福建省厦门双十中学2021届高三上学期期中考试数学(理)-Word版含答案.docx

厦门双十中学2022-2021学年（上）期中检测
高三数学（理科）试题（2022-11-13 08:00-10:00）

【（试卷命题人：王成焱，审核人：张瑞炳）感谢高三数学（理科）备课组全部老师半学期的辛勤付出，你们辛苦了！当然，老师也在平常与同学们的沟通中看到大家的不懈努力与对抱负的执着与追求，在这阶段检测的时刻，让我们怀着感恩的心来证明自己吧！】

留意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，主要考试范围为：“①选修4-4 极坐标与参数方程，②集合与常用规律用语，③平面对量，④函数、导数及其应用，⑤平面解析几何，⑥不等式、推理与证明，⑦三角函数和解三角形”的全部内容，但不刻意回避与其他模块内容的交汇. 本试卷共4页，满分为150分，考试时间120分钟.
2. 答题前，考生先将自己的班级、姓名、座号、考场、考场座位号等信息填写在答题卷指定位置.
3. 考生作答时，将答案写在答题卷上. 请依据题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 在草稿纸、试题卷上答题无效.
4. 严禁携带计算器、电子存储器、手机等违反数学考试纪律的一切设备进入考场.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.
1． 命题“对任意的x∈R，x2＋1>0”的否定是（ ▲ ）
A．不存在x∈R，x2＋1>0 B．存在x∈R，x2＋1>0
C．存在x∈R，x2＋1≤0 D．对任意的x∈R，x2＋1≤0
2． 已知集合，集合，且，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
3． “sinα≠sinβ”是“α≠β”的（ ▲ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4． 若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是（ ▲ ）
A．ac2<bc2 B．< C．> D．a2>ab>b2
5． 已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图像如下图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是（ ▲ ）

6． 设满足约束条件则的最小值是（ ▲ ）
A． B． C． D．
7． 设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A. 若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为（ ▲ ）
A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝±4x D．y2＝±8x
8． 下列函数存在极值的是（ ▲ ）
A. B.
C. D.
9． 定义：，其中为向量与的夹角，若，则（ ▲ ）
A．6 B．8 C．－8 D．8或－8
10．已知函数是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都有成立，当且时，都有. 给出下列命题：
①函数确定是周期函数； ②函数在区间上为增函数；
③直线是函数图像的一条对称轴； ④函数在区间上有且仅有4个零点.
其中正确命题的个数是（ ▲ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置.
11．已知函数，则等于 ▲ .
12．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，则C1的离心率＝ ▲ .
13．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝7，(a、b均为正实数)，则类比以上等式，可推想a、b的值，进而可得a＋b＝ ▲ .
14．若定义在上的函数的值域为，则的最大值是 ▲ .
15．已知是△AOB所在的平面内的n个相异点，且. 给出下列命题：
①； ②的最小值不行能是；
③点在一条直线上； ④向量及在向量的方向上的投影必相等.
其中正确命题的序号是 ▲ .（请填上全部正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.
16．（本小题满分13分）
已知全集U=R，，集合.
(1)当时，求；
(2)命题p：，命题q：，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围.

17．（本小题满分13分）
已知向量a＝，b＝，记函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且c＝，f(C)＝，若向量m＝与
n＝共线，求a，b的值.

18．（本小题满分13分）
平面直角坐标系中，点M的坐标是，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
(1)将曲线和化成一般方程，并求曲线和公共弦所在直线的极坐标方程；
(2)若过点M，倾斜角为的直线l与曲线交于A，B两点，求的值.

19．（本小题满分13分）
经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演化成为整个电商行业的大型集体促销盛宴. 为迎接2022年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足(其中，a为正常数)．已知生产该产品还需投入成本万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为
元／件，假定厂家的生产力气完全能满足市场的销售需求．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值.

20．（本小题满分14分）
已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M(1，)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若F是椭圆C的右焦点，过F的直线交椭圆C于M、N两点，T为直线x＝4上任意一点，且T不在x轴上，
(ⅰ)求·的取值范围；
(ⅱ)若OT平分线段MN，证明：TF⊥MN（其中O为坐标原点）.

21．（本小题满分14分）
已知函数(R)，曲线在点处的切线方程为.
(1)求实数a的值，并求的单调区间；
(2)试比较与的大小，并说明理由；
(3)是否存在k∈Z，使得对任意恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由.

厦门双十中学2022-2021学年（上）期中检测
高三数学（理科）参考答案及评分标准（2022-11-13）

17．（本小题满分13分）
【解析】
(1)依题意，

3分
所以最小正周期， 4分
令，解得，
所以的单调递增区间是：. 6分
(2)由，得， 7分
由于，所以，所以，解得， 8分
由于向量m＝与n＝共线，所以，由正弦定理得，…① 9分
在△ABC中，由余弦定理得，即，……………………② 11分
由①②，解得. 13分

18．（本小题满分13分）
【解析】
(1) 依题意，的一般方程：，………………………………① 2分
对，，所以，即，……② 4分
①－②可得，， 6分
所以曲线和公共弦所在直线的极坐标方程为，. 7分
（注：本次考试，直线的极坐标方程若只写“”，或者“”均给分！）
(2)
解法一：
依题意，直线l的参数方程为（为参数），点A、B分别对应参数， 9分
代入的方程：，整理得，所以， 12分
所以. 13分
解法二（注：了解即可！）：
设曲线的圆心为，半径，
则由圆幂定理得. 13分
19．（本小题满分13分）
【解析】
(1)由题意知，， 3分
将代入化简得：（）. 6分
(2)， 8分
当且仅当时，上式取等号. 9分
当时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； 10分
当时，在上单调递增， 11分
所以时，函数有最大值，即促销费用投入万元时，厂家的利润最大. 12分
综上，当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；
当时，促销费用投入万元，厂家的利润最大. 13分
20．（本小题满分14分）
【解析】
(1)设椭圆C的方程为，则
解得，所以椭圆. 4分
(2)
(ⅰ)易得， 5分
①若直线斜率不存在，则，此时，，＝； 6分
②若直线斜率存在，设，，则
由消去得： 7分
∴， 8分
∴＝ 9分
∵ ∴ ∴ ∴
综上，的取值范围为． 10分
(ⅱ)线段MN的中点为Q，则由(ⅰ)可得，， 11分
所以直线OT的斜率，所以直线OT的方程为：， 12分
从而，此时TF的斜率， 13分
所以，所以TF⊥MN. 14分

21．（本小题满分14分）
【解析】
(1)依题意，， 1分
所以，又由切线方程可得，即，解得，
此时，， 3分
令，所以，解得；令，所以，解得，
所以的增区间为：，减区间为：. 5分
(2)
解法一：
由(1)知，函数在上单调递减，所以，即

9分
解法二：
，由于

所以，所以. 9分
(3)若对任意恒成立，则，记，只需.
又， 10分
记，则，所以在上单调递减.
又，，
所以存在唯一，使得，即， 11分
当时，的变化状况如下：

＋
0
－

＋
0
－

↗
极大值
↘
12分
所以，又由于，所以，
所以，
由于，所以，所以， 13分
又，所以，
由于，即，且k∈Z，故k的最小整数值为3.
所以存在最小整数，使得对任意恒成立. 14分