun－1·a
＝anun－1
＝an(ax＋b)n－1.
(2)y′＝(xsin x)′－()′
＝sin x＋xcos x－.
(3)∵(sin2x)′＝2sin x(sin x)′
＝2sin xcos x
＝sin 2x，
∴y′＝(xsin2x)′
＝sin2x＋x(sin2x)′
＝sin2x＋xsin 2x.
(4)令y＝ln u，u＝ln x，
则y′＝(ln u)′·(ln x)′
＝·
＝.
10．若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，求c的值．
解：由于f(x)＝，
∴f(c)＝，
又f′(x)＝＝，
∴f′(c)＝.
由题意知f(c)＋f′(c)＝0，
∴＋＝0，
∴2c－1＝0，得c＝.
1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于( )
A．－1或－ B．－1或
C．－或－ D．－或7
解析：选A.设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，
∴切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x，
又(1,0)在切线上，∴x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切，得a＝－.
当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，得a＝－1，故选A.
2．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·…·x2 013的值为________．
解析：∵y′＝(n＋1)xn，∴曲线在点(1,1)处的斜率为n＋1，∵切线方程为：y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y＝0，得xn＝.
∴x1·x2·x3·…·x2 013＝···…·＝.
答案：
3．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，求f′(0)．
解：f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，
∴f′(0)＝a1a2…a8.
∵{an}为等比数列，a1＝2，a8＝4，
∴f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
4．已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线的方程为x＋2y＋5＝0，求函数的解析式．
解：由于(－1，f(－1))在切线上，∴－1＋2f(－1)＋5＝0，
∴f(－1)＝－2.
∵f′(x)＝，
∴
解得a＝2，b＝3(∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)．
故f(x)＝.
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