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课时作业17 角的概念的推广、弧度制及任意角的三角函数
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．(2022·诸城月考)集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：当k＝2n时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α的终边和≤α≤的终边一样．当k＝2n＋1时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α的终边和π＋≤α≤π＋的终边一样．
答案：C
2．θ是其次象限角，则下列选项中确定为正值的是( )
A．sin B．cos
C．tan D．cos2θ
解析：由于θ是其次象限角，所以为第一或第三象限角，所以tan>0，故选C.
答案：C
3．给出下列命题：
①其次象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或其次象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；
④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；
⑤若cosθ<0，则θ是其次或第三象限的角．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由于第一象限角370°不小于其次象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是其次象限角，故②错；③正确；由于sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；当θ＝π，cosθ＝－1<0时既不是其次象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．
答案：A
4．(2022·玉溪一中月考)设α是其次象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝( )
A. B. C．－ D．－
解析：∵α是其次象限角，∴cosα＝x<0，既x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.
答案：D
5．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为( )
A．40πcm2 B．80πcm2 C．40 cm2 D．80 cm2
解析：72°＝，∴S扇形＝αR2＝××202＝80π(cm2)．
答案：B
6．(2022·滨州模拟)如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是( )
A．(cosθ，sinθ) B．(－cosθ，sinθ)
C．(sinθ，cosθ) D．(－sinθ，cosθ)
解析：由三角函数定义知，点P的横坐标x＝cosθ，纵坐标y＝sinθ.
答案：A
7．已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点(－，)，且2α∈[0,2π)，则tanα＝( )
A．－ B.
C. D．±
解析：由角2α的终边在其次象限，知tanα>0，依题设知tan2α＝－，所以2α＝120°，得α＝60°，tanα＝.
答案：B
8．(2022·临沂模拟)已知角α的终边上有一点P(t，t2＋)(t>0)，则tanα的最小值为( )
A. B．1
C. D．2
解析：由已知，依据三角函数的定义和均值不等式得：
tanα＝t＋≥2＝1，
当且仅当t＝(t>0)，
即t＝时等号成立，
∴tanα的最小值为1.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα＝________.
解析：∵3－4sin2x>0，
∴sin2x<，∴－<sinx<.
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，
∴x∈(kπ－，kπ＋)(k∈Z)．
答案：(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
10．(2022·合肥调研)函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．
解析：由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，kπ＋<<kπ＋(k∈Z)，知是其次或第四象限角，再由|sin|＝－sin知sin≤0，所以只能是第四象限角．
答案：四
11．设角α是第三象限角，且|sin|＝－sin，则角是第________象限角．
解析：|OP|＝，依据任意角三角函数的定义得，＝－，解得y＝±8，
又∵sinθ＝－<0及P(4，y)是角θ终边上一点，
可知θ为第四象限角，∴y＝－8.
答案：－8
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得
解得或
∴α＝＝或α＝＝6.
(2)∵2r＋l＝8，
∴S扇＝lr＝l·2r≤()2＝×()2＝4，
当且仅当2r＝l，
即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴r＝2，
∴弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.
13．(1)确定的符号；
(2)已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝m(0<m<1)，试推断式子sinα－cosα的符号．
解：(1)∵－3,5,8分别是第三、第四、其次象限角，
∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0，
∴>0.
(2)若0<α<，则如图所示，在单位圆中，OM＝cosα，MP＝sinα，
∴sinα＋cosα＝MP＋OM>OP＝1.
若α＝，则sinα＋cosα＝1.
由已知0<m<1，故α∈(，π)．
于是有sinα－cosα>0.
14．如图所示，A，B是单位圆O上的点，且B在其次象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为(，)，△AOB为正三角形．
(1)求sin∠COA；(2)求cos∠COB.
解：(1)依据三角函数定义可知sin∠COA＝.
(2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°，
又sin∠COA＝，cos∠COA＝，
∴cos∠COB＝cos(∠COA＋60°)
＝cos∠COAcos60°－sin∠COAsin60°
＝·－·＝.
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