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1．3．1 正弦函数的图象与性质(三)
课时目标 1．了解正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义及其参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．2．会用“图象变换法”作出正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
当函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的______；来回振动一次所需要的时间T＝，叫做振动的________；单位时间内来回振动的次数f＝＝，叫做振动的________；ωx＋φ叫做________；φ叫做________(即当x＝0时的相位)．
2．参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的影响：
(1)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上全部点的纵坐标______(当A>1时)或________(当0<A<1时)到原来的____倍(横坐标不变)而得到，函数y＝Asin x的值域为______，最大值为______，最小值为______．
(2)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
y＝sin(x＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x上全部的点________(当φ>0时)或______(当φ<0时)平行移动______个单位长度而得到．
(3)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上全部点的横坐标_______(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的________倍(纵坐标________)而得到．
一、选择题
1．要得到y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
2．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是( )
A．非奇非偶函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数
D．偶函数
3．要得到函数y＝sin的图象，只要将y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则( )
A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
5．把函数y＝sin x (x∈R)的图象上全部的点向左平移个单位长度，再把所得图象上全部点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )
A．y＝sin，x-Ray B．y＝sin，x∈R
C．y＝sin，x-Ray D．y＝sin，x∈R
6．将y＝f(x)的图象上全部点的横坐标缩短到原来的倍，然后再将整个图象沿x轴向右平移个单位，得到的曲线与y＝sin x图象相同，则y＝f(x)的函数解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
二、填空题
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在同一周期内，当x＝时，y最大＝2，当x＝时，y最小＝－2，那么函数的解析式为________________．
8．函数y＝sin与y轴最近的对称轴方程是__________．
9．已知函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________．
10．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值是_________________________________________________________________．
三、解答题
11．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈．
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
力气提升
13．右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间[－，]上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x(x∈R)的图象上全部的点( )
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
14．假如函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，那么a等于( )
A． B．－ C．1 D．－1
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象在一个周期内的五点横坐标是等间距的，都是，于是五点横坐标依次为x1＝－，x2＝x1＋，x3＝x1＋，x4＝x1＋T，x5＝x1＋T．
2．在三角函数的图象变换中，周期变换与相位变换的先后挨次不同，其中变换的量也不同：
①先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．②先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特殊留意．
3．争辩函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质时，通常利用整体思想把ωx＋φ看作一个角，类比函数y＝sin x的性质来求解．
1．3．1 正弦函数的图象与性质(三) 答案
学问梳理
1．振幅 周期 频率 相位 初相 2．(1)伸长 缩短 A
[－A，A] A －A (2)向左 向右 |φ| (3)缩短 伸长
不变
作业设计
1．C 2．D
3．C [由于y＝sin＝sin2，
所以把y＝sin 2x的图象上全部点向左平移个单位，就得到y＝sin2＝sin的图象．]
4．D [由图象知＝－＝，∴T＝π，ω＝2．
且2×＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－(k∈Z)．
又|φ|<，∴φ＝－．]
5．C [将y＝sin x图象上的全部的点向左平移个单位长度得到y＝sin．再将图象上全部点的横坐标缩短到原来的，得y＝sin．]
6．C [接受逆变换法．先把函数y＝sin x的图象向左平移个单位得到y＝sin(x＋)的图象，再把横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin(x＋)的图象．
故f(x)＝sin(x＋)．]
7．y＝2sin
8．x＝－
解析 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)．
由k＝0，得x＝；由k＝－1，得x＝－．
9．
解析 由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为
2＝，∴＝，∴ω＝．
∵当x＝π时，y有最小值－1，
∴×＋φ＝2kπ－ (k∈Z)．
∵－π≤φ<π，∴φ＝．
10．
解析 y＝sin 2x向右平移φ个单位得
f(x)＝sin 2(x－φ)＝sin(2x－2φ)．
由f＝sin＝±1，
∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴2φ＝－kπ－，令k＝－1，得2φ＝π，
∴φ＝π或作出y＝sin 2x的图象观看易知
φ＝－＝π．
11．解 (1)由题意知A＝，T＝4×＝π，
ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．
又∵sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，
又∵φ∈，∴φ＝．
∴y＝sin
(2)列出x、y的对应值表：
x
－
π
π
π
2x＋
0
π
π
2π
y
0
0
－
0
描点，连线，如图所示：
12．解 ∵f(x)在R上是偶函数，
∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．
即sin φ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z，
又0≤φ≤π，∴φ＝．
由图象关于M对称可知，
sin＝0，解得ω＝k－，k∈Z．
又f(x)在上单调函数，所以T≥π，即≥π，
∴ω≤2，又ω>0，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2．
13．A [由图象可知A＝1，T＝－(－)＝π，
∴ω＝＝2．
∵图象过点(，0)，
∴sin(＋φ)＝0，∴＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z．
∴y＝sin(2x＋＋2kπ)＝sin(2x＋)．
故将函数y＝sin x的图象先向左平移个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得原函数的图象．]
14．D [方法一 ∵函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于x＝－对称，
设f(x)＝sin 2x＋acos 2x，则f＝f(0)
∴sin＋acos＝sin 0＋acos 0．
∴a＝－1．
方法二 由题意得f＝f，
令x＝，有f＝f(0)，即－1＝a．]
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