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第三章 三角恒等变换
§3．1 和角公式
3．1．1两角和与差的余弦
课时目标 1．会用向量的数量积推导两角差的余弦公式．2．能利用两角和与差的余弦公式进行三角函数式的化简和求值．
1．两角差的余弦公式：
Cα－β：cos(α－β)＝________________________________________________________．
2．两角和的余弦公式：
在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式．即：
cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝________________________________________________
＝________________________________________________________________________．
一、选择题
1．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°等于( )
A．－ B． C．0 D．1
2．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得( )
A．cos α B．cos β
C．cos(2α＋β) D．sin(2α＋β)
3．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得( )
A． B．－ C． D．－
4．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )
A． B． C． D．
5．若sin(π＋θ)＝－，θ是其次象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )
A．－ B． C． D．
6．若sin α＋sin β＝1－，cos α＋cos β＝，
则cos(α－β)的值为( )
A． B．－ C． D．1
二、填空题
7．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________．
8．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β＝________．
9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．
10．已知α、β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，则α－β的值为________．
三、解答题
11．已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cos β的值．
12．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．
力气提升
13．已知cos(α－)＝－，sin(－β)＝，且<α<π，0<β<，求cos的值．
14．已知α、β、γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值．
1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．留意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．
确定用所求角的哪种三角函数值，要依据具体题目而定．
第三章 三角恒等变换
§3．1 和角公式
3．1．1 两角和与差的余弦
答案
学问梳理
1．cos αcos β＋sin αsin β 2．cos αcos(－β)＋sin α·sin(－β)
cos αcos β－sin αsin β
作业设计
1．C 2．B
3．A [原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)
＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝．]
4．C [sin(α－β)＝－(－<α－β<0)．
sin 2α＝，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝×＋×＝－，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝．]
5．B [∵sin(π＋θ)＝－，∴sin θ＝，
∵θ是其次象限角，∴cos θ＝－．
∵sin＝－，∴cos φ＝－，
∵φ是第三象限角，
∴sin φ＝－．
∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ
＝×＋×＝．]
6．B [由题意知
①2＋②2⇒cos(α－β)＝－．]
7．
解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)
＝2＋2cos(α－β)＝．
8．
解析 由，
∴，
∴tan αtan β＝＝．
9．－
解析 由
①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1
⇒cos(α－β)＝－．
10．－
解析 ∵α、β∈，
∴cos α＝，sin β＝，
∵sin α<sin β，∴α－β∈．
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝，
∴α－β＝－．
11．解 ∵α∈，tan α＝4，
∴sin α＝，cos α＝．
∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝．
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝．
12．解 ∵<α－β<π，cos(α－β)＝－，
∴sin(α－β)＝．
∵π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－，
∴cos(α＋β)＝．
∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1．
∵<α－β<π，π<α＋β<2π，
∴<2β<，∴2β＝π，∴β＝．
13．解 ∵<α<π，∴<<．
∵0<β<，∴－<－β<0，－<－<0．
∴<α－<π，－<－β<．
又cos(α－)＝－<0，
sin(－β)＝>0，
∴<α－<π，0<－β<．
∴sin(α－)＝＝．
cos(－β)＝＝．
∴cos＝cos[(α－)－(－β)]
＝cos(α－)cos(－β)＋sin(α－)sin(－β)
＝(－)×＋×＝．
14．解 由已知，得
sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β．
平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1．
∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，
∴β－α＝±．
∵sin γ＝sin β－sin α>0，
∴β>α，∴β－α＝．
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