资源描述
1．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值状况是( )
A．有微小值
B．有极大值
C．既有极大值又有微小值
D．无极值
解析：选D.x∈R，y′＝1－·(1＋x2)′＝1－＝≥0，∴函数y＝x－ln(1＋x2)无极值．
2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D.f′(－3)＝0⇒a＝5.
3．(2021·高考浙江卷)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( )
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到微小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到微小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
解析：选C.当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，则f′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝exx－1，所以f′(1)＝e－1≠0，所以f(1)不是极值．
当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，
则f′(x)＝ex(x－1)2＋2(ex－1)(x－1)＝ex(x2－1)－2(x－1)＝(x－1)[ex(x＋1)－2]，
所以f′(1)＝0，且当x＞1时，f′(x)＞0；在x＝1四周的左侧，f′(x)＜0，所以f(1)是微小值．
4．函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有微小值，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3) B．(0，)
C．(0，＋∞) D．(－∞，3)
解析：选B.y′＝3x2－2a，要使函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有微小值，必有a＞0.令y′＝3x2－2a＝0，解得x＝±.当x＜－时，f′(x)＞0；当－＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0；这样当x＝时，f(x)有微小值．令0＜＜1，得0＜a＜.选B.
5．(2022·高考天津卷)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.由于f′(x)＝2xln 2＋3x2＞0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(1)＝2＋1－2＝1＞0，所以有1个零点．
6．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时，有极值10，则a、b的值分别为________________．
解析：f′(x)＝3x2－2ax－b.∵x＝1是函数f(x)的极值点，且在x＝1处的极值为10，∴f′(1)＝3－2a－b＝0，f(1)＝1－a－b＋a2＝10.∴a2＋a－12＝0，∴a＝－4或a＝3.若a＝－4，则b＝11；若a＝3，则b＝－3.
答案：－4,11或3，－3
7．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝__________.
解析：f′(x)＝.
f′(1)＝＝0⇒a＝3.
答案：3
8．函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是________．
解析：要使f′(x)＝3ax2＋1＝0有解，则x2＝－>0，所以函数f(x)有极值的充要条件是a<0.
答案：a＜0
9．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．
争辩f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是微小值．
解：f′(x)＝3ax2＋2bx－3，
∴f′(1)＝f′(－1)＝0，即
解得a＝1，b＝0.
∴f(x)＝x3－3x，
f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，
若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，
∴f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，
∴f(x)在(－1,1)上是减函数，
∴f(－1)＝2是极大值，f(1)＝－2是微小值．
10．设f(x)＝，其中a为正实数．
(1)当a＝时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
解：对f(x)求导得f′(x)＝ex.
(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，
解得x1＝，x2＝.
当x变化时，f′(x)和f(x)的变化状况如下表：
x
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
微小值
↗
∴x＝是微小值点，x＝是极大值点．
(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合f′(x)与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，由此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，又a＞0，故0＜a≤1.
1．(2022·高考陕西卷)设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的微小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的微小值点
解析：选D.∵f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．
∴当f′(x)≥0时，即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，∴x≥－1时函数y＝f(x)为增函数．同理可求，x＜－1时函数f(x)为减函数．
∴x＝－1时，函数f(x)取得微小值．
2．函数f(x)＝x2＋aln(1＋x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则a的取值范围为________．
解析：f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
f′(x)＝2x＋(1＋x)′
＝2x＋
＝(x＞－1)，
由题意知2x2＋2x＋a＝0在(－1，＋∞)上有两个不等实根x1，x2且x1＜x2，
令g(x)＝2x2＋2x＋a(x＞－1)，
故需，解之得0＜a＜.
答案：(0，)
3．(2022·高考江苏卷节选)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或微小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．
解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，
解得a＝0，b＝－3.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.由于f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.
当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．
当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．
所以g(x)的极值点为－2.
4．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
当a＜0时，对x∈R，有f′(x)＞0，
则当a＜0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．
当a＞0时，由f′(x)＞0，解得x＜－或x＞；
由f′(x)＜0，解得－＜x＜.
故当a＞0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；f(x)的单调减区间为(－，)．
(2)由于f(x)在x＝－1处取得极值，
所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，
所以a＝1.
所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得微小值f(1)＝－3.由于直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性及图象可知f(1)＜m＜f(－1)，从而得到m的取值范围是(－3,1)．
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