资源描述
3．1．2 两角和与差的正弦
课时目标 1．在两角差的余弦公式的基础上，会推导两角和与差的正弦公式．2．机敏运用两角和与差的正弦公式进行求值、化简、证明．
1．两角和与差的正弦公式
S(α＋β)：sin(α＋β)＝_______________________________________________________．
S(α－β)：sin(α－β)＝________________________________________________________．
2．两角互余或互补
(1)若α＋β＝，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：－α与＋α互余，＋α与－α互余．
(2)若α＋β＝π，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：＋α与π－α互补，α＋与π－α互补．
一、选择题
1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( )
A． B． C． D．
2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )
A．－ B．－ C． D．
3．若锐角α、β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是( )
A． B． C． D．
4．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．±1
5．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为( )
A．1 B．2 C．1＋ D．2＋
6．在三角形ABC中，三内角分别是A、B、C，若sin C＝2cos Asin B，则三角形ABC确定是( )
A．直角三角形 B．正三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
7．化简sin＋cos的结果是________．
8．函数f(x)＝sin x－cos x的最大值为________．
9．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值是__________．
10．式子的值是________．
三、解答题
11．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
12．证明：－2cos(α＋β)＝．
力气提升
13．已知sin α＋cos＝，则sin的值是________．
14．求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值．
1．两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：
sin＝sin cos α－cos sin α＝－cos α．
2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)开放，而应接受整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α．
3．运用和差公式求值、化简、证明时要留意，机敏进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．
3．1．2 两角和与差的正弦 答案
学问梳理
1．sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β
作业设计
1．A
2．B [原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35°
＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°
＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－．]
3．C [∵cos α＝，cos(α＋β)＝，
∴sin α＝，sin(α＋β)＝．
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝．]
4．D [cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0．
∴α＋β＝kπ＋，k∈Z，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1．]
5．B [f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x
＝2(cos x＋sin x)＝2sin(x＋)，
∵0≤x<，
∴≤x＋<．
∴f(x)max＝2．]
6．C [∵sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝2cos Asin B
∴sin Acos B－cos Asin B＝0．
即sin(A－B)＝0，∴A＝B．]
7．cos α
解析 原式＝sin cos α＋cos sin α＋cos cos α－sin sin α＝cos α．
8．
解析 ∵f(x)＝sin x－cos x＝
＝
＝sin，
∴f(x)的最大值为．
9．
解析
∴，
∴＝＝．
10．
解析 原式＝
＝
＝＝tan 60°＝．
11．解 由于<β<α<，
所以0<α－β<，π<α＋β<．
又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
所以sin(α－β)＝＝
＝，
cos(α＋β)＝－＝－
＝－．
所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×＝－．
12．证明 －2cos(α＋β)
＝
＝
＝
＝＝．
13．－
解析 sin α＋cos
＝sin α＋cos αcos ＋sin αsin
＝sin α＋cos α
＝
＝
＝sin＝．
∴sin＝．
∴sin＝－sin＝－．
14．解 设sin x＋cos x＝t，
则t＝sin x＋cos x＝
＝sin，
∴t∈[－，]，
∴sin x·cos x＝＝．
∴f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x
即g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－，]．
当t＝－1，即sin x＋cos x＝－1时，f(x)min＝－1．
此时，由sin＝－，
解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z．
当t＝，即sin x＋cos x＝时，f(x)max＝＋．
此时，由sin＝，sin＝1．
解得x＝2kπ＋，k∈Z．
综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取最小值且f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值，
f(x)max＝＋．
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