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课时提升作业(九)
垂直关系的判定
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.(2022·淮北高一检测)三棱锥的四个面中直角三角形最多有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，选取顶点D1，D，A，B构成三棱锥D1-DAB，易知其四个面全是直角三角形.
2.下列说法中正确的个数是( )
①假如直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；
②假如直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
③假如直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④假如直线l不垂直于α，则α内也可以有很多条直线与l垂直.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选D.由直线和平面垂直的定理知①对，由直线与平面垂直的定义知②正确，当l与α不垂直时，l可能与α内的很多条直线垂直，故③不对，④正确.
3.(2022·辽宁高考)已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是( )
A.若m∥α，n∥α，则m∥n
B.若m⊥α，nα，则m⊥n
C.若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【解析】选B.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
直线AA1，AB1分别与平面CC1D1D平行，但是直线AA1，AB1相交，故选项A错误；
依据线面垂直的定义，一条直线垂直一个平面，则该直线垂直于平面内的任一条直线，可见选项B正确；
直线AA1⊥平面ABCD，AA1⊥BC，但直线BC平面ABCD，故选项C错误；
直线AA1∥平面CC1D1D，AA1⊥CD，但直线CD平面CC1D1D，故选项D错误.
4.(2022·泰安高一检测)三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，PA=PB=PC，则下列说法正确的是( )
A.平面PAC⊥平面ABC B.平面PAB⊥平面PBC
C.PB⊥平面ABC D.BC⊥平面PAB
【解析】选A.如图，由于∠ABC=90°，PA=PB=PC，所以点P在底面的射影落在△ABC的斜边的中点O处，连接OB，OP，则PO⊥OB，又PA=PC，所以PO⊥AC，且AC∩OB=O，
所以PO⊥平面ABC，又PO平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABC.
5.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是( )
A.5 B.2 C.35 D.45
【解析】选D.如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD，
由于PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC，PD∩PA=P，
所以CB⊥平面PAD，
所以AD⊥BC.
由于AB=AC，所以CD=BD=3.
在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，所以AD=4，
在Rt△PAD中，PA=8，AD=4，
所以PD=82+42=45.
6.(2021·兰州高一检测)长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=23，CC1=2，则二面角C1-BD-C的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选A.由于ABCD-A1B1C1D1是长方体，
所以CC1⊥平面ABCD，所以BD⊥CC1.
由于ABCD是矩形，且AB=AD，
所以ABCD是正方形，
所以BD⊥AC.又AC∩CC1=C，
所以BD⊥平面AA1C1C，
所以∠COC1是二面角C1-BD-C的平面角，
Rt△CC1O中∠C1CO=90°，CC1=2，
OC=22BC=22×23=6，
所以tan∠COC1=CC1OC=26=33，
所以∠COC1=30°.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7. (2022·杭州高二检测)四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=2a，则PC=________.
【解析】连接AC，由于PA=AB=a，PB=2a，
所以PA2+AB2=PB2，
所以PA⊥AB，同理可证PA⊥AD，
又AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥AC，故PC=PA2+AC2=a2+2a2=3a.
答案：3a
8.(2022·西安高一检测)平行四边形ABCD的对角线交于点O，点P在□ABCD所在平面外，且PA=PC，PD=PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________.
【解析】由于AO=CO，PA=PC，
所以PO⊥AC，
由于BO=DO，PD=PB，所以PO⊥BD.
又AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD.
答案：PO⊥平面ABCD
9.如图，正四棱锥P-ABCD中，PO⊥底面ABCD，O为正方形ABCD的中心，PO=1，AB=2，则二面角P-AB-D的大小为________.
【解题指南】先找二面角的平面角，然后放在直角三角形中求解.
【解析】如图所示，取AB中点E，连接PE，OE.
由O为正方形ABCD的中心知AB⊥EO.
由PA=PB，E为AB中点，知AB⊥EP，
所以∠PEO为二面角P-AB-D的平面角，
在Rt△PEO中，
tan∠PEO=POOE=PO12AB=112×2=1.所以∠PEO=45°.
答案：45°
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.如图，在锥体P-ABCD中，ABCD是菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，E，F分别是BC，PC的中点.
证明：AD⊥平面DEF.
【证明】取AD的中点G，连接PG，BG，
由于PA=PD，所以AD⊥PG.
设菱形ABCD边长为1，在△ABG中，
由于∠GAB=60°，AG=12，AB=1，
所以∠AGB=90°，即AD⊥GB.
又PG∩GB=G，所以AD⊥平面PGB，
所以AD⊥PB.由于E，F分别是BC，PC的中点，
所以EF∥PB，AD⊥EF，
又DE∥GB，AD⊥GB，所以AD⊥DE，
又DE∩EF=E，所以AD⊥平面DEF.
11.(2022·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点.
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)直线A1F∥平面ADE.
【解题指南】(1)关键在平面ADE与平面BCC1B1中的一个平面上找一条直线与另一个平面垂直.
(2)关键在平面ADE内找一条直线与直线A1F平行.
【证明】(1)D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，
又因三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
所以有BB1⊥平面ADC，即有AD⊥BB1.
又在平面BCC1B1内BB1与DE必相交，
所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
A1B1=A1C1，所以有AB=AC.
又由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以AD⊥BC，
所以D为边BC上的中点，
连接DF，得AA1FD为平行四边形，故A1F∥AD，又AD平面ADE，A1F⊈平面ADE，所以直线A1F∥平面ADE.
【拓展延长】利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧
证明线面垂直时要留意分析几何图形，查找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直.三角形全等，等腰三角形、梯形底边的中线、高，菱形、正方形的对角线，三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.下列命题正确的是( )
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；
②假如一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平面平行；
③过不在平面内的一条直线可作很多个平面与已知平面垂直；
④假如两个平面相互垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.
A.①③ B.②③ C.②③④ D.④
【解析】选D.过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，所以①不对；若α⊥β，a⊥α，则aβ或a∥β，所以②不对；当平面外的直线是平面的垂线时，能作很多个平面与已知平面垂直，否则只能作一个，所以③也不对.
2.(2022·汉中高一检测)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，lα，则l∥β；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.①中α与β可能相交，②③正确.
3.(2022·吉安高二检测)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面如图所示，图中相互垂直的平面有( )
A.1对 B.2对
C.5对 D.4对
【解析】选C.由于DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA=A，
所以DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，
所以平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PDC⊥平PAD，平面PAB⊥平面PAD.
4.如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四周体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是( )
A.A′C⊥BD
B.∠BA′C=90°
C.△A′DC是正三角形
D.四周体A′-BCD的体积为13
【解析】选B.若A′C⊥BD，又已知BD⊥CD，
则BD⊥平面A′CD，
即BD⊥A′D，与已知BD与A′D不垂直冲突，故A′C⊥BD不正确.
由BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，我们易得CD⊥平面A′BD，
所以CD⊥A′B，又由AB=AD=1，BD=2，
可得A′B⊥A′D，
又A′D∩CD=D，
则A′B垂直于平面A′CD，所以∠BA′C=90°，
故B正确.
由CD⊥平面A′BD得CD⊥A′D，
即△A′DC是直角三角形，故C错误；
由于四周体A′-BCD的体积V=13×CD×S△A′BD=16，所以D错误；故选B.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.(2022·哈尔滨高一检测)四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C的大小为________.
【解析】取AB，CD的中点E，F，连接VE，VF，EF，
由于底面ABCD是边长为2的正方形，
侧面都是棱长为5的等腰三角形，
所以VE⊥AB，EF⊥AB，
所以∠VEF即为二面角V-AB-C的平面角.
又EF=BC=2，VE=VA2-AE2=2=VF，
故△VEF为等边三角形，所以∠VEF=60°.
答案：60°
6.(2022·马鞍山高一检测)在空间四边形ABCD中，△ABD，△CBD都是边长为1的正三角形，且平面ABD⊥平面CBD，E，F，G，H为空间四边形AB，AD，CD，BC边上的中点，则四边形EFGH的面积是________.
【解析】依题意，作图如下：
取BD的中点为O，连接AO，CO，
由于△ABD，△CBD都是边长为1的正三角形，
所以AO⊥BD，CO⊥BD，AO∩CO=O，
所以BD⊥平面AOC，AC平面AOC，
所以BD⊥AC.
由于E，F，G，H为空间四边形AB，AD，CD，BC边上的中点，
所以EFGH12BD=12，FGEH12AC，
由于BD⊥AC，故EF⊥FG，即四边形EFGH为矩形.
在等腰直角三角形AOC中，AC2=AO2+CO2=322+322=32，
所以AC=62，故FG=64，
所以四边形EFGH的面积S=EF·FG=12×64=68.
答案：68
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.(2022·宿州高一检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC=60°，AA1=AC=BC=1，A1B=2.
(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1.
(2)假如D为AB的中点，求证：BC1∥平面A1DC.
【证明】(1)在△A1AC中，∠A1AC=60°，AA1=AC=1，
所以A1C=1，在△A1BC中，BC=1，A1C=1，A1B=2，
由于BC2+A1C2=A1B2，所以BC⊥A1C，
又AA1⊥BC，AA1∩A1C=A1，
所以BC⊥平面ACC1A1，
由于BC平面A1BC，
所以平面A1BC⊥平面ACC1A1.
(2)连接AC1，交A1C于O，连接DO，
则由D为AB中点，O为AC1中点得，OD∥BC1，
OD平面A1DC，BC1⊈平面A1DC，
所以BC1∥平面A1DC.
【变式训练】如图，已知三棱锥P-ABC，∠ACB=90°，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.
求证：(1)PA⊥平面PBC.
(2)平面PAC⊥平面ABC.
【解题指南】(1)关键是依据△PDB是正三角形，D是AB的中点证明PA⊥PB.
(2)关键是证明BC⊥平面PAC.
【证明】(1)由于△PDB是正三角形，
所以∠BPD=60°.
由于D是AB的中点，
所以AD=BD=PD.又∠ADP=120°，
所以∠DPA=30°，
所以∠DPA+∠BPD=90°，即∠APB=90°，
所以PA⊥PB.又PA⊥PC，PB∩PC=P，
所以PA⊥平面PBC.
(2)由于PA⊥平面PBC，
所以PA⊥BC.
由于∠ACB=90°，
所以AC⊥BC.又PA∩AC=A，
所以BC⊥平面PAC.
由于BC平面ABC，
所以平面PAC⊥平面ABC.
8.(2022·武汉高二检测)如图，在四周体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=
120°，且OA=OB=OC=1，
(1)设P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，并计算ABAQ的值.
(2)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.
【解析】(1)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连接NC，
又OA⊥OC，ON∩OC=O，
所以OA⊥平面ONC.
由于NC平面ONC，
所以OA⊥NC，
取Q为AN的中点，连接PQ.
则PQ∥NC，所以PQ⊥OA.
在等腰△AOB中，
∠AOB=120°，所以∠OAB=∠OBA=30°.
在Rt△AON中，
∠OAN=30°，所以ON=12AN=AQ.
在△ONB中，
∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO，
所以NB=ON=AQ，所以ABAQ=3.
(2)连接PN，PO.由于OC⊥OA，OC⊥OB，
OA∩OB=O，所以OC⊥平面OAB.
又ON平面OAB，所以OC⊥ON，
又由ON⊥OA，OA∩OC=O，所以ON⊥平面AOC.
所以OP是NP在平面AOC内的射影.
在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，所以AC⊥OP，
又ON⊥AC，且ON∩OP=O，
故AC⊥平面OPN，
所以AC⊥NP，
所以∠OPN为二面角O-AC-B的平面角.
在等腰Rt△COA中，OC=OA=1，
所以OP=22，
在Rt△AON中，ON=OA·tan30°=33，
所以在Rt△PON中，PN=OP2+ON2=306，
所以cos∠OPN=POPN=22306=155.
【变式训练】如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起.
(1)假如二面角A′-DE-C是直二面角，求证：A′B=A′C.
(2)假如A′B=A′C，求证：平面A′DE⊥平面BCDE.
【证明】(1)过点A′作A′M⊥DE于点M，
则A′M⊥平面BCDE，
所以A′M⊥BC.
又A′D=A′E，
所以M是DE的中点.取BC中点N，连接MN，A′N，则MN⊥BC.
又A′M⊥BC，A′M∩MN=M，
所以BC⊥平面A′MN，所以A′N⊥BC.
又由于N是BC中点，所以A′B=A′C.
(2)取BC的中点N，连接A′N.
由于A′B=A′C，所以A′N⊥BC.
取DE的中点M，连接MN，A′M，所以MN⊥BC.
又A′N∩MN=N，
所以BC⊥平面A′MN，所以A′M⊥BC.
又M是DE的中点，A′D=A′E，所以A′M⊥DE.
又由于DE与BC是平面BCDE内的相交直线，
所以A′M⊥平面BCDE.
由于A′M平面A′DE，
所以平面A′DE⊥平面BCDE.
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