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课时提升作业(九)
垂直关系的判定
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2022·淮北高一检测)三棱锥的四个面中直角三角形最多有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,选取顶点D1,D,A,B构成三棱锥D1-DAB,易知其四个面全是直角三角形.
2.下列说法中正确的个数是( )
①假如直线l与平面α内的两条相交直线都垂直,则l⊥α;
②假如直线l与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α;
③假如直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线;
④假如直线l不垂直于α,则α内也可以有很多条直线与l垂直.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选D.由直线和平面垂直的定理知①对,由直线与平面垂直的定义知②正确,当l与α不垂直时,l可能与α内的很多条直线垂直,故③不对,④正确.
3.(2022·辽宁高考)已知m,n表示两条不同的直线,α表示平面,下列说法正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m⊥α,nα,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
【解析】选B.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,
直线AA1,AB1分别与平面CC1D1D平行,但是直线AA1,AB1相交,故选项A错误;
依据线面垂直的定义,一条直线垂直一个平面,则该直线垂直于平面内的任一条直线,可见选项B正确;
直线AA1⊥平面ABCD,AA1⊥BC,但直线BC平面ABCD,故选项C错误;
直线AA1∥平面CC1D1D,AA1⊥CD,但直线CD平面CC1D1D,故选项D错误.
4.(2022·泰安高一检测)三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,PA=PB=PC,则下列说法正确的是( )
A.平面PAC⊥平面ABC B.平面PAB⊥平面PBC
C.PB⊥平面ABC D.BC⊥平面PAB
【解析】选A.如图,由于∠ABC=90°,PA=PB=PC,所以点P在底面的射影落在△ABC的斜边的中点O处,连接OB,OP,则PO⊥OB,又PA=PC,所以PO⊥AC,且AC∩OB=O,
所以PO⊥平面ABC,又PO平面PAC,
所以平面PAC⊥平面ABC.
5.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是( )
A.5 B.2 C.35 D.45
【解析】选D.如图所示,作PD⊥BC于D,连接AD,
由于PA⊥平面ABC,
所以PA⊥BC,PD∩PA=P,
所以CB⊥平面PAD,
所以AD⊥BC.
由于AB=AC,所以CD=BD=3.
在Rt△ACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4,
在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,
所以PD=82+42=45.
6.(2021·兰州高一检测)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=23,CC1=2,则二面角C1-BD-C的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选A.由于ABCD-A1B1C1D1是长方体,
所以CC1⊥平面ABCD,所以BD⊥CC1.
由于ABCD是矩形,且AB=AD,
所以ABCD是正方形,
所以BD⊥AC.又AC∩CC1=C,
所以BD⊥平面AA1C1C,
所以∠COC1是二面角C1-BD-C的平面角,
Rt△CC1O中∠C1CO=90°,CC1=2,
OC=22BC=22×23=6,
所以tan∠COC1=CC1OC=26=33,
所以∠COC1=30°.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7. (2022·杭州高二检测)四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD=2a,则PC=________.
【解析】连接AC,由于PA=AB=a,PB=2a,
所以PA2+AB2=PB2,
所以PA⊥AB,同理可证PA⊥AD,
又AB∩AD=A,所以PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥AC,故PC=PA2+AC2=a2+2a2=3a.
答案:3a
8.(2022·西安高一检测)平行四边形ABCD的对角线交于点O,点P在□ABCD所在平面外,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是________.
【解析】由于AO=CO,PA=PC,
所以PO⊥AC,
由于BO=DO,PD=PB,所以PO⊥BD.
又AC∩BD=O,所以PO⊥平面ABCD.
答案:PO⊥平面ABCD
9.如图,正四棱锥P-ABCD中,PO⊥底面ABCD,O为正方形ABCD的中心,PO=1,AB=2,则二面角P-AB-D的大小为________.
【解题指南】先找二面角的平面角,然后放在直角三角形中求解.
【解析】如图所示,取AB中点E,连接PE,OE.
由O为正方形ABCD的中心知AB⊥EO.
由PA=PB,E为AB中点,知AB⊥EP,
所以∠PEO为二面角P-AB-D的平面角,
在Rt△PEO中,
tan∠PEO=POOE=PO12AB=112×2=1.所以∠PEO=45°.
答案:45°
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.如图,在锥体P-ABCD中,ABCD是菱形,且∠DAB=60°,PA=PD,E,F分别是BC,PC的中点.
证明:AD⊥平面DEF.
【证明】取AD的中点G,连接PG,BG,
由于PA=PD,所以AD⊥PG.
设菱形ABCD边长为1,在△ABG中,
由于∠GAB=60°,AG=12,AB=1,
所以∠AGB=90°,即AD⊥GB.
又PG∩GB=G,所以AD⊥平面PGB,
所以AD⊥PB.由于E,F分别是BC,PC的中点,
所以EF∥PB,AD⊥EF,
又DE∥GB,AD⊥GB,所以AD⊥DE,
又DE∩EF=E,所以AD⊥平面DEF.
11.(2022·江苏高考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.
求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)直线A1F∥平面ADE.
【解题指南】(1)关键在平面ADE与平面BCC1B1中的一个平面上找一条直线与另一个平面垂直.
(2)关键在平面ADE内找一条直线与直线A1F平行.
【证明】(1)D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,
又因三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,
所以有BB1⊥平面ADC,即有AD⊥BB1.
又在平面BCC1B1内BB1与DE必相交,
所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
A1B1=A1C1,所以有AB=AC.
又由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以AD⊥BC,
所以D为边BC上的中点,
连接DF,得AA1FD为平行四边形,故A1F∥AD,又AD平面ADE,A1F⊈平面ADE,所以直线A1F∥平面ADE.
【拓展延长】利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧
证明线面垂直时要留意分析几何图形,查找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等,等腰三角形、梯形底边的中线、高,菱形、正方形的对角线,三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.下列命题正确的是( )
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;
②假如一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行;
③过不在平面内的一条直线可作很多个平面与已知平面垂直;
④假如两个平面相互垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.
A.①③ B.②③ C.②③④ D.④
【解析】选D.过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,所以①不对;若α⊥β,a⊥α,则aβ或a∥β,所以②不对;当平面外的直线是平面的垂线时,能作很多个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,所以③也不对.
2.(2022·汉中高一检测)设α,β,γ为两两不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,给出下列三个命题:
①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若α∥β,lα,则l∥β;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.
其中真命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.①中α与β可能相交,②③正确.
3.(2022·吉安高二检测)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面如图所示,图中相互垂直的平面有( )
A.1对 B.2对
C.5对 D.4对
【解析】选C.由于DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,
所以DA⊥平面PAB,同理BC⊥平面PAB,AB⊥平面PAD,DC⊥平面PAD,
所以平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PDC⊥平PAD,平面PAB⊥平面PAD.
4.如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=2,BD⊥CD,将四边形ABCD沿对角线BD折成四周体A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是( )
A.A′C⊥BD
B.∠BA′C=90°
C.△A′DC是正三角形
D.四周体A′-BCD的体积为13
【解析】选B.若A′C⊥BD,又已知BD⊥CD,
则BD⊥平面A′CD,
即BD⊥A′D,与已知BD与A′D不垂直冲突,故A′C⊥BD不正确.
由BD⊥CD,平面A′BD⊥平面BCD,我们易得CD⊥平面A′BD,
所以CD⊥A′B,又由AB=AD=1,BD=2,
可得A′B⊥A′D,
又A′D∩CD=D,
则A′B垂直于平面A′CD,所以∠BA′C=90°,
故B正确.
由CD⊥平面A′BD得CD⊥A′D,
即△A′DC是直角三角形,故C错误;
由于四周体A′-BCD的体积V=13×CD×S△A′BD=16,所以D错误;故选B.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2022·哈尔滨高一检测)四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形,则二面角V-AB-C的大小为________.
【解析】取AB,CD的中点E,F,连接VE,VF,EF,
由于底面ABCD是边长为2的正方形,
侧面都是棱长为5的等腰三角形,
所以VE⊥AB,EF⊥AB,
所以∠VEF即为二面角V-AB-C的平面角.
又EF=BC=2,VE=VA2-AE2=2=VF,
故△VEF为等边三角形,所以∠VEF=60°.
答案:60°
6.(2022·马鞍山高一检测)在空间四边形ABCD中,△ABD,△CBD都是边长为1的正三角形,且平面ABD⊥平面CBD,E,F,G,H为空间四边形AB,AD,CD,BC边上的中点,则四边形EFGH的面积是________.
【解析】依题意,作图如下:
取BD的中点为O,连接AO,CO,
由于△ABD,△CBD都是边长为1的正三角形,
所以AO⊥BD,CO⊥BD,AO∩CO=O,
所以BD⊥平面AOC,AC平面AOC,
所以BD⊥AC.
由于E,F,G,H为空间四边形AB,AD,CD,BC边上的中点,
所以EFGH12BD=12,FGEH12AC,
由于BD⊥AC,故EF⊥FG,即四边形EFGH为矩形.
在等腰直角三角形AOC中,AC2=AO2+CO2=322+322=32,
所以AC=62,故FG=64,
所以四边形EFGH的面积S=EF·FG=12×64=68.
答案:68
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.(2022·宿州高一检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥BC,∠A1AC=60°,AA1=AC=BC=1,A1B=2.
(1)求证:平面A1BC⊥平面ACC1A1.
(2)假如D为AB的中点,求证:BC1∥平面A1DC.
【证明】(1)在△A1AC中,∠A1AC=60°,AA1=AC=1,
所以A1C=1,在△A1BC中,BC=1,A1C=1,A1B=2,
由于BC2+A1C2=A1B2,所以BC⊥A1C,
又AA1⊥BC,AA1∩A1C=A1,
所以BC⊥平面ACC1A1,
由于BC平面A1BC,
所以平面A1BC⊥平面ACC1A1.
(2)连接AC1,交A1C于O,连接DO,
则由D为AB中点,O为AC1中点得,OD∥BC1,
OD平面A1DC,BC1⊈平面A1DC,
所以BC1∥平面A1DC.
【变式训练】如图,已知三棱锥P-ABC,∠ACB=90°,D为AB的中点,且△PDB是正三角形,PA⊥PC.
求证:(1)PA⊥平面PBC.
(2)平面PAC⊥平面ABC.
【解题指南】(1)关键是依据△PDB是正三角形,D是AB的中点证明PA⊥PB.
(2)关键是证明BC⊥平面PAC.
【证明】(1)由于△PDB是正三角形,
所以∠BPD=60°.
由于D是AB的中点,
所以AD=BD=PD.又∠ADP=120°,
所以∠DPA=30°,
所以∠DPA+∠BPD=90°,即∠APB=90°,
所以PA⊥PB.又PA⊥PC,PB∩PC=P,
所以PA⊥平面PBC.
(2)由于PA⊥平面PBC,
所以PA⊥BC.
由于∠ACB=90°,
所以AC⊥BC.又PA∩AC=A,
所以BC⊥平面PAC.
由于BC平面ABC,
所以平面PAC⊥平面ABC.
8.(2022·武汉高二检测)如图,在四周体ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=
120°,且OA=OB=OC=1,
(1)设P为AC的中点,证明:在AB上存在一点Q,使PQ⊥OA,并计算ABAQ的值.
(2)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.
【解析】(1)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N,连接NC,
又OA⊥OC,ON∩OC=O,
所以OA⊥平面ONC.
由于NC平面ONC,
所以OA⊥NC,
取Q为AN的中点,连接PQ.
则PQ∥NC,所以PQ⊥OA.
在等腰△AOB中,
∠AOB=120°,所以∠OAB=∠OBA=30°.
在Rt△AON中,
∠OAN=30°,所以ON=12AN=AQ.
在△ONB中,
∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO,
所以NB=ON=AQ,所以ABAQ=3.
(2)连接PN,PO.由于OC⊥OA,OC⊥OB,
OA∩OB=O,所以OC⊥平面OAB.
又ON平面OAB,所以OC⊥ON,
又由ON⊥OA,OA∩OC=O,所以ON⊥平面AOC.
所以OP是NP在平面AOC内的射影.
在等腰Rt△COA中,P为AC的中点,所以AC⊥OP,
又ON⊥AC,且ON∩OP=O,
故AC⊥平面OPN,
所以AC⊥NP,
所以∠OPN为二面角O-AC-B的平面角.
在等腰Rt△COA中,OC=OA=1,
所以OP=22,
在Rt△AON中,ON=OA·tan30°=33,
所以在Rt△PON中,PN=OP2+ON2=306,
所以cos∠OPN=POPN=22306=155.
【变式训练】如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,E是AB的中点,沿DE将△ADE折起.
(1)假如二面角A′-DE-C是直二面角,求证:A′B=A′C.
(2)假如A′B=A′C,求证:平面A′DE⊥平面BCDE.
【证明】(1)过点A′作A′M⊥DE于点M,
则A′M⊥平面BCDE,
所以A′M⊥BC.
又A′D=A′E,
所以M是DE的中点.取BC中点N,连接MN,A′N,则MN⊥BC.
又A′M⊥BC,A′M∩MN=M,
所以BC⊥平面A′MN,所以A′N⊥BC.
又由于N是BC中点,所以A′B=A′C.
(2)取BC的中点N,连接A′N.
由于A′B=A′C,所以A′N⊥BC.
取DE的中点M,连接MN,A′M,所以MN⊥BC.
又A′N∩MN=N,
所以BC⊥平面A′MN,所以A′M⊥BC.
又M是DE的中点,A′D=A′E,所以A′M⊥DE.
又由于DE与BC是平面BCDE内的相交直线,
所以A′M⊥平面BCDE.
由于A′M平面A′DE,
所以平面A′DE⊥平面BCDE.
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