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课时提升作业(十三)
柱、锥、台的体积
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.(2022·济源高一检测)已知高为3的直三棱柱ABC-A′B′C′的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B′-ABC的体积
为( )
A.14 B.12
C.36 D.34
【解析】选D.由题意知S△ABC=34×12=34，
所以VB′-ABC=13S△ABC×3=34.
2.(2022·驻马店高一检测)已知圆柱的侧面开放图是矩形，其面积为S，圆柱的底面周长为C，则圆柱的体积是( )
A.C24πS B.4πSC2 C.CS2π D.SC4π
【解析】选D.由圆柱的底面周长为C，可得底面圆的半径为R=C2π，又由圆柱的侧面积为S可得圆柱的高为h=SC，所以圆柱的体积V=π×C2π2×SC=SC4π.
3.(2022·宿州高一检测)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为( )
A.a36 B.a312 C.312a3 D.212a3
【解析】选D.设正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，沿AC折起后依题意得，当BD=a时，BE⊥DE，所以DE⊥平面ABC，于是三棱锥D-ABC的高为DE=22a，所以三棱锥D-ABC的体积V=13·12a2·22a=212a3.
【误区警示】解答本题时常因弄不清折叠前后线段的位置关系及数量关系的变化而导致错误.
【变式训练】如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，求此三棱锥的体积.
【解析】折叠起来后，B，D，C三点重合为S点，则围成的三棱锥为S-AEF，这时SA⊥SE，SA⊥SF，SE⊥SF，且SA=2，SE=SF=1，所以此三棱锥的体积V=13·12·1·1·2=13.
4.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1=14A1B1，则多面体P-BCC1B1的体积为( )
A.83 B.163
C.4 D.16
【解析】选B.由题意可得PB1=14A1B1=1，且PB1⊥平面BCC1B1，由棱锥的体积公式VP-BCC1B1=13×4×4×1=163.
5.(2022·安徽高考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为
( )
A.21+3 B.18+3
C.21 D.18
【解题指南】将三视图还原为原几何体，原几何体是一个正方体截去两个全等小正三棱锥所得的组合体.
【解析】选A.由三视图可知原几何体是一个正方体截去两个全等的小正三棱锥.正方体的表面积为S=24，两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点，侧面是三个全等的直角边长为1的等腰直角三角形，这6个等腰直角三角形面积的和为3，三棱锥的底面是边长为2的正三角形，这2个正三角形面积的和为3，故所求几何体的表面积为24-3+3=21+3.
6.(2022·佛山高一检测)圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是
6π，这个圆台的体积是( )
A.23π3 B.23π C.73π6 D.73π3
【解题指南】设出上下底面半径及母线长，可构造它们的方程组，进而求出，代入体积公式解决.
【解析】选D.设圆台上、下底面半径为r′，r，母线长为l，
则所以
圆台的高h==3，
所以V圆台=13(π+π·4π+4π)·3=73π3.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.(2021·辽宁高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.
【解析】由三视图可以得到原几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体，所以该几何体的体积为
V=4π×4-16=16π-16.
答案：16π-16
8.(2022·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为____________m3.
【解析】所给几何体由一个圆锥和一个圆柱组合而成，V=13×2×π×22+π×12×4=20π3(m3).
答案：20π3
9.已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为________cm3.
【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，则有πrl=15π知r=3，所以h=52-32=4.所以其体积为
V=13Sh=13πr2h=13×π×32×4=12π.
答案：12π
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.
(1)求证：CE⊥平面PAD.
(2)若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】(1)由于PA⊥平面ABCD，CE平面ABCD，
所以PA⊥CE.
由于AB⊥AD，CE∥AB，
所以CE⊥AD.
又PA∩AD=A，
所以CE⊥平面PAD.
(2)由(1)可知CE⊥AD.
在Rt△ECD中，DE=CD·cos 45°=1，
CE=CD·sin 45°=1.
又由于AB=CE=1，AB∥CE，AB⊥AD，
所以四边形ABCE为矩形.
所以S四边形ABCD=S矩形ABCE+S△ECD
=AB·AE+12CE·DE
=1×2+12×1×1=52.
又PA⊥平面ABCD，PA=1，
所以V四棱锥P-ABCD=13S四边形ABCD·PA
=13×52×1=56.
11.(2022·滨州高一检测)一几何体按比例绘制的三视图，如图所示(单位：m)：
(1)试画出它的直观图.
(2)求它的表面积和体积.
【解析】(1)直观图如图所示：
(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的34，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，则AA1EB是正方形，
所以AA1=BE=1m.
在Rt△BEB1中，BE=1m，EB1=1m，
所以BB1=2m.
所以该几何体的表面积
S=S正方形AA1D1D+2S梯形AA1B1B+S矩形BB1C1C+S正方形ABCD+S矩形A1B1C1D1
=1+2×12×(1+2)×1+1×2+1+1×2
=7+2(m2).
该几何体的体积V=34×1×2×1=32(m3).
【一题多解】几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同方法一，
V直四棱柱D1C1CD-A1B1BA
=12×(1+2)×1×1
=32(m3).
所以几何体的表面积为(7+2)m2，体积为32m3.
【拓展延长】求体积时应留意的两点
(1)求一些不规章几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决.
(2)与三视图有关的体积问题留意几何体还原的精确性及数据的精确性.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2022·蚌埠高一检测)如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则图中主视图所标a=( )
A.1 B.32 C.3 D.23
【解析】选C.由三视图可知，该几何体为一个平卧的三棱柱，结合图中的尺寸可得V=12×2×a×3=33，解得a=3.
2.(2022·亳州高一检测)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=32，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为( )
A.92 B.5 C.6 D.152
【解析】选D.连接EB，EC，AC.四棱锥E-ABCD的体积VE-ABCD=13×32×2=6.
由于AB=2EF，EF∥AB，所以S△EAB=2S△BEF.
所以VF-BEC=VC-EFB=12VC-ABE=12VE-ABC=32，
所以VABCDEF=VE-ABCD+VF-BEC=6+32=152.
3.(2022·佛山高一检测)圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是( )
A.1∶1 B.1∶6 C.1∶7 D.1∶8
【解析】选C.如图，
设圆锥底面半径OB=R，高PO=h，
O′为PO中点，所以PO′=h2，
由于O'AOB=PO'PO=12，所以O′A=R2，
所以V圆锥PO′=13π·R22·h2=124πR2h.
V圆台O′O=π3·R22+R2+R2·R·h2=724πR2h.
所以V圆锥PO'V圆台O'O=17.
4.棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )
A.13a3 B.14a3 C.16a3 D.112a3
【解析】选C.八面体可以看成两个正四棱锥拼接而成，其中正四棱锥的棱长为22a，高为12a.
则V=2·13·22a2·12a=16a3.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.(2022·辽宁高考改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________.
【解题指南】结合三视图的特点，该几何体是由一个正方体在相对的两个角上各割去四分之一个圆柱后剩下的部分.
【解析】截得该几何体的原正方体的体积为2×2×2=8；截去的圆柱(部分)底面半径为1，母线长为2，截去的两部分体积为14(π×12×2)×2=π；故该几何体的体积为8-π.
答案：8-π
6.如图①所示，一个正三棱柱形容器，高为2a，内装水若干，将容器放倒使一个侧面成为底面，这时水面恰为中截面，如图②，则未放倒前的水面高度为________.
【解题指南】容器放倒前后水的体积不变，即图①三棱柱的体积与图②中的直四棱柱的体积相等.
【解析】设图①中水面的高度为h，水的体积为V，
则V=Sh=34S·2a，所以h=34S·2aS=3a2.
答案：32a
【变式训练】如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8cm.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点.当底面ABC水平放置时，液面高多少？
【解析】设原三棱柱ABC-A1B1C1的底面积为Scm2，高为hcm.由于DE∥AB，所以△EDC∽△ABC，
且S△EDCS△ABC=CEAC2=14，所以S△EDC=14S.
所以当侧面AA1B1B水平放置时，无水的空间即CDE-C1D1E1为一小三棱柱.
此时水的体积为V水=Sh-14S·h=34Sh(cm3).
当底面ABC水平放置时，水占有的空间为一个三棱柱，设该三棱柱的高为h′cm，则34Sh=Sh′，
所以h′=34h=34×8=6(cm)，则液面高6cm.
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.(2022·宿州高一检测)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的左右两部分，求V1∶V2的值.
【解题指南】V1对应的几何体AEF-A1B1C1是一个棱台，一个底面的面积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面积的14；V2对应的是一个不规章几何体，明显V2无法直接表示，可以考虑间接的方法，用三棱柱的体积减去V1来表示.
【解析】设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V=V1+V2=Sh.
由于E，F分别为AB，AC的中点，
所以S△AEF=14S，
V1=13hS+14S+S·S4=712Sh，
V2=Sh-V1=512Sh，故V1∶V2=7∶5.
【变式训练】如图是一个正方体，H，G，F分别是棱AB，AD，AA1的中点.现在沿△GFH所在平面锯掉正方体的一个角，求锯掉的部分的体积与原正方体体积的比.
【解析】设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3.三棱锥的底面是Rt△AGF，而∠FAG为90°，G，F分别为AD，AA1的中点，所以AF=AG=12a.
所以△AGF的面积为12×12a×12a=18a2.
又AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，
所以AH=12a.
所以锯掉的部分的体积为13×12a×18a2=148a3.
所以锯掉的部分的体积与原正方体体积的比为148a3÷a3=148.
【拓展延长】等积法
等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特殊是求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.
8.(2022·咸阳高一检测)底面半径为1，高为1的圆柱，内接长方体如图，设矩形ABCD的面积为S，长方体A1B1C1D1-ABCD的体积为V，设矩形ABCD的一边长AB=x.
(1)将S表达为x的函数.
(2)求V的最大值.
【解析】(1)由于矩形ABCD内接于圆O，所以AC为☉O的直径，
由于AC=2，AB=x，所以BC=4-x2，
所以S=AB·BC=x4-x2(0<x<2).
(2)由于长方体的高AA1=1，
所以V=S·AA1=x4-x2，
=x2(4-x2)=-(x2-2)2+4，
由于0<x<2，所以0<x2<4，
所以当x2=2，即x=2时，Vmax=2，
故长方体体积的最大值为2.
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