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课时提升作业(十九)
两条直线的交点
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.(2021·太原高一检测)过原点和直线l1：x-3y+4=0与l2：2x+y+5=0的交点的直线方程为( )
A.19x-9y=0 B.9x+19y=0
C.3x+19y=0 D.19x-3y=0
【解析】选C.由得
由于直线过原点，所以直线的斜率为-，
所以直线方程为y=-x，即3x+19y=0.
【一题多解】设过直线l1与l2交点的直线系方程为(x-3y+4) +λ(2x+y+5)=0，
又该直线过点(0，0)，代入上式得，
4+5λ=0，即λ=-，
所以所求直线的方程为3x+19y=0.
2.直线ax+3y-9=0与直线x-3y+b=0关于直线x+y=0对称，则a与b的值分别为
( )
A.-3，-9 B.3，-9 C.-9，3 D.9，-3
【解析】选C.在直线ax+3y-9=0上取一点(0，3)，关于x+y=0的对称点(-3，0)在直线x-3y+b=0上，所以b=3，同理在直线x-3y+b=0上取一点(0，1)，它关于x+y=0的对称点(-1，0)在直线ax+3y-9=0上，所以a=-9.
3.(2022·襄阳高一检测)两条直线x+y-a=0与x-y-2=0相交于第一象限，则实数a的取值范围是( )
A.-2<a<2 B.a<-2
C.a>2 D.a<-2或a>2
【解析】选C.解得由于交点在第一象限，所以所以a>2.
4.(2022·临沂高一检测)当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+2a+1=0经过的定点是( )
A.(2，3) B.(-2，3)
C. D.(-2，0)
【解析】选B.直线方程可化为a(x+2)-x-y+1=0，由得所以定点为(-2，3).
5.(2022·榆林高一检测)若点A(2，-3)是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，则相异两点(a1，b1)和(a2，b2)所确定的直线方程为( )
A.2x-3y-1=0
B.3x-2y+1=0
C.2x-3y+1=0
D.3x-2y-1=0
【解析】选C.由于A(2，-3)是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，所以2a1-3b1+1=0，且2a2-3b2+1=0，所以两点(a1，b1)和(a2，b2)都在同一条直线2x-3y+1=0上，故点(a1，b1)和(a2，b2)所确定的直线方程是2x-3y+1=0.
6.直线l经过l1：x+y-2=0与l2：x-y-4=0的交点P，且过线段AB的中点Q，其中A(-1，3)，B(5，1)，则直线l的方程是( )
A.3x-y-8=0 B.3x+y+8=0
C.3x+y-8=0 D.3x-y+8=0
【解析】选C.由得P(3，-1)，又由于Q(2，2)，所以直线l的斜率为-3，所以所求直线l的方程为y+1=-3(x-3)，即3x+y-8=0.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.(2022·南阳高一检测)已知两条不同直线l1：(m+3)x+4y=5-3m，l2：2x+(5+m)y=8相交，则m的取值是__________.
【解析】直线l1的斜率为k1=-；m=-5时，l2的斜率不存在，则l1与l2相交；m≠-5时，l2的斜率为k2=-.要使l1与l2相交，需使k1≠k2，
即-≠-，整理得m2+8m+7≠0，
解得m≠-1且m≠-7.
答案：m≠-1且m≠-7
8.若三条直线2x+3y+8=0，x-y-1=0和x+ky=0相交于一点，则k的值等于________.
【解析】由得
所以三条直线的交点为(-1，-2)，
所以-1-2k=0，所以k=-.
答案：-
【变式训练】若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点(m，n)可能是( )
A.(1，-3) B.(3，-1)
C.(-3，1) D.(-1，3)
【解析】选A.解得由于三条直线相交于同一点，所以点(1，2)在直线mx+ny+5=0上，即m+2n+5=0，则点(m，n)可能是(1，-3).
9.入射光线在直线l1：2x-y-3=0上，经过x轴反射的直线为l2，再经过y轴反射的直线为l3，则直线l3的方程为______________.
【解析】2x-y-3=0与x轴交点为，所以2x-y-3=0关于x轴的对称直线为2x+y-3=0，而直线经过互为直角的两直线反射后斜率不变，所以l3的方程为2x-y+3=0.
答案：2x-y+3=0
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.(2022·上饶高一检测)已知直线l1：3x-y+12=0，l2：3x+2y-6=0，求l1，l2及x轴围成的三角形的面积.
【解题指南】数形结合，求出直线l1与l2的交点P，以及直线l1，l2与x轴的交点A，B的坐标，P点到x轴的距离即为三角形的高，可求三角形的面积.
【解析】如图可知，
由得
即l1与l2交于点P(-2，6)，由
得l1交x轴于A(-4，0).
同理l2交x轴于B(2，0)，所以|AB|=6.
所以S△ABP=×6×6=18.
即l1，l2及x轴围成的三角形的面积为18.
11.直线l1：ax-2y=2a-4，l2：2x+a2y=2a2+4，当0<a<2时，两直线与坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求l1，l2的方程.
【解析】将直线l1的方程化为y=a(x-2)+2，直线l1经过点(2，2)，
将直线l2的方程化为a2(y-2)=-2(x-2)，直线l2经过点(2，2)，
即直线l1，l2相交于点P(2，2)，
连接OP，设直线l1与y轴相交于点A，直线l2与x轴相交于点B，
则A(0，2-a)，B(a2+2，0)，
设四边形的面积为S，0<a<2，则
S=S△PAO+S△PBO=|2-a|·2+(a2+2)·2=a2-a+4=(a-)2+，
所以a=时，S取最小值，
此时，l1，l2的方程分别为x-4y+6=0，8x+y-18=0.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2022·铜川高一检测)已知集合M={(x，y)∣x+y=2}，N={(x，y)∣x-y=4}，那么集合M∩N为( )
A.{3，-1} B.3，-1
C.(3，-1) D.{(3，-1)}
【解析】选D.由于M为直线x+y=2上的点构成的集合，N为直线x-y=4上的点构成的集合，所以M∩N中的元素为两直线的交点，解得所以M∩N={(3，-1)}.
2.(2022·济源高一检测)两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上，那么k的值是( )
A.-24 B.6 C.±6 D.24
【解题指南】把k看作常数，联立两直线方程解出交点横坐标，令横坐标为零可解得k值.
【解析】选C.由解得交点横坐标为x=，依题意有x=0，所以k=±6.
【举一反三】交点在x轴时，k=________.
【解析】由解得交点纵坐标为
y=，依题意有y=0，所以k=-24.
答案：-24
3.(2022·重庆高一检测)直线l：y=kx-1与=不相交，则k的取值范围是( )
A.或3 B.
C.3 D.
【解析】选A.=表示直线x-2y+3=0(去掉点(1，2))，所以直线l：y=kx-1与=不相交只有直线l与x-2y+3=0平行或直线l过点(1，2)，所以k的取值为或3.
4.(2022·赣州高一检测)若直线l1：y=kx-与l2：2x+3y-6=0的交点M在第一象限，则l1的倾斜角α的取值范围是( )
A.30°<α<60° B.30°<α<90°
C.45°<α<75° D.60°<α<90°
【解析】选B.由于直线l2与坐标轴的两个交点坐标分别为A(3，0)，B(0，2)，直线l1过定点C(0，-)，所以k>kAC==，又由于两直线的交点M在第一象限，所以倾斜角30°<α<90°.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.(2022·日照高一检测)直线Ax+3y+C=0与直线2x-3y+4=0的交点在y轴上，则C的值为________.
【解析】由于两直线的交点在y轴上，所以点在第一条直线上，所以C=-4.
答案：-4
6.(2022·四川高考)设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.
【解题指南】求定点A，B的坐标→推断PA⊥PB→由均值不等式求|PA|·|PB|的最大值.
【解析】由题意知A(0，0)，B(1，3)，由于两直线的斜率(存在时)互为负倒数，
所以PA⊥PB，当m=0时，两直线也垂直，
所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，
故|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|=时取“=”).
答案：5
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.求证：不论m为何实数，直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都过某确定点.
【证明】方法一：取m=1时，直线方程为y=-4；取m=时，直线方程为x=9，两直线的交点为P(9，-4)，将点P的坐标代入原方程左边，得(m-1)×9+(2m-1)×(-4)=m-5.
故不论m取何实数，点P(9，-4)总在直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5上，
即直线恒过点P(9，-4).
方法二：原方程化为(x+2y-1)m+(-x-y+5)=0.
若对任意m都成立，则有
所以
故不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，-4).
8.光线从点A(-3，4)射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(-1，6)，求光线BC所在直线的斜率.
【解析】设B(a，0)，C(0，b)，过点B，C作两条法线交于点E，
则∠E=90°.
所以∠ECB+∠EBC=90°，
所以2∠ECB+2∠EBC=180°.
由反射角等于入射角，得
∠DCB+∠ABC=180°，
所以AB∥CD.
所以kAB=kCD，即=b-6.①
由反射角等于入射角，还可得直线AB的倾斜角与直线BC的倾斜角互补，
所以kAB=-kBC，即=-.②
解①②得a=-，b=.
所以B，C.所以kBC=.
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