湖南省长沙联盟2021年高一暑假第一次阶段性测试数学试题-Word版含答案.docx

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2021年长沙名校联盟高一班级暑假第一次阶段性测试试卷

数 学
（湖南卷版）
本试卷包括三个大题，共6页，总分150分，考试时量120分钟

本次考试试卷由长沙市一中命题 师大附中审题
考试时间：2021-7-30 13:20—15:20

留意事项：
1. 答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2. 必需在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3. 答题时，请考生留意各大题题号后面的答题提示；
4. 请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔记清楚、卡面清洁；
5. 答题卡上不准使用涂改液涂改。

参考学校
长郡中学 雅礼中学 长沙市一中 田家炳试验中学
师大附中 周南中学 明德中学 麓山国际试验学校

2021年长沙名校联盟高一班级暑假第一次阶段性测试试卷
数 学
一、选择题（每小题5分，共50分）
1. 已知数列是等差数列，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 下列命题中，错误的个数有________个
①平行于同一条直线的两个平面平行. ②平行于同一个平面的两个平面平行.
③一个平面与两个平行平面相交，交线平行.
④一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3. 已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线的方程为（ ）
A．                                       B．
C． D．
4. 把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
5. 设偶函数f（x）的定义域为R，当时f（x）是增函数，则的大小关系是（ ）
A.＞＞ B.＞＞
C.＜＜ D.＜＜
6. 的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2

7. 若任取成立，则称 是上的凸函数．试问：在下列图像中，是凸函数图像的为（ ）
y
a
B
x
b
y
a
C
x
b
y
a
D
x
b
y
a
A
x
b

8. 已知n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，用秦九韶算法求f(x0)的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是（ ）
A．n，n B．2n，n C．，n D．n＋1，n＋1
9. 设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（ ）
A．2 B． C． D．4
10. 已知等比数列｛｝中，=2×3,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和的值为（ ）
A
B
C
D
D1
B1
A1
C1

A．3－1 B．3(3－1) C． D．
二、填空题（每小题5分，共25分）

11． 函数的定义域为_______________．
12． 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱锥A1——ABCD的体积
与长方体的体积之比为_______________．
13． 依据程序框图(如右图)执行，第3个输出的数是_______________．
14． 已知函数是偶函数，且，则的值为_______________．
15．在中，面积为，则_______________．

三、解答题（共75分）
16．（本小题满分12分）
已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．

17．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC.
（Ⅱ）求证：AB⊥PB；
（Ⅲ）若PC＝BC，求二面角P—AB—C的大小．

A
C
P
B
D
E
(第17题)

18．（本小题满分12分）
在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．
（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；
（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．

19． （本小题满分13分）
已知函数，．
（Ⅰ）设是函数图象的一条对称轴，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间．

20．（本小题满分13分）
设关于的一元二次方程 ()有两根和，且满足
.
（Ⅰ）试用表示；
（Ⅱ）求证：数列是等比数列；
（Ⅲ）当时，求数列的通项公式，并求数列的前项和.

21.（本小题满分13分）
已知，点A(s, f(s)), B(t, f(t))
（Ⅰ）若,求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数的导函数满足：当|x|≤1时，有||≤恒成立，求函数的解析表达式；
（Ⅲ）若0<a<b, 函数在和处取得极值，且,证明：与不行能垂直.

2021年长沙名校联盟高一班级暑假第一次阶段性测试试卷
数学参考答案
1C 2B 3B 4C 5A 6C 7C 8A 9A 10D
11．（0，1） 12． 1：3 13．5 14． 15．或
16． ¦(x)．
由于函数的最小正周期为，且，所以，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．由于，所以，所以，因此，即的取值范围为．

17． (1)证明：由于D，E分别是AB，PB的中点，
A
C
P
B
D
E
(第17题)
所以DE∥PA．
由于PA平面PAC，且DE平面PAC，
所以DE∥平面PAC．
(2)由于PC⊥平面ABC，且AB平面ABC，
所以AB⊥PC．又由于AB⊥BC，且PC∩BC＝C．
所以AB⊥平面PBC．
又由于PB平面PBC，
所以AB⊥PB．
(3)由(2)知，PB⊥AB，BC⊥AB，
所以，∠PBC为二面角P—AB—C的平面角．
由于PC＝BC，∠PCB＝90°，
所以∠PBC＝45°，
所以二面角P—AB—C的大小为45°．
18． 解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x，y.
用(x，y)表示抽取结果，则全部可能的结果有16种，即
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4).
(1)设“取出的两个球上的标号相同”为大事A，
则A＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}．
大事A由4个基本大事组成，故所求概率P(A)＝＝．
(2)设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为大事B，
则B＝{(1，3)，(3，1)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)}
大事B由7个基本大事组成，故所求概率P(A)＝.
19．解：（I）由题设知．w.w.w.k.s.5 u.c.o.m
由于是函数图象的一条对称轴，所以，
即（）．
所以．
当为偶数时，，
当为奇数时，．
（II）

．
当，即（）时，
函数是增函数，
故函数的单调递增区间是（）．

20．
解：（1）依据韦达定理，得， ,
由
得 ，故
（2）证明：，
若，则，从而，
这时一元二次方程无实数根，故，
所以，数列是公比为的等比数列．
（3）设，则数列是公比的等比数列，
又，
所以，
所以，．

　　　　　　　则由错位相减法可得．
21．解：(I) f (x)=x3-2x2+x, (x)=3x2-4x+1,
由于f(x)单调递增，
所以(x)≥0，
即 3x2-4x+1≥0,
解得，x≥1, 或x≤,
故f(x)的增区间是(-∞，)和
(II) (x)=3x2-2(a+b)x+ab.
当x∈时，恒有|(x)|≤
故有≤(1)≤，
≤(-1)≤，
≤(0)≤
即
①+②，得
≤ab≤，
又由③，得
ab=，
将上式代回①和②，得
a+b=0,
故f(x)=x3x
(III) 假设⊥,
即= = st+f(s)f(t)=0,
(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,
=-1,
由s，t为(x)=0的两根可得，
s+t=(a+b), st=, (0<a<b),
从而有ab(a-b)2=9
这样(a+b)2=(a-b)2+4ab
= +4ab≥2=12，
即 a+b≥2,
这样与a+b<2冲突
故与不行能垂直.