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1.1.2 量 词
课时目标 了解全称量词、全称命题及存在量词、存在性命题的含义，会判定含有一个量词的全称命题、存在性命题的真假．
1．短语“全部”在陈述中表示____________________，规律中通常叫做全称量词，并用符号“________”表示．含有____________的命题，叫做全称命题．
2．一般地，设p(x)是某集合M的全部元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“________________”的命题．用符号简记为________________．
3．短语“有一个”“有些”“至少有一个”在陈述中表示_______________________，规律中通常叫做存在量词，并用符号“______”表示，含有______________的命题，叫做存在性命题．
4．一般地，设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“________________________”的命题，用符号简记为______________．
一、选择题
1．下列语句不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高二(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个向量都有大小
2．下列命题是存在性命题的是( )
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
3．下列是全称命题且是真命题的是( )
A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈Q
C．∃x0∈Z，x>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>0
4．下列四个命题中，既是存在性命题又是真命题的是( )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x0，使x>0
C．任一无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x0，使>2
5．下列命题不是“∃x0∈R，x>3”的表述方法的是( )
A．有一个x0∈R，使x>3
B．有些x0∈R，使x>3
C．任选一个x∈R，使x2>3
D．至少有一个x0∈R，使x>3
6．给出下列命题：
(1)全部正方形都是矩形；
(2)每一个有理数都能写成分数的形式；
(3)一切三角形的内角和都等于180°；
(4)有些三角形是直角三角形；
(5)假如两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个是正数；
(6)存在一个实数x，使得x2＋x－1＝0.
含有全称量词和存在量词的命题分别是( )
A．(1)(3)；(4)(6) B．(1)(2)；(4)(5)
C．(2)(3)；(5)(6) D．(1)(2)(3)；(4)(5)(6)
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为
_____________________．
8．给出下列命题：
①∀x∈R，是无理数；
②∀x，y∈R，若xy≠0，则x，y至少有一个不为0；
③存在实数既能被3整除又能被19整除．
其中真命题的序号为________．
9．设A、B为两个集合，下列四个命题：
①AB⇔对任意x∈A，有x∉B；
②AB⇔A∩B＝∅；
③AB⇔A⊉B；
④AB⇔存在x∈A，使得x∉B.其中是真命题的序号是________．(把符合要求的命题的序号都填上)
三、解答题
10．推断下列命题哪些是全称命题，哪些是存在性命题．
(1)对任意x∈R，x2>0；
(2)有些无理数的平方也是无理数；
(3)对顶角相等；
(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；
(5)对任意x∈{x|x>－1}，使3x＋4>0；
(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．
11．给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，
命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
力气提升
12．下列四个命题：
①∀n∈R，n2≥n；②∃n∈R，∀m∈R，m·n＝m；
③∀n∈R，∃m∈R，m2<n；④∀n∈R，n2<n.
其中假命题的个数为________．
13．已知数列{an}、{bn}、{cn}的通项公式满足bn＝an＋1－an，cn＝bn＋1－bn (n∈N*)，若数列{bn}是一个非零常数列，则称数列{an}是一阶等差数列；若数列{cn}是一个非零常数列，则称数列{an}是二阶等差数列．
(1)试写出满足条件a1＝1，b1＝1，c1＝1的二阶等差数列{an}的前五项及通项公式an；
(2)在满足条件(1)下，an－k>0对n∈N*恒成立，求k的范围．
1．判定一个命题是全称命题还是存在性命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要留意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就要依据命题所涉及的意义去推断．
2．要判定一个全称命题是真命题，必需对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成马上可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个存在性命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使得p(x0)成马上可；否则，这一存在性命题就是假命题．
1.1.2 量 词
学问梳理
1．所述事物的全体 ∀ 全称量词
2．对M中的全部x，p(x) ∀x∈M，p(x)
3．所述事物的个体或部分 ∃ 存在量词
4．存在集合M中的元素x，q(x) ∃x∈M，q(x)
作业设计
1．C [“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是存在性命题．]
2．D [“存在”是存在量词．]
3．B [A、B、D中命题均为全称命题，但A、D中命题是假命题．]
4．B
5．C [“任选一个x∈R，使x2>3”是全称命题，不能用符号“∃”表示，故选C.]
6．D [在以上命题的条件中，“全部”、“每一个”、“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这些词都是全称量词；“有些”、“至少有一个”、“存在一个”等都表示个别或部分的含义，这些词都是存在量词．]
7．∃x0<0，使(1＋x0)(1－9x0)>0
8．③
解析 ①为假命题，例如为有理数；②若xy≠0，则x，y全都不为0；③为真命题，例3×19.
9．④
解析 可以依据Venn图分析集合间的关系．
10．解 (1)(3)(5)是全称命题，(1)(5)中含有“任意”，(3)的含义也是对全部的对顶角而言．
(2)(4)(6)是存在性命题，(4)(6)中有存在量词“存在”，(2)中“有些”也是存在量词．
11．解 甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，
即a>或a<－1.
乙命题为真时，2a2－a>1，即a>1或a<－.
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，
∴a的取值范围是{a|a<－或a>}．
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种状况：
甲真乙假时，<a≤1；甲假乙真时，－1≤a<－，
∴甲、乙中有且只有一个真命题时a的取值范围为{a|<a≤1或－1≤a<－}．
12．3
解析 命题①③④是假命题，命题②是真命题．
13．解 (1)依据题意，得a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11.
∵bn＋1－bn＝cn＝1，n∈N*，
∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋(bn－2－bn－3)＋…＋(b2－b1)＋b1＝1＋1＋1＋…＋1＝n.
又∵an＋1－an＝bn＝n，n∈N*，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＋1＝＋1＝.
(2)∵an－k>0对n∈N*恒成立，
∴k<对n∈N*恒成立，
∵＝2＋≥1.
∴k<1，即k的取值范围是(－∞，1)．
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