资源描述
§1．2 任意角的三角函数
1．2．1 三角函数的定义
课时目标 1．理解任意角的余弦、正弦和正切的定义．了解任意角的余弦、正割和余割的定义．2．把握三角函数值在各象限的符号，通过任意角的三角函数的定义，生疏到锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深对特殊与一般关系的理解．
1．任意角三角函数的定义
任意角三角函数的定义
如图所示，以任意角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系．设P(x，y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点．
其中，r＝OP＝>0．
定义：叫做角α的余弦，记作cos α，即cos α＝；
叫做角α的正弦，记作sin α，即sin α＝；
叫做角α的正切，记作tan α，即tan α＝．
另外，角α的正割：sec α＝＝；
角α的余割：csc α＝＝；
角α的余切：cot α＝＝．
2．六种三角函数值在各象限的符号
3．三角函数的定义域
三角函数
定义域
sin α，cos α
tan α，sec α
cot α，csc α
一、选择题
1．若α的终边与y轴重合，则α的六种三角函数中，函数值不存在的是( )
A．sin α与cos α B．tan α与cot α
C．tan α与sec α D．cot α与csc α
2．点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则的值为( )
A． B．－ C． D．－
3．若sin α<0且tan α>0，则α是( )
A．第一象限角 B．其次象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4．角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，则b的值为( )
A．3 B．－3 C．±3 D．5
5．已知x为终边不在坐标轴上的角，则函数f(x)＝＋＋的值域是( )
A．{－3，－1,1,3} B．{－3，－1}
C．{1,3} D．{－1,3}
6．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A． B． C． D．
二、填空题
7．若角α的终边过点P(5，－12)，则sin α＋cos α＝______．
8．已知α终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a的取值范围为________．
9．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________．
10．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________．
三、解答题
11．推断下列各式的符号：
(1)sin α·cos α(其中α是其次象限角)；
(2)sin 285°cos(－105°)；
(3)sin 3·cos 4·tan(－)．
12．已知角α终边上一点P(－，y)，且sin α＝y，求cos α和tan α的值．
力气提升
13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )
A．sin B．cos C．tan D．cos 2θ
14．已知角α的终边上一点P(－15a,8a) (a∈R且a≠0)，求α的各三角函数值．
1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．
2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积．
§1．2 任意角的三角函数
1．2．1 三角函数的定义
答案
学问梳理
3．R {α|α≠kπ，k∈Z}
作业设计
1．C 2．B
3．C [∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0，
∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角．]
4．A [r＝，cos α＝＝＝－．
∴b＝3．]
5．D [若x为第一象限角，则f(x)＝3；
若x为其次、三、四象限，则f(x)＝－1．
∴函数f(x)的值域为{－1,3}．]
6．D [由任意角三角函数的定义，
tan θ＝＝＝＝－1．
∵sin>0，cos<0，
∴点P在第四象限．∴θ＝．故选D．]
7．－
8．－2<a≤3
解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于其次象限或y轴正半轴上，∴3a－9≤0，a＋2>0，∴－2<a≤3．
9．负号
解析 ∵<2<π，∴sin 2>0，
∵<3<π，∴cos 3<0，∵π<4<，∴tan 4>0．
∴sin 2cos 3tan 4<0．
10．2
解析 ∵y＝3x，sin α<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上，且m<0，n<0，n＝3m．
∴|OP|＝＝|m|＝－m＝．
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2．
11．解 (1)∵α是其次象限角．
∴sin α>0，cos α<0，∴sin α·cos α<0．
(2)∵285°是第四象限角，∴sin 285°<0，
∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0，
∴sin 285°·cos(－105°)>0．
(3)∵<3<π，π<4<，∴sin 3>0，cos 4<0．
∵－＝－6π＋，∴tan>0，
∴sin 3·cos 4·tan<0．
12．解 sin α＝＝y．
当y＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0．
当y≠0时，由＝，解得y＝±．
当y＝时，P，r＝．
∴cos α＝－，tan α＝－．
当y＝－时，P(－，－)，r＝，
∴cos α＝－，tan α＝．
13．C [∵θ为第一象限角，∴2kπ<θ<2kπ＋，k∈Z．
∴kπ<<kπ＋，k∈Z．
当k＝2n (n∈Z)时，2nπ<<2nπ＋ (n∈Z)．
∴为第一象限角，
∴sin >0，cos >0，tan >0．
当k＝2n＋1 (n∈Z)时，
2nπ＋π<<2nπ＋π (n∈Z)．
∴为第三象限角，
∴sin <0，cos <0，tan >0，从而tan >0．
而4kπ<2θ<4kπ＋π，k∈Z，
cos 2θ有可能取负值，故选C．]
14．解 ∵x＝－15a，y＝8a，
∴r＝＝17|a| (a≠0)．
(1)若a>0，则r＝17a，于是
sin α＝，cos α＝－，tan α＝－．
(2)若a<0，则r＝－17a，于是
sin α＝－，cos α＝，tan α＝－．
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