资源描述
1．2．2 单位圆与三角函数线
课时目标 1．理解三角函数线的几何意义，能正确画出三角函数线．2．会利用单位圆中的三角函数线求三角函数值或比较函数值的大小或解三角不等式．
1．单位圆与三角函数的定义
一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆．
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；
(2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；
(3)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x≠0)．
2．三角函数线
三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的确定值．
图
示
正弦线
如上图，α终边与单位圆交于P，过P作PM
垂直x轴，有向线段MP即为正弦线
余弦线
如上图，有向线段OM即为余弦线
正切线
如上图，过(1,0)作x轴的垂线，交α的终边
或α终边的反向延长线于T，有向线段AT
即为正切线
一、选择题
1．如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线PM，正切线A′T′
B．正弦线MP，正切线A′T′
C．正弦线MP，正切线AT
D．正弦线PM，正切线AT
2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )
A． B． C． D．或
3．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )
A．sin α＋cos α>1 B．sin α＋cos α＝1
C．sin α＋cos α<1 D．不能确定
4．利用正弦线比较sin 1，sin 1．2，sin 1．5的大小关系是( )
A．sin 1>sin 1．2>sin 1．5
B．sin 1>sin 1．5>sin 1．2
C．sin 1．5>sin 1．2>sin 1
D．sin 1．2>sin 1>sin 1．5
5．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是( )
A． B．
C． D．∪
6．假如<α<，那么下列不等式成立的是( )
A．cos α<sin α<tan α B．tan α<sin α<cos α
C．sin α<cos α<tan α D．cos α<tan α<sin α
二、填空题
7．在[0,2π]上满足sin x≥的x的取值范围为______________．
8．集合A＝[0,2π]，B＝{α|sin α<cos α}，则A∩B＝________________．
9．不等式tan α＋>0的解集是______________．
10．求函数f(x)＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．
三、解答题
11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥； (2)cos α≤－．
12．设θ是其次象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小．
力气提升
13．求下列函数的定义域．
f(x)＝＋ln．
14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？
当α∈时，求证：sin α<α<tan α．
1．三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的确定值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴全都，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴全都，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题供应了便利．
2．三角函数的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P、M、T点，再画出MP、OM、AT．
留意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写挨次不能颠倒．
1．2．2 单位圆与三角函数线 答案
作业设计
1．C
2．D [角α终边落在其次、四象限角平分线上．]
3．A [设α终边与单位圆交于点P，
sin α＝MP，cos α＝OM，则|OM|＋|MP|>|OP|＝1，
即sin α＋cos α>1．]
4．C [∵1,1．2,1．5均在内，正弦线在内随α的增大而渐渐增大，
∴sin 1．5>sin 1．2>sin 1．]
5．D [在同一单位圆中，利用三角函数线可得D正确．]
6．A [
如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很简洁地观看出OM<MP<AT，即cos α<sin α<tan α．]
7．
8．∪
9．
解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，
∴．
10．，k∈Z
解析 如图所示．
∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，∴－<sin x<．
∴x∈∪ (k∈Z)．
即x∈ (k∈Z)．
11．解 (1)
图1
作直线y＝交单位圆于A、B，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域(图1阴影部分)，即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为
{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)
图2
作直线x＝－交单位圆于C、D，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图2阴影部分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为
{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
12．解 ∵θ是其次象限角，
∴2kπ＋<θ<2kπ＋π (k∈Z)，
故kπ＋<<kπ＋ (k∈Z)．
作出所在范围如图所示．
当2kπ＋<<2kπ＋ (k∈Z)时，cos <sin <tan ．
当2kπ＋<<2kπ＋π (k∈Z)时，sin <cos <tan ．
13．解 由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴．
14．证明
如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P，α的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MP＝sin α，AT＝tan α．
由于S△AOP＝OA·MP＝sin α，
S扇形AOP＝αOA2＝α，S△AOT＝OA·AT＝tan α，
又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT，
所以sin α<α<tan α，即sin α<α<tan α．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
