资源描述
1.(ex＋2x)dx等于( )
A．1 B．e－1
C．e D．e＋1
解析：选C.(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝(e1＋1)－e0＝e，故选C.
2．(2021·高考江西卷)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝dx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3
C．S2＜S3＜S1 D．S3＜S2＜S1
解析：选B.S1＝x2dx＝x3＝×23－＝，
S2＝dx＝ln x＝ln 2，
S3＝exdx＝ex＝e2－e＝e(e－1)．ln 2＜ln e＝1，且＜2.5＜e(e－1)，所以ln 2＜＜e(e－1)，即S2＜S1＜S3.
3．设f(x)＝则f(x)dx等于( )
A. B.
C. D．不存在
解析：选C.f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝
x3＋＝.
4．若(2x－3x2)dx＝0，则k等于( )
A．0 B．1
C．0或1 D．不确定
解析：选B.(2x－3x2)dx＝(x2－x3) ＝k2－k3＝0，∴k＝0(舍去)或k＝1，故选B.
5．(2021·冀州高二检测)|1－x|dx＝( )
A．0 B．1
C．2 D．－2
解析：选B.|1－x|dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx
＝(x－x2) ＋(x2－x)
＝(1－)＋(×4－2)－(－1)
＝1.
6．(2022·高考江西卷) (x2＋sin x)dx＝________.
解析：∵(x3－cos x)′＝x2＋sin x，
∴ (x2＋sin x)dx＝(x3－cos x) ＝.
答案：
7．已知f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为________．
解析：f(x)dx＝x2dx＋dx＝x3＋ln＝＋2＝.
答案：
8．设f(x)＝，若f[f(1)]＝1，则a＝________.
解析：∵x＝1＞0，∴f(1)＝lg 1＝0.
又∵f(x)＝x＋3t2dt＝x＋a3(x≤0)，
∴f(0)＝a3，∴a3＝1，∴a＝1.
答案：1
9．设f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，求x0的值．
解：∵f(x)dx＝(ax3＋cx) ＝a＋c，
∴ax＋c＝a＋c，
∴x＝.∵0≤x0≤1，∴x0＝.
10．若函数f(x)＝max{x，x2}，求f(x)dx.
解：如图，
∴f(x)＝max{x，x2}
＝
∴原式＝x2dx＋xdx＋x2dx＝.
1.f′(2x)dx等于( )
A．f(b)－f(a)
B．f(2b)－f(2a)
C.[f(2b)－f(2a)]
D．2[f(2b)－f(2a)]
解析：选C.f′(2x)dx＝f(2x) ＝[f(2b)－f(2a)]．
2．计算(2xln x＋x)dx＝________.
解析：(2xln x＋x)dx＝(x2ln x) ＝4ln 2.
答案：4ln 2
3．若f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝.求dx的值．
解：设f(x)＝kx＋b，k≠0，
则(kx＋b)dx＝
＝＋b＝5，①
xf(x)dx＝(kx2＋bx)dx
＝＝＋＝，②
联立①②可得
∴f(x)＝4x＋3.
则dx＝dx
＝dx＝(4x＋3ln x)
＝(8＋3ln 2)－(4＋3ln 1)
＝4＋3ln 2.
4．已知函数f(x)＝ln|x|(x≠0)，函数g(x)＝＋af′(x)(x≠0)．
(1)当x≠0时，求函数y＝g(x)的表达式；
(2)若a＞0，函数y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求直线y＝x＋与函数y＝g(x)的图象所围成图形的面积．
解：(1)∵f(x)＝ln|x|，
∴当x＞0时，f(x)＝ln x，
当x＜0时，f(x)＝ln(－x)，
∴当x＞0时，f′(x)＝；
当x＜0时，f′(x)＝·(－1)＝.
∴当x≠0时，函数y＝g(x)＝x＋.
(2)由(1)知当x＞0时，g(x)＝x＋，
∴当a＞0，x＞0时，g(x)≥2，
当且仅当x＝时取等号．
∴函数y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2，
依题意得2＝2，∴a＝1.
(3)由解得，，
∴直线y＝x＋与函数y＝g(x)的图象所围成图形的面积：
S＝ [(x＋)－(x＋)]dx＝＋ln 3－2ln 2.
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