资源描述
§2．3 平面对量的数量积
2．3．1 向量数量积的物理背景与定义
课时目标 1．理解平面对量数量积的含义及其物理意义．2．知道平面对量数量积与向量射影的关系．3．把握平面对量数量积的运算性质及常用公式，并会应用这些公式进行计算或证明．
1．两个向量的夹角
(1)
已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则________称作向量a和向量b的夹角，记作________，并规定它的范围是__________．
在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝________．
(2)当____________时，我们说向量a和向量b相互垂直，记作__________，在争辩垂直问题时，规定零向量与__________垂直．
2．向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图)．
作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在________的数量或在____________的数量．＝a的轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝____________．
3．向量的数量积(内积)
______________________________叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b．即a·b＝________________________．
一、选择题
1．若a·b≤0，则a与b的夹角θ的取值范围是( )
A．[0，) B．[，π) C．[，π] D．[0，]
2．若a·b＝－9，|a|＝3，〈a，b〉＝，则|b|等于( )
A．3 B．6 C．9 D．12
3．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的正射影的数量等于( )
A．－3 B．－2 C．2 D．－1
4．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于( )
A． B．－ C．± D．1
5．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于( )
A．－ B．0 C． D．3
6．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉等于( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
二、填空题
7．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的正射影的数量为________．
8．已知正三角形ABC的边长为1，则·＝__________．
9．如图Rt△ABC中∠A＝90°，AB＝1，则·的值是________．
10．给出下列命题中，
①若a＝0，则对任一向量b，有a·b＝0；
②若a≠0，则对任意一个非零向量b，有a·b≠0；
③若a≠0，a·b＝0，则b＝0；
④若a·b＝0，则a、b至少有一个为0；
⑤若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；
⑥若a·b＝a·c，且b≠c，当且仅当a＝0时成立．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题
11．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．
12．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|．
力气提升
13．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
14．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的正射影的数量．
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区分的，在书写时确定要把它们严格区分开来，绝不行混淆．
3．a·b＝|a||b|cos θ中，|b|cos θ和|a|cos θ分别叫做b在a方向上的射影的数量和a在b方向上的射影的数量，要结合图形严格区分．
§2．3 平面对量的数量积
2．3．1 向量数量积的物理背景与定义
答案
学问梳理
1．(1)∠AOB 〈a，b〉 0≤〈a，b〉≤π 〈b，a〉 (2)〈a，b〉＝
a⊥b 任意向量 2．轴l上 轴l的方向上 |a|cos θ
3．|a||b|cos〈a，b〉 |a||b|cos〈a，b〉
作业设计
1．C 2．B
3．D [a在b方向上的正射影的数量是|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1．]
4．A [∵(3a＋2b)·(λa－b)
＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2
＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0．
∴λ＝．]
5．A [a·b＝·＝－·
＝－||||cos 60°＝－．
同理b·c＝－，c·a＝－，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－．]
6．B [∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2．
又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，
即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2．
∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝120°．]
7．
解析 |a|cos〈a，b〉＝|a|·＝＝．
8．－
解析 ∵与的夹角为120°．
∴·＝||||cos 120°
＝1×1×(－)＝－．
9．－1
解析 ·＝－·＝－||·||·cos〈，〉
＝－||·||cos∠B＝－||2＝－1．
10．①
解析 由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉知a＝0，a·b＝0，①正确；由a⊥b⇔a·b＝0易知②③④⑤⑥均错误．
11．解 (1)当a∥b时，若a与b同向，则a与b的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|·cos θ＝4×3×cos 0°＝12．
若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12．
(2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°，
∴a·b＝|a||b|·cos 90°＝4×3×0＝0．
(3)当a与b的夹角为60°时，
∴a·b＝|a||b|·cos 60°＝4×3×＝6．
12．解 a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝．
|a＋b|＝＝
＝ ＝5．
|a－b|＝＝
＝ ＝5．
13．解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝．
|a|＝|2m＋n|＝
＝
＝ ＝，
|b|＝|2n－3m|＝
＝
＝ ＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)
＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－．
设a与b的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝－．
又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为．
14．解 (2a－b)·(a＋b)
＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2
＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝．
|a＋b|＝＝
＝＝1．
∴|2a－b|cos〈2a－b，a＋b〉
＝|2a－b|·
＝＝．
∴向量2a－b在向量a＋b方向上的射影为．
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