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课时提升作业(二)
直 观 图
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.(2022·绍兴高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1的直观图中，底面ABCD的直观图确定是( )
A.正方形 B.菱形
C.矩形 D.平行四边形
【解析】选D.底面ABCD是正方形，在直观图中角与边的长度会转变，但对边的平行性不变，确定是平行四边形.
2.(2022·亳州高一检测)如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )
【解析】选C.直观图中有一条边与y′轴平行，两条边与x′轴平行，所以该图形为直角梯形.
3. (2022·锦州高一检测)如图，△ABC的斜二测直观图为等腰Rt△A′B′C′，其中A′B′=2，则△ABC的面积为( )
A.2 B.4 C.22 D.42
【解题指南】依据所给的直观图是一个等腰直角三角形且直角边长是2，求出直观图的面积，依据平面图形的面积是直观图的22倍，得到结果.
【解析】选D.由于等腰Rt△C′A′B′是一平面图形的直观图，直角边长为
A′B′=2，所以直角三角形的面积是12×2×2=2，
由于平面图形与直观图的面积的比为22∶1，
所以原平面图形的面积是2×22=42.
4.水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形
A′B′C′，则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形
【解析】选C.直观图是正三角形，三角形的底角为60°，大于45°，原图中有一个角大于90°，是钝角三角形.
5.(2022·榆林高一检测)如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的外形是
( )
【解析】选A.直观图中正方形的边长为1，故对角线长为2，所以在原图中一对角线的长为22.
【举一反三】本例条件不变，则原图的周长为__________.
【解析】原图中一条边长为1，另一条边长为(22)2+12=3，故周长为(1+3)×2=8.
答案：8
6.(2022·银川高一检测)如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′=2，则△AOB的边OB上的高为( )
A.2 B.4 C.22 D.42
【解析】选D.由于直观图与原图形中边OB长度不变，
S原图形=22S直观图，
所以有12·OB·h=22×12×2·O′B′，
所以h=42.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5m，10 m，四棱锥的高为8m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为______________.
【解析】依据斜二测画法规章求解.
答案：4cm，0.5cm，2cm，1.6cm
8.(2022·聊城高一检测)已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为______________.
【解析】圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2+3=5(cm).在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5cm.
答案：5cm
9.已知△ABC的水平放置的直观图是等腰的Rt△A′B′C′，且∠A′=90°，
A′B′=2(如图)，则△ABC的面积是________.
【解析】依据斜二测画法的规章，画出△ABC，如图所示，
其中BC=B′C′=2，AB=2A′B′=22，∠ABC=90°，
所以S△ABC=12×22×2=22.
答案：22
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.(2022·济宁高一检测)用斜二测画法作出长为4，宽为3的矩形的直观图.
【解析】画法：(1)如图①在已知矩形ABCD中，取AB，AD所在边为x轴、y轴，相交于O点(O与A重合)；画对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′=45°，如图②.
(2)在x′轴上取点A′(A′与O′重合)，B′使A′B′=AB，在y′轴上取D′，使A′D′=12AD，过D′作D′C′平行于x′轴，且等于A′B′的长.
(3)去掉挂念线，连接C′B′所得四边形A′B′C′D′就是矩形ABCD的直观图.
11.(2022·丽水高一检测)有一棱柱，其底面为边长为3cm的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4cm，试画出此棱柱的直观图.
【解析】(1)画轴.如图(1)所示，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=
45°，∠xOz=90°.
(2)画底面.以点O为中点，在x轴上画MN=3cm，在y轴上画PQ=32cm，分别过点M，N作y轴的平行线，过点P，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱柱的底面.
(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，A′，并加以整理(去掉挂念线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到棱柱的直观图，如图(2)所示.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2022·佛山高一检测)下列说法正确的是( )
A.相互垂直的两条直线的直观图照旧是相互垂直的两条直线
B.梯形的直观图可能是平行四边形
C.矩形的直观图可能是梯形
D.正方形的直观图是平行四边形
【解析】选D.对于A.若两条直线中一条平行于x轴，一条平行于y轴，则直观图中两直线的夹角为45°，故A错，原图中平行的线段在直观图中也平行，故B，C错.
2.(2022·北京高一检测)一个三角形在其直观图中对应一个边长为4的正三角形，则原三角形的面积为( )
A.86 B.8 C.46 D.43
【解题指南】利用直观图面积与原图面积比为2∶4解答.
【解析】选A.S直观图=12×4×4×32=43.
由S直观图S原图=24，得S原图=86.
【变式训练】若一个正三角形的边长为4，则其直观图的面积为________.
【解析】S原图=12×4×4×32=43，
由S直观图S原图=24，得S直观图=43×24=6.
答案：6
3.如图，矩形A′B′C′D′是水平放置的图形ABCD的直观图，其中A′B′=6，A′D′=2，则图形ABCD为( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
【解析】选C.将直观图还原如图所示，AB=A′B′=6，
AE=2A′E′=42，
DE=D′E′=2，DC=6，
则在Rt△ADE中，
AD=(42)2+4=6，
所以四边形ABCD为菱形.
【误区警示】本题同学易由于只看到ABCD，忘了推断AD与AB的关系得四边形ABCD为平行四边形而出错.
4.(2022·宿州高一检测)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC=45°，AB=AD=1，OC⊥DC，原平面图形的面积为( )
A.1+22 B.2+2
C.2+22 D.1+2
【解题指南】解答本题的关键是求原梯形的高，下底边长，故应过A作AE⊥BC于E.
【解析】选C.过A作AE⊥BC，垂足为E，由题意知DC∥AE，AD∥EC，
所以四边形ADCE为矩形.
所以EC=AD=1，由∠ABC=45°，AB=AD=1知BE=22，
所以原平面图形是梯形且上下两底长分别为1和1+22，高为2，所以原平面图形的面积为12×1+1+22×2=2+22.
二、填空题(每小题4分，共12分)
5.(2022·蚌埠高二检测)△ABC的面积为10，以它的一边所在直线为x轴画直观图后，其直观图的面积为__________.
【解析】如图所示为△ABC的原图形和直观图.
作A′D′⊥B′C′于D′，则A′D′为直观图B′C′边上的高，易求得
A′D′=24AO，
所以S△A′B′C′=24S△ABC=24×10=522.
答案：522
6.如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是________.
【解题指南】可大致画出其直观图进行推断，首先由三角形外形进行直观推断，外形确定后可求出相应角度、长度推断.
【解析】依据斜二测画法知在(1)(2)(4)中，正三角形的顶点A，B都在x轴上，点C由AB边上的高线确定，所得直观图是全等的；对于(3)，左侧建系方法画出的直观图，其中有一条边长度为原三角形的边长，但右侧的建系方法中所得的直观图中没有边与原三角形的边长相等，由此可知不全等.
答案：(3)
三、解答题 (每小题12分，共24分)
7.如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出它的直观图.
【解析】画法：(1)以AB边所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，两轴相交于点O(如图(1))，画相应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°(如图(2)).
(2)在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上截取A′B′=AB；分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′=12AE，B′C′=12BC；在y′轴上截取O′D′=12OD.
(3)连接E′D′，D′C′，C′E′，并擦去挂念线x′轴和y′轴以及O′点，便得到平面图形水平放置的直观图(如图(3)).
8.画出一个正四棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为6cm，8cm，高为4cm的正四棱台).
【解题指南】先画出上、下底面(正方形)的直观图，然后画出整个正四棱台的直观图.
【解析】(1)画下底面，画x轴，y轴，使∠xOy=45°，
以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF=8cm.
在y轴上取线段GH，使得GH=12EF，GH的中点为O，再过G，H分别作AB∥EF，CD∥EF，AB=EF=CD=8cm，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面的直观图.
(2)画z轴.三轴相交于点O，使z轴与x轴成90°.
(3)画上底面，在z轴上截取线段OO1=4cm，过O1点作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，则∠x′O1y′=45°.
建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中画出上底面的直观图A1B1C1D1.
(4)再连接AA1，BB1，CC1，DD1，并擦去挂念线及相关点，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(图②).
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