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2020-2021学年高中数学(北师大版)必修二课时作业-1.6.1垂直关系的判定.docx

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温馨提示: 此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调整合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 课时提升作业(九) 垂直关系的判定 一、选择题(每小题3分,共18分) 1.(2022·淮北高一检测)三棱锥的四个面中直角三角形最多有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】选D.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,选取顶点D1,D,A,B构成三棱锥D1-DAB,易知其四个面全是直角三角形. 2.下列说法中正确的个数是(  ) ①假如直线l与平面α内的两条相交直线都垂直,则l⊥α; ②假如直线l与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α; ③假如直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线; ④假如直线l不垂直于α,则α内也可以有很多条直线与l垂直. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【解析】选D.由直线和平面垂直的定理知①对,由直线与平面垂直的定义知②正确,当l与α不垂直时,l可能与α内的很多条直线垂直,故③不对,④正确. 3.(2022·辽宁高考)已知m,n表示两条不同的直线,α表示平面,下列说法正确的是(  ) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,nα,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α 【解析】选B.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线AA1,AB1分别与平面CC1D1D平行,但是直线AA1,AB1相交,故选项A错误; 依据线面垂直的定义,一条直线垂直一个平面,则该直线垂直于平面内的任一条直线,可见选项B正确; 直线AA1⊥平面ABCD,AA1⊥BC,但直线BC平面ABCD,故选项C错误; 直线AA1∥平面CC1D1D,AA1⊥CD,但直线CD平面CC1D1D,故选项D错误. 4.(2022·泰安高一检测)三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,PA=PB=PC,则下列说法正确的是(  ) A.平面PAC⊥平面ABC B.平面PAB⊥平面PBC C.PB⊥平面ABC D.BC⊥平面PAB 【解析】选A.如图,由于∠ABC=90°,PA=PB=PC,所以点P在底面的射影落在△ABC的斜边的中点O处,连接OB,OP,则PO⊥OB,又PA=PC,所以PO⊥AC,且AC∩OB=O, 所以PO⊥平面ABC,又PO平面PAC, 所以平面PAC⊥平面ABC. 5.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是(  ) A.5 B.2 C.35 D.45 【解析】选D.如图所示,作PD⊥BC于D,连接AD, 由于PA⊥平面ABC, 所以PA⊥BC,PD∩PA=P, 所以CB⊥平面PAD, 所以AD⊥BC. 由于AB=AC,所以CD=BD=3. 在Rt△ACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4, 在Rt△PAD中,PA=8,AD=4, 所以PD=82+42=45. 6.(2021·兰州高一检测)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=23,CC1=2,则二面角C1-BD-C的大小为(  ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】选A.由于ABCD-A1B1C1D1是长方体, 所以CC1⊥平面ABCD,所以BD⊥CC1. 由于ABCD是矩形,且AB=AD, 所以ABCD是正方形, 所以BD⊥AC.又AC∩CC1=C, 所以BD⊥平面AA1C1C, 所以∠COC1是二面角C1-BD-C的平面角, Rt△CC1O中∠C1CO=90°,CC1=2, OC=22BC=22×23=6, 所以tan∠COC1=CC1OC=26=33, 所以∠COC1=30°. 二、填空题(每小题4分,共12分) 7. (2022·杭州高二检测)四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD=2a,则PC=________. 【解析】连接AC,由于PA=AB=a,PB=2a, 所以PA2+AB2=PB2, 所以PA⊥AB,同理可证PA⊥AD, 又AB∩AD=A,所以PA⊥平面ABCD, 所以PA⊥AC,故PC=PA2+AC2=a2+2a2=3a. 答案:3a 8.(2022·西安高一检测)平行四边形ABCD的对角线交于点O,点P在□ABCD所在平面外,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是________. 【解析】由于AO=CO,PA=PC, 所以PO⊥AC, 由于BO=DO,PD=PB,所以PO⊥BD. 又AC∩BD=O,所以PO⊥平面ABCD. 答案:PO⊥平面ABCD 9.如图,正四棱锥P-ABCD中,PO⊥底面ABCD,O为正方形ABCD的中心,PO=1,AB=2,则二面角P-AB-D的大小为________. 【解题指南】先找二面角的平面角,然后放在直角三角形中求解. 【解析】如图所示,取AB中点E,连接PE,OE. 由O为正方形ABCD的中心知AB⊥EO. 由PA=PB,E为AB中点,知AB⊥EP, 所以∠PEO为二面角P-AB-D的平面角, 在Rt△PEO中, tan∠PEO=POOE=PO12AB=112×2=1.所以∠PEO=45°. 答案:45° 三、解答题(每小题10分,共20分) 10.如图,在锥体P-ABCD中,ABCD是菱形,且∠DAB=60°,PA=PD,E,F分别是BC,PC的中点. 证明:AD⊥平面DEF. 【证明】取AD的中点G,连接PG,BG, 由于PA=PD,所以AD⊥PG. 设菱形ABCD边长为1,在△ABG中, 由于∠GAB=60°,AG=12,AB=1, 所以∠AGB=90°,即AD⊥GB. 又PG∩GB=G,所以AD⊥平面PGB, 所以AD⊥PB.由于E,F分别是BC,PC的中点, 所以EF∥PB,AD⊥EF, 又DE∥GB,AD⊥GB,所以AD⊥DE, 又DE∩EF=E,所以AD⊥平面DEF. 11.(2022·江苏高考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点. 求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)直线A1F∥平面ADE. 【解题指南】(1)关键在平面ADE与平面BCC1B1中的一个平面上找一条直线与另一个平面垂直. (2)关键在平面ADE内找一条直线与直线A1F平行. 【证明】(1)D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE, 又因三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱, 所以有BB1⊥平面ADC,即有AD⊥BB1. 又在平面BCC1B1内BB1与DE必相交, 所以AD⊥平面BCC1B1. 又AD平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1B1=A1C1,所以有AB=AC. 又由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以AD⊥BC, 所以D为边BC上的中点, 连接DF,得AA1FD为平行四边形,故A1F∥AD,又AD平面ADE,A1F⊈平面ADE,所以直线A1F∥平面ADE. 【拓展延长】利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧 证明线面垂直时要留意分析几何图形,查找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等,等腰三角形、梯形底边的中线、高,菱形、正方形的对角线,三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法. 一、选择题(每小题4分,共16分) 1.下列命题正确的是(  ) ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直; ②假如一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行; ③过不在平面内的一条直线可作很多个平面与已知平面垂直; ④假如两个平面相互垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内. A.①③ B.②③ C.②③④ D.④ 【解析】选D.过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,所以①不对;若α⊥β,a⊥α,则aβ或a∥β,所以②不对;当平面外的直线是平面的垂线时,能作很多个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,所以③也不对. 2.(2022·汉中高一检测)设α,β,γ为两两不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,给出下列三个命题: ①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若α∥β,lα,则l∥β;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n. 其中真命题的个数为(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选C.①中α与β可能相交,②③正确. 3.(2022·吉安高二检测)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面如图所示,图中相互垂直的平面有(  ) A.1对    B.2对 C.5对    D.4对 【解析】选C.由于DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A, 所以DA⊥平面PAB,同理BC⊥平面PAB,AB⊥平面PAD,DC⊥平面PAD, 所以平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PDC⊥平PAD,平面PAB⊥平面PAD. 4.如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=2,BD⊥CD,将四边形ABCD沿对角线BD折成四周体A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是(  ) A.A′C⊥BD B.∠BA′C=90° C.△A′DC是正三角形 D.四周体A′-BCD的体积为13 【解析】选B.若A′C⊥BD,又已知BD⊥CD, 则BD⊥平面A′CD, 即BD⊥A′D,与已知BD与A′D不垂直冲突,故A′C⊥BD不正确. 由BD⊥CD,平面A′BD⊥平面BCD,我们易得CD⊥平面A′BD, 所以CD⊥A′B,又由AB=AD=1,BD=2, 可得A′B⊥A′D, 又A′D∩CD=D, 则A′B垂直于平面A′CD,所以∠BA′C=90°, 故B正确. 由CD⊥平面A′BD得CD⊥A′D, 即△A′DC是直角三角形,故C错误; 由于四周体A′-BCD的体积V=13×CD×S△A′BD=16,所以D错误;故选B. 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.(2022·哈尔滨高一检测)四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形,则二面角V-AB-C的大小为________. 【解析】取AB,CD的中点E,F,连接VE,VF,EF, 由于底面ABCD是边长为2的正方形, 侧面都是棱长为5的等腰三角形, 所以VE⊥AB,EF⊥AB, 所以∠VEF即为二面角V-AB-C的平面角. 又EF=BC=2,VE=VA2-AE2=2=VF, 故△VEF为等边三角形,所以∠VEF=60°. 答案:60° 6.(2022·马鞍山高一检测)在空间四边形ABCD中,△ABD,△CBD都是边长为1的正三角形,且平面ABD⊥平面CBD,E,F,G,H为空间四边形AB,AD,CD,BC边上的中点,则四边形EFGH的面积是________. 【解析】依题意,作图如下: 取BD的中点为O,连接AO,CO, 由于△ABD,△CBD都是边长为1的正三角形, 所以AO⊥BD,CO⊥BD,AO∩CO=O, 所以BD⊥平面AOC,AC平面AOC, 所以BD⊥AC. 由于E,F,G,H为空间四边形AB,AD,CD,BC边上的中点, 所以EFGH12BD=12,FGEH12AC, 由于BD⊥AC,故EF⊥FG,即四边形EFGH为矩形. 在等腰直角三角形AOC中,AC2=AO2+CO2=322+322=32, 所以AC=62,故FG=64, 所以四边形EFGH的面积S=EF·FG=12×64=68. 答案:68 三、解答题(每小题12分,共24分) 7.(2022·宿州高一检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥BC,∠A1AC=60°,AA1=AC=BC=1,A1B=2. (1)求证:平面A1BC⊥平面ACC1A1. (2)假如D为AB的中点,求证:BC1∥平面A1DC. 【证明】(1)在△A1AC中,∠A1AC=60°,AA1=AC=1, 所以A1C=1,在△A1BC中,BC=1,A1C=1,A1B=2, 由于BC2+A1C2=A1B2,所以BC⊥A1C, 又AA1⊥BC,AA1∩A1C=A1, 所以BC⊥平面ACC1A1, 由于BC平面A1BC, 所以平面A1BC⊥平面ACC1A1. (2)连接AC1,交A1C于O,连接DO, 则由D为AB中点,O为AC1中点得,OD∥BC1, OD平面A1DC,BC1⊈平面A1DC, 所以BC1∥平面A1DC. 【变式训练】如图,已知三棱锥P-ABC,∠ACB=90°,D为AB的中点,且△PDB是正三角形,PA⊥PC. 求证:(1)PA⊥平面PBC. (2)平面PAC⊥平面ABC. 【解题指南】(1)关键是依据△PDB是正三角形,D是AB的中点证明PA⊥PB. (2)关键是证明BC⊥平面PAC. 【证明】(1)由于△PDB是正三角形, 所以∠BPD=60°. 由于D是AB的中点, 所以AD=BD=PD.又∠ADP=120°, 所以∠DPA=30°, 所以∠DPA+∠BPD=90°,即∠APB=90°, 所以PA⊥PB.又PA⊥PC,PB∩PC=P, 所以PA⊥平面PBC. (2)由于PA⊥平面PBC, 所以PA⊥BC. 由于∠ACB=90°, 所以AC⊥BC.又PA∩AC=A, 所以BC⊥平面PAC. 由于BC平面ABC, 所以平面PAC⊥平面ABC. 8.(2022·武汉高二检测)如图,在四周体ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB= 120°,且OA=OB=OC=1, (1)设P为AC的中点,证明:在AB上存在一点Q,使PQ⊥OA,并计算ABAQ的值. (2)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值. 【解析】(1)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N,连接NC, 又OA⊥OC,ON∩OC=O, 所以OA⊥平面ONC. 由于NC平面ONC, 所以OA⊥NC, 取Q为AN的中点,连接PQ. 则PQ∥NC,所以PQ⊥OA. 在等腰△AOB中, ∠AOB=120°,所以∠OAB=∠OBA=30°. 在Rt△AON中, ∠OAN=30°,所以ON=12AN=AQ. 在△ONB中, ∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO, 所以NB=ON=AQ,所以ABAQ=3. (2)连接PN,PO.由于OC⊥OA,OC⊥OB, OA∩OB=O,所以OC⊥平面OAB. 又ON平面OAB,所以OC⊥ON, 又由ON⊥OA,OA∩OC=O,所以ON⊥平面AOC. 所以OP是NP在平面AOC内的射影. 在等腰Rt△COA中,P为AC的中点,所以AC⊥OP, 又ON⊥AC,且ON∩OP=O, 故AC⊥平面OPN, 所以AC⊥NP, 所以∠OPN为二面角O-AC-B的平面角. 在等腰Rt△COA中,OC=OA=1, 所以OP=22, 在Rt△AON中,ON=OA·tan30°=33, 所以在Rt△PON中,PN=OP2+ON2=306, 所以cos∠OPN=POPN=22306=155. 【变式训练】如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,E是AB的中点,沿DE将△ADE折起. (1)假如二面角A′-DE-C是直二面角,求证:A′B=A′C. (2)假如A′B=A′C,求证:平面A′DE⊥平面BCDE. 【证明】(1)过点A′作A′M⊥DE于点M, 则A′M⊥平面BCDE, 所以A′M⊥BC. 又A′D=A′E, 所以M是DE的中点.取BC中点N,连接MN,A′N,则MN⊥BC. 又A′M⊥BC,A′M∩MN=M, 所以BC⊥平面A′MN,所以A′N⊥BC. 又由于N是BC中点,所以A′B=A′C. (2)取BC的中点N,连接A′N. 由于A′B=A′C,所以A′N⊥BC. 取DE的中点M,连接MN,A′M,所以MN⊥BC. 又A′N∩MN=N, 所以BC⊥平面A′MN,所以A′M⊥BC. 又M是DE的中点,A′D=A′E,所以A′M⊥DE. 又由于DE与BC是平面BCDE内的相交直线, 所以A′M⊥平面BCDE. 由于A′M平面A′DE, 所以平面A′DE⊥平面BCDE. 关闭Word文档返回原板块
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