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课时提升作业(一)
简洁几何体
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.(2022·阜阳高一检测)下列说法正确的是( )
A.棱柱的侧面都是矩形
B.棱柱的侧棱都相等
C.棱柱的各个面都是平行四边形
D.棱柱的侧棱总与底面垂直
【解析】选B.由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，故A错误.而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，棱柱的底面不愿定是平行四边形，故C错.棱柱的侧棱可以与底面垂直，也可以不垂直.
2.下列图形所表示的几何体中，不是棱锥的为( )
【解析】选A.由棱锥的定义及结构特征知A不是棱锥.
3.(2022·亳州高一检测)下列说法错误的是( )
A.多面体至少有四个面
B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C.长方体、正方体都是棱柱
D.三棱柱的侧面为三角形
【解析】选D.多面体中面数最少的是三棱锥，有四个面，故A正确.依据棱柱的结构特征知B正确.长方体、正方体符合棱柱的结构特征，C正确.D中三棱柱的侧面为平行四边形，D错误.
4.下列图形中，不是三棱柱的开放图的是( )
【解析】选C.依据三棱柱的结构特征知，A，B，D中的开放图都可还原为三棱柱，但是C中开放图还原后的几何体没有下底面，故不是三棱柱的开放图.
5.(2022·南昌高一检测)下列说法正确的个数为( )
①存在斜四棱柱，其底边为正方形；
②存在棱锥，其全部面均为直角三角形；
③任意的圆锥都存在两条母线相互垂直；
④矩形绕任意一条直线旋转都可以形成圆柱.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.①存在斜四棱柱，其底面为正方形，正确.②正确.如图.③不正确，圆锥的顶角小于90°时就不存在.④不正确，矩形绕其对角线所在直线旋转，不能围成圆柱.
6.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得的几何体是
( )
A.两个圆锥拼接而成的组合体
B.一个圆台
C.一个圆锥
D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
【解析】选D.如图所示.旋转一周后其他两边形成的几何体为在圆锥AO的底部挖去一个同底的圆锥BO.
【误区警示】本题易选A而导致错误.事实上圆锥BO为空心的，并非真正的圆锥.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.矩形绕一边所在的直线旋转一周得到圆柱，则得到不同外形的圆柱有________个.
【解题指南】矩形包括正方形和长方形，不同的状况下得到圆柱的情形不同.
【解析】若该矩形为长方形，则矩形的长与宽所在的直线为轴可以得到2个不同外形的圆柱，若该矩形为正方形，则得到1个圆柱.
答案：1或2
【误区警示】本题易漏掉一种情形而导致答案错误.
8.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的外形是________.
【解析】如图：假设以AB边固定进行倾斜，则几何体BB2C2C-AA2D2D确定为棱柱.
答案：棱柱
9.五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为________.
【解析】上底面内的每个顶点，与下底面内不在同一侧面的两个顶点的连线可构成五棱柱的对角线，上底面每个顶点有两条对角线，故一个五棱柱的对角线共有5×2=10条.
答案：10
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.始终角梯形ABCD，如图所示，分别以AB，BC，CD，DA所在直线为轴旋转一周，画出所得几何体的大致外形，并指明它是由哪些简洁几何体组成的.
【解析】以AB为轴旋转所得几何体是一个圆台，如图a；以BC为轴旋转所得几何体是一个圆柱和一个圆锥拼接而成，如图b；以CD为轴旋转所得几何体是一个圆台挖去一个小圆锥后，再与一个大圆锥拼接而成，如图c；以DA为轴旋转所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥而成，如图d.
11.试从正方体ABCD -A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连结后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来.
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥.
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥.
(3)三棱柱.
【解析】(1)如图所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不惟一).
(2)如图所示，三棱锥B1-ACD1(答案不惟一).
(3)如图所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不惟一).
【变式训练】推断如图所示的几何体是不是棱台？为什么？
【解析】①②③都不是棱台.由于①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面和底面不平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分才是棱台，③是由长方体截得，是棱柱而不是棱台.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2022·西安高一检测)AB为圆柱下底面内任一不过圆心的弦，过AB和上底面圆心作圆柱的一截面，则这个截面是( )
A.三角形 B.矩形
C.梯形 D.以上都不对
【解析】选D.如图，AB∥CD，且AB≠CD，但AD，BC是曲线，不是直线，故选D.
【误区警示】本题易误将曲线AD，BC当作直线选C而导致错误.
2.下列叙述，其中正确的有( )
①两个底面平行且相像，其余的面都是梯形的多面体是棱台；
②如图所示，截正方体所得的几何体是棱台；
③棱锥被平面截成的两部分不行能都是棱锥.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选A.①不正确，由于不能保证各侧棱的延长线交于一点.②不正确，由于侧棱延长后不能交于一点，还原后也并非棱锥.③不正确，如图，用一个过顶点的平面截四棱锥得到的是两个三棱锥.
【拓展延长】棱台定义的应用
除了用它作判定之外，至少还有三项用途：
①为保证侧棱延长后交于一点，可以先画棱锥再画棱台；
②假如解棱台问题遇到困难，可以将它还原为棱锥去看，由于它是由棱锥截来的；
③可以利用两底是相像多边形进行有关推算.
3.用一个平面去截一个三棱锥，截面外形是( )
A.四边形 B.三角形
C.三角形或四边形 D.不行能为四边形
【解题指南】截面与三棱锥的棱有几个交点，连起来就是几边形.
【解析】选C.如图，若截面截三棱锥的三条棱，则截面的外形为三角形(如图①)，若截面截三棱锥的四条棱，则截面的外形为四边形(如图②).
4.(2022·重庆高一检测)如图所示，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为( )
A.模块①②⑤ B.模块①③⑤
C.模块②④⑤ D.模块③④⑤
【解析】选A.先将模块⑤放到模块⑥上，再把模块①放到模块⑥上，再把模块②放到模块⑥上，即得到棱长为3的大正方体.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.(2022·北京高一检测)如图所示，不是正四周体(各棱长都相等的三棱锥)的开放图的是________.
【解析】(3)(4)中的四个三角形有公共顶点，无法折成三棱锥，当然不是正四周体的开放图.
答案：(3)(4)
【变式训练】试推断下列三个图是否为正四周体的表面开放图.
【解析】①②③都是正四周体的表面开放图.
6.(2022·吉安高一检测)在圆锥中平行于底面的截面面积是底面的14，则此截面分圆锥的高为上、下两段，其比值为__________.
【解题指南】作出圆锥的轴截面图运用几何学问解决.
【解析】作出圆锥的轴截面如图，截面圆半径ED，底面圆半径OB.由题意π×ED2π×OB2=14，解得EDOB=12，
由△SED∽△SOB知SESO=12，故SEEO=1∶1.
即截面分圆锥的高上、下两段的比为1∶1.
答案：1∶1
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.如图所示的几何体的侧面开放图是一个矩形，且几何体的底面边长均为3，侧面的棱长为5，已知点P是棱AA1上一动点，Q是棱BB1上一动点，求CP+PQ+QC1的最小值.
【解析】将几何体沿棱CC1剪开，其侧面开放为平面图形，如图所示，CP+PQ+QC1的最小值即平面图中矩形对角线CC1的长，所以(CP+PQ+QC1)min=
(3+3+3)2+52=106.
【拓展延长】求几何体表面上连结两点曲线长的最小值问题的策略
(1)将几何体沿着某些棱剪开后开放，画出其侧面开放图.
(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题.
(3)结合已知条件求得结果.
8.如图，图①是正方体木块，把它截去一块，可能得到的几何体有②，③，④，⑤的木块.
(1)我们知道，正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图②，③，④，⑤的木块的顶点数、面数填入下表：
图号
顶点数
棱数
面数
①
8
12
6
②
③
④
⑤
(2)观看你填出的表格，归纳出上述各种木块的顶点数V、棱数E、面数F之间的关系.
(3)看图⑥中正方体的切法，请验证你所得的数量关系是否正确.
【解题指南】可从顶点数V+面数F的和与棱数E的关系考虑.
【解析】(1)通过观看各几何体，得到表格：
图号
顶点数
棱数
面数
①
8
12
6
②
6
9
5
③
8
12
6
④
8
13
7
⑤
10
15
7
(2)由特殊到一般，归纳猜想得到：顶点数V+面数F-棱数E=2.
(3)该木块的顶点数为10，面数为7，棱数为15，有10+7-15=2，与(2)中归纳的数量关系式“V+F-E=2”相符.
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