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第十二章 第四节
一、选择题
1．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )
A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋3ab>2b2 D．<
[答案] B
[解析] 在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．
2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ过程应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合应用
D．间接证明法
[答案] B
[解析] 由于证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．
3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证<a”“索”的“因”应是( )
A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
[答案] C
[解析] <a⇔b2－ac<3a2
⇔(a＋c)2－ac<3a2
⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0
⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0
⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.
4．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] 由均值不等式成立的条件知a，b同号，故①③④都可以．
5．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
[答案] B
[解析] “至少有一个”的否定是“都不是”．
6．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P＝Q
C．P<Q D．由a的取值确定
[答案] C
[解析] ∵要证P<Q，只要证P2<Q2，
只要证：2a＋7＋2<2a＋7＋2，
只要证：a2＋7a<a2＋7a＋12，
只要证：0<12，
∵0<12成立，
∴P<Q成立．
二、填空题
7．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a()＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为________．
[答案] 18
[解析] S11＝＝11a6，由S11为定值，可知a6＝a1＋5d为定值．
设4a2＋a10＋an＝24，整理得a1＋d＝4，可知n＝18.
8．(2022·北京高考)顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：
工序
时间
原料
粗加工
精加工
原料A
9
15
原料B
6
21
则最短交货期为________个工作日．
[答案] 42
[解析] 本题考查了规律思维力气．
先由徒弟对原料B进行粗加工需6个工作日，此后由工艺师精加工原料B，期间徒弟完成原料A的粗加工，工艺师完成原料B后，再完成原料A的精加工，∴最短共需6＋21＋15＝42个工作日．
9．α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下列三个条件：
①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，aγ.
假如命题“α∩β＝a，bγ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．
[答案] ①或③
[解析] 若填入①，则由a∥γ，bβ，bγ，b＝β∩γ，则a∥B．
若填入③，则由aγ，a＝α∩β，则a＝(α∩β∩γ)，又bγ，b∥β，则b∥A．
若填入②，不能推出a∥b，可以举出反例，例如使β∥γ，bγ，aβ，则此时能有a∥γ，b∥β，但不愿定a∥B．或直接通过反例否定②.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．
(1)求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)求证：方程f(x)＝0没有负根．
[证明] (1)解法1：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1<x2，则x2－x1>0，ax2－x1>1且ax1>0，
∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0.
又∵x1＋1>0，x2＋1>0，
∴－
＝
＝>0，
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，
故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
解法2：f(x)＝ax＋1－(a>1)，
求导数得f′(x)＝axlna＋，
∵a>1，∴当x>－1时，axlna>0，>0，
∴f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，
f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)解法1：设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
则ax0＝－，且0<ax0<1，
∴0<－<1，即<x0<2，
与假设x0<0冲突，故方程f(x)＝0没有负根．
解法2：设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
①若－1<x0<0，则<－2，ax0<1，
∴f(x0)<－1与f(x0)＝0冲突．
②若x0<－1，则>1，ax0>0，
∴f(x0)>1与f(x0)＝0冲突．
故方程f(x)＝0没有负根.
一、选择题
1．(2022·山东高考)用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
[答案] A
[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根．
2．给出如下三个命题：
①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；
②设a，b∈R，且ab≠0，若<1，则>1；
③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．
其中不正确命题的序号是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
[答案] A
[解析] ①中，a，b，c，d成等比数列⇒ad＝bc，但ad＝bc⇒/ dc＝cb＝bA．
②中，若<1，则的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以②错误；
③中，f(|x|)＝log2|x|的定义域是{x|x∈R且x≠0}，且f(|x|)＝f(|－x|)成立，故f(|x|)是偶函数，③正确，所以答案是A．
二、填空题
3．已知函数f(x)＝ax＋2a＋1，当x∈[－1,1]时，f(x)有正值也有负值，则实数a的取值范围为____________．
[答案] －1＜a＜－
[解析] 由题意得f(x)＝ax＋2a＋1为斜率不为0的直线，由单调性知f(1)·f(－1)＜0即可．
∴(a＋2a＋1)·(2a－a＋1)＜0.
∴－1＜a＜－.
4．请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a＋a＝1，那么a1＋a2≤.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1.由于对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.类比上述结论，若n个正实数满足a＋a＋…＋a＝1，你能得到的结论为________．
[答案] a1＋a2＋…＋an≤(n∈N*)
[解析] 构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，
∵f(x)≥0对任意实数x都成立，
∴Δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0，
∵a1，a2，…，an都是正数，∴a1＋a2＋…＋an≤.
三、解答题
5．已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(，an＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图像上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn·bn＋2<b.
[解析] (1)由已知得an＋1＝an＋1，即an＋1－an＝1，
又a1＝1，
所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列．
故an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知：an＝n从而bn＋1－bn＝2n，
bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.
由于bnbn＋2－b＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2＝22n＋2＝－2n＋2－2n＋1－(22n＋2－2×2n＋1＋1)＝－5×2n＋4×2n－2n<0，
所以bnbn＋2<b.
6．设f(x)＝(a≠2)．
(1)用反证法证明：函数f(x)不行能为偶函数；
(2)求证：函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减的充要条件是a>2.
[解析] (1)假设函数f(x)是偶函数，
则f(－2)＝f(2)，即＝，解得a＝2，
这与a≠2冲突，所以函数f(x)不行能是偶函数．
(2)由于f(x)＝，所以f′(x)＝.
①充分性：当a>2时，f′(x)＝<0，
所以函数f(x)在(－∞，－1)单调递减；
②必要性：当函数f(x)在(－∞，－1)单调递减时，
有f′(x)＝≤0，即a≥2，又a≠2，所以a>2.
综合①②知，原命题成立．
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