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其次次月考数学理试题【新课标Ⅰ版】
第I卷
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的.)
1. 已知集合，，若，则 （ ）
A. B. C.或 D.或
2. 设命题函数在定义域上为减函数；命题,当时,，以下说法正确的是 （ ）
A.为真 B.为真 C.真假 D.，均假
3. 函数的零点个数为 （ ）
A． 个 B．个 C．个 D．个
4. 若，，，则“”是“”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. 函数的部分图像可能是 （ ）
A B C D
6. 已知函数，则的值为 ( )
A． B． C． D．
7. 已知是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，设
,则的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数若互不相等，且
，则的取值范围是 ( )
A．（1，2022） B．（1，2021） C．（2，2021） D．[2，2021]
9. 若函数在区间内单调递增，则a的取值范
围是 ( )
A. B. C. D.
10. 设是定义在上的奇函数，且,当时,有0恒成立，则不等式的解集为 ( )
A. B.
C. D.
11. 若的图像关于直线和对称，则的一个周期
为 ( )
A. B. C. D.
12．定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实
数都有，且，，则
的值为 ( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
第Ⅱ卷
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上.)
13. 已知的定义域为[－1，1]，则的定义域是_________.
14. 已知函数则方程恰有两个不同的实根时，实数
的取值范围是_______________.
15. 已知为奇函数，当时，；当时，，若关于的不等式有解，则的取值范围
为_____________________.
16. 已知,且方程在上有两个不同的实数根，则
的最小值为__________________.
三、解答题:(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17．（本题小满分10分）
已知命题：函数在(0，＋∞)上单调递增；命题：关于x的方程的解集只有一个子集．若为真，为假，求实数的取值范围．
18.（本题小满分12分）
已知函数.
（1）若的解集为，求实数的值;
（2）当且时，解关于的不等式.
19.（本题小满12分）
已知圆锥曲线 (是参数)和定点,是圆锥曲线的左、右焦点.
(1)求经过点且垂直于直线的直线的参数方程;
(2)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线的极坐标方程.
20.（本题小满分12分）
已知函数．
（1）若函数的定义域和值域均为，求实数的值；
（2）若在区间上是减函数，且对任意的，总有，求实数的取值范围.
21.（本题小满分12分）
已知函数，.
(1) 求证：函数必有零点；
(2) 设函数，若在上是减函数，求实数的取值范围．
22．（本小题满分12分）
设函数
(1)当时,求函数的最大值;
(2)令()其图象上任意一点处切线的斜率恒成立,求实数的取值范围;
(3)当,,方程有唯一实数解,求正数的值.
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
C
B
B
C
B
C
B
D
B
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．
13. 14.
15. 16. 13
三．解答题(本大题共6小题，共70分.)
17．（本题小满分10分）
设命题p：函数在(0，＋∞)上单调递增；q：关于x的方程的解集只有一个子集．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求 实数a的取值范围．
17.解:当命题q是真命题时，关于x的方程无解，所以,解得.或或a=1.
由于为真，则p和q中至少有一个为真；又由于为假，则p和q中至少有一个为假，所以p和q中一真一假，当p假q真时，不存在符合条件的实数 a；p真q假时，或,综上所述，实数的取值范围是或
18. （本题小满分12分）已知函数.
（1）若的解集为，求实数的值.
（2）当且时，解关于的不等式.
18.解：（Ⅰ）由|x﹣a|≤m得a﹣m≤x≤a+m，
所以解之得为所求．
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，
所以
当t=0时，不等式①恒成立，即x∈R；
当t＞0时，不等式
或或
解得x＜2﹣2t或或x∈ϕ，即；
综上，当t=0时，原不等式的解集为R，
当t＞0时，原不等式的解集为．
19.（本题小满12分）已知圆锥曲线 (θ是参数)和定点A,F1,F2是圆锥曲线的左、右焦点.
(1)求经过点F2且垂直于直线AF1的直线l的参数方程.
(2)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AF2的极坐标方程.
19.解：(1)圆锥曲线
化为一般方程为,
所以,
则直线的斜率 ,
于是经过点且垂直于直线的直线l的斜率k1=-3,直线l的倾斜角是,
所以直线l的参数方程是 (为参数),
即 .
(2)直线AF2的斜率,倾斜角是,
设P(ρ,θ)是直线AF2上任一点,
则ρsin30°=1sin(150°-θ), ,
所以直线AF2的极坐标方程为:.
21. （本题小满分12分）
已知函数，.
(1) 求证：函数必有零点；
(2) 设函数，若在上是减函数，求实数 的取值范围．
20. （本题小满分12分）
已知函数．
（1）若函数的定义域和值域均为，求实数的值；
（2）若在区间上是减函数，且对任意的，总有，求实数的取值范围.
解（1）在上的减函数，
在上单调递减
，
a=2
(2) ,
,
.
21. (1) 证明：f(x)－g(x)＝(mx＋3)－(x2＋2x＋m)＝－x2＋(m－2)x＋(3－m)．
由Δ1＝(m－2)2＋4(3－m)＝m2－8m＋16＝(m－4)2≥0，知函数f(x)－g(x)必有零点．
(2) 解：|G(x)|＝|－x2＋(m－2)x＋(2－m)|＝|x2－(m－2)x＋m－2|，
Δ2＝(m－2)2－4(m－2)＝(m－2)(m－6)，
① 当Δ2≤0，即2≤m≤6时，
|G(x)|＝x2－(m－2)x＋(m－2)，
若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则≥0，即m≥2，所以2≤m≤6时，符合条件．
② 当Δ2＞0，即m＜2或m＞6时，
若m＜2，则＜0，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则≤－1且G(0)≤0，所以m≤0；
若m＞6，则＞2，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则G(0)≥0，所以m＞6.
综上，m≤0或m≥2.
22．（本小题满分12分）
设函数
(1)当时,求函数的最大值;
(2)令()其图象上任意一点处切线的斜率≤ 恒成立,求实数的取值范围;
(3)当,,方程有唯一实数解,求正数的值.
22．解：(1)依题意,知的定义域为,
当时,,
令,解得
由于有唯一解,所以,当时,,此时单调递增; 当时,,此时单调递减.
所以的极大值为,此即为最大值
(2),则有在上恒成立,
∴≥,
当时,取得最大值,所以≥
(3)由于方程有唯一实数解,所以有唯一实数解,
设,则
令,
由于所以(舍去),,
当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,
当时,,取最小值
则 即
所以由于所以
设函数,由于当时,是增函数,
所以至多有一解.
∵,∴方程(*)的解为,即,解得 .
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