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课时提升作业(二十三)
圆的一般方程
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.(2022·渭南高一检测)圆x2+y2-2x+6y+8=0的周长为( )
A.2π B.2π C.22π D.4π
【解析】选C.圆的方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2，
所以半径r=2，周长l=2πr=22π.
2.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是( )
A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
C.x-y+1=0 D.x-y-1=0
【解析】选C.由题知圆心C(-1，0)，斜率k=1，
故所求的直线方程为y=x+1，即x-y+1=0.
3.(2022·潍坊高一检测)若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称，则k等于( )
A.32 B.-32 C.3 D.-3
【解析】选B.圆心为(k，0)，在直线2x-y+3=0上，
所以2k-0+3=0，所以k=-32，故选B.
4.(2022·广州高一检测)圆：x2+y2-4x+2y+c=0与y轴交于A，B两点，其圆心为P，若∠APB=90°，则实数c的值是( )
A.-3 B.3 C.22 D.8
【解析】选A.圆：x2+y2-4x+2y+c=0化成标准方程，得(x-2)2+(y+1)2=5-c，
所以圆的圆心为P(2，-1)，半径r=5-c.
由于圆与y轴交于A，B两点，满足∠APB=90°，
所以r=5-c=22，解之得c=-3.
5.已知圆过O(0，0)，A(1，0)，B(0，-1)三点，则圆的方程是( )
A.x2+y2+x-y=0 B.x2+y2-x+y=0
C.x2+y2+x+y=0 D.x2+y2-x-y=0
【解析】选B.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
由题意得F=0,1+D+F=0,(-1)2-E+F=0,所以D=-1,E=1,F=0.
所以圆的方程为x2+y2-x+y=0.
【变式训练】经过三点A(-1，5)，B(5，5)，C(6，-2)的圆的方程是_________
_______________.
【解析】设经过三点A(-1，5)，B(5，5)，C(6，-2)的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，
把这三个点的坐标代入所设的方程可得1+25-D+5E+F=0,25+25+5D+5E+F=0,36+4+6D-2E+F=0,
解得D=-4,E=-2,F=-20,所以所求的圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0，
答案：x2+y2-4x-2y-20=0
6.(2022·长沙高一检测)经过圆x2+y2=4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，则PQ的中点的轨迹方程为( )
A.x2+y2=4 B.4x2+y2=4
C.x2+y2=14 D.x2+4y2=4
【解题指南】设出P点坐标，求出PQ的中点坐标，依据中点坐标与P，Q坐标的关系代入圆的方程即可.
【解析】选D.设P(x0，y0)，则Q(x0，0)，中点M(x，y)，
P(x0，y0)在圆上，则x02+y02=4，x=x0，y=y02，y0=2y，
所以x2+4y2=4，故选D.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是__________.
【解析】圆心为(2，2)，则圆心到直线的距离为d=|2+2-14|2=52，圆的半径R=32，即d>R，故所求的差为2R=62.
答案：62
【误区警示】解答本题忽视圆的几何性质，不能分析出最大距离与最小距离之差为直径，从而导致错解.
8.过点O(0，0)，A(4，0)，圆心在直线y=x上的圆的方程为________.
【解析】由题意设圆心坐标为(a，b)，有a=4+02=2，
b=a=2，所以r=a2+b2=4+4=22，
所以圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=8，
即：x2+y2-4x-4y=0.
答案：x2+y2-4x-4y=0
9.(2022·西安高一检测)已知线段AB的长为4，且端点A，B分别在x轴与y轴上，则线段AB的中点M的轨迹方程为______________.
【解析】设A(a，0)，B(0，b)，则a2+b2=16，
设AB中点(x，y)，则x=a2，a=2x，
y=b2，b=2y，
所以4x2+4y2=16，x2+y2=4.
答案：x2+y2-4=0
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.求下列各圆的圆心和半径：
(1)x2+y2-6x=0；
(2)x2+y2+2by=0(b≠0)；
(3)x2+y2-2ax-23y+3a2=0.
【解题指南】将原方程化为标准形式后即可写出圆心和半径.
【解析】(1)原方程可化为(x-3)2+y2=9，
所以圆心为(3，0)，半径为3.
(2)原方程可化为x2+(y+b)2=b2(b≠0)，
所以圆心为(0，-b)，半径为|b|.
(3)原方程可化为(x-a)2+(y-3)2=3-2a2.
由于原方程表示圆，所以3-2a2>0.
所以圆心为(a，3)，半径为3-2a2.
11.(2022·吉林高一检测)已知方程x2+y2+2(m+3)x-2(2m-1)y+5m2+2=0(m∈R)表示一个圆.
(1)求m的取值范围.
(2)若m≥0，求该圆半径r的取值范围.
【解析】(1)依题意：4(m+3)2+4(2m-1)2-4(5m2+2)>0，
即8m+32>0，
解得：m>-4，
所以m的取值范围是(-4，+∞).
(2)r=124(m+3)2+4(2m-1)2-4(5m2+2)
=2m+8.
由于m∈[0，+∞)，
所以r≥22.
所以r的取值范围是[22， +∞).
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圆与x轴相切于原点，则( )
A.D=0，E=0，F≠0 B.D=0，F=0，E≠0
C.E=0，F=0，D≠0 D.D=0，E≠0，F≠0
【解析】选B.圆心-D2,-E2在y轴上，所以D=0，又圆经过原点，所以F=0.
【变式训练】若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于y=-x对称，则有( )
A.D=0 B.E=0
C.D=-E D.D=E
【解析】选C.由已知方程所表示的曲线为圆，圆心为-D2,-E2，若圆关于y=-x对称，则必有圆心在直线y=-x上，故-E2=D2即D=-E.
2.若a∈-2,0,1,54，则方程x2+y2+3ax+ay+52a2+a-1=0表示的圆的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.由(3a)2+a2-452a2+a-1>0得a<1，满足条件的a只有两个-2与0，所以方程x2+y2+3ax+ay+52a2+a-1=0表示的圆的个数为2.
3.(2022·济宁高一检测)若实数x，y满足x2+y2+4x-2y-4=0，则x2+y2的最大值是( )
A.5+3 B.65+14
C.-3+3 D.-65+14
【解析】选A.原方程可化为(x+2)2+(y-1)2=9，原点(0，0)在圆内，
x2+y2是圆上的点到原点的距离，
最大值等于圆心到原点的距离与半径的和，
又圆心为(-2，1)，
所以最大值为(-2)2+12+r=5+3.
故选A.
【误区警示】解答本题易忽视圆上的点，圆心，定点三点共线取得最值的性质，从而致错.
4.(2022·温州高一检测)平面直角坐标系中有A(0，1)，B(0，5)，C(3，4)三点，则以下选项中能与点A，B，C在同一个圆上的点为( )
A.(-1，1) B.(1，1)
C.(2，5) D.(3，3)
【解析】选C.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A，B，C的坐标代入，解得D=-2，E=-6，F=5，所以圆的方程为x2+y2-2x-6y+5=0.经检验只有(2，5)满足，应选C.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.点P(1，1)与圆x2+y2-2x+2y=0的位置关系是____________.
【解析】由于12+12-2×1+2×1=2>0，
所以点P在圆外.
答案：点P在圆外
6.(2022·深圳高一检测)方程x2+axy+y2+bx+3y+7=0是圆的方程，则a=________，b的取值范围是____________________.
【解析】由题意知a=0，
b2+(3)2-4×7>0，b2>25，
b>5或b<-5.
答案：0 (-∞，-5)∪(5，+∞)
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知线段AB的端点A的坐标为(4，3)，点B在圆x2+y2=4上运动，求线段AB中点M的轨迹方程，并说明它是什么图形.
【解析】设M(x，y)，B(x0，y0)，
由于M是线段AB的中点，又A(4，3)，
所以x=x0+42,y=y0+32,得x0=2x-4,y0=2y-3.
又B(x0，y0)在圆x2+y2=4上，
所以(2x-4)2+(2y-3)2=4得
(x-2)2+y-322=1为点M的轨迹方程.
点M的轨迹是以2,32为圆心，半径为1的圆.
【拓展延长】求轨迹时的关注点
(1)当坐标系建立的方式不同时，得到的轨迹方程一般不同.
(2)求轨迹方程时，一般应数形结合，即充分运用几何图形的性质将形的直观与数的严谨有机地结合起来.
8.(2022·滨州高一检测)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(-1，0)，B(3，0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程.
(2)直角边BC中点M的轨迹方程.
【解题指南】由题意知，只需寻求动点与定点之间的关系，然后化简方程即可，不过要留意动点与定点间的约束条件.
【解析】(1)方法一：设顶点C(x，y)，由于AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，AB为斜边，所以x≠3且x≠-1.
又kAC=yx+1，kBC=yx-3，且kAC·kBC=-1，
所以yx+1·yx-3=-1，化简得x2+y2-2x-3=0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).
方法二：同方法一得x≠3且x≠-1.
由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2，
即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16，
化简得x2+y2-2x-3=0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).
方法三：设AB中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知，|CD|=12|AB|=2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1).
(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，由于B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x=x0+32(x≠3且x≠-1)，y=y02，于是有x0=2x-3，y0=2y.
由(1)知，点C在圆(x0-1)2+y02=4(x0≠3且x0≠-1)上运动，将关系式代入该方程得(2x-4)2+(2y)2=4，即(x-2)2+y2=1.
因此，动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3且x≠-1).
【变式训练】已知一曲线上的点与定点O(0，0)的距离和定点A(3，0)的距离的比是12，求此曲线的方程，并说明此曲线表示的图形.
【解析】设点M(x，y)是曲线上的任意一点，则点M属于集合M|OM||AM|=12.
由两点间的距离公式，得
x2+y2(x-3)2+y2=12，
化简得
x2+y2+2x-3=0 ①
这就是所求的曲线方程.
把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2=4.
所以曲线是以C(-1，0)为圆心，2为半径的圆.
【拓展延长】求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y).
(2)列出点M所满足的条件.
(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)=0.
(4)将上述方程化简.
(5)证明化简后以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
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