【全程复习方略】2021高考数学(文理通用)一轮课时作业44-椭圆.docx

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课时提升作业(四十四)
椭　　圆
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2022·台州模拟)已知椭圆C的短轴长为6,离心率为45,则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为(　　)
A.9 B.1
C.1或9 D.以上都不对
【解析】选C.依题设知:b=3,ca=45,a2=b2+c2,
解得a=5,b=3,c=4.
所以椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a+c=9或a-c=1.
2.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为(　　)
A.14 B.55 C.12 D.5-2
【解析】选B.由于A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,又由于|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,所以(a+c)(a-c)=4c2,即a2=5c2,所以离心率e=55.
3.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e=12,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)(　　)
A.必在圆x2+y2=2内 B.必在圆x2+y2=2上
C.必在圆x2+y2=2外 D.以上三种情形都有可能
【解析】选A.由于e=12,所以ca=12.
由于a2=b2+c2,所以b2=34a2.
由于x1+x2=-ba,x1·x2=-ca,
所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=b2a2+1=74a2a2=74<2.
所以P点在圆x2+y2=2内.
4.(2021·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(　　)
A.x245+y236=1 B.x236+y227=1
C.x227+y218=1 D.x218+y29=1
【解析】选D.由椭圆x2a2+y2b2=1得,b2x2+a2y2=a2b2,
由于过点F的直线与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A,B两点,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x22=1,y1+y22=-1,
则b2x12+a2y12=a2b2　①,
b2x22+a2y22=a2b2　②,
由①-②得b2(x12-x22)+a2(y12-y22)=0,
化简得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.
2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,
y1-y2x1-x2=b2a2,
又直线的斜率为k=0-(-1)3-1=12,即b2a2=12.
由于b2=a2-c2=a2-9,
所以a2-9a2=12,解得a2=18,b2=9.
故椭圆方程为x218+y29=1.
5.设P是椭圆x225+y29=1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为(　　)
A.9,12 B.8,11 C.8,12 D.10,12
【思路点拨】可先求点P到两圆圆心的距离之和,留意两圆圆心与椭圆焦点的关系.
【解析】选C.可先求点P到两圆圆心的距离,然后再加两圆半径和或再减两圆半径和,由于两圆圆心分别为椭圆的左、右焦点,所以点P到两圆圆心的距离的和为2a=10,因此所求最大值为2a+2,最小值为2a-2,故最大值是12、最小值是8.
6.(2021·新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(　　)
A.36 B.13 C.12 D.33
【解析】选D.由于PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,
所以|PF2|=2ctan 30°=233c,|PF1|=433c.
又|PF1|+|PF2|=633c=2a,所以ca=33,
即椭圆的离心率为33,选D.
7.已知椭圆x24+y23=1,若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是(　　)
A.-21313,2213 B.-21313,21313
C.-213,21313 D.-2313,2313
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),
AB的中点M(x,y),kAB=y2-y1x2-x1=-14,
x1+x2=2x,y1+y2=2y,3x12+4y12=12　①,
3x22+4y22=12　②,
①②两式相减得3(x22-x12)+4(y22-y12)=0,
即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部,
则m24+9m23<1,即-21313<m<21313.
【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧
对于直线与椭圆相交问题,若题设和待求涉及弦的中点和所在直线的斜率,求解时一般先设交点坐标,代入曲线方程,再用平方差公式求解,这种解法大大削减了将直线方程与椭圆方程联立求解带来的繁杂运算.
8.(力气挑战题)已知F1,F2分别是椭圆x24+y23=1的左、右焦点,A是椭圆上一动点,圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切,若M(t,0)为一个切点,
则(　　)
A.t=2 　　 B.t>2
C.t<2 　　 D.t与2的大小关系不确定
【思路点拨】先画出图形,留意圆的切线的性质以及椭圆的定义即可求解.
【解析】选A.如图,P,Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点,

则|MF2|=|F2Q|=2a-(|F1A|+|AQ|)
=2a-|F1P|=2a-|F1M|,
即|F1M|+|MF2|=2a.
所以t=a=2.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2022·嘉兴模拟)已知椭圆x216+y225=1的焦点分别是F1,F2,P是椭圆上一点,若连接F1,F2,P三点恰好能构成直角三角形,则点P到y轴的距离是　　　　.
【解析】依题意:F1(0,-3),F2(0,3).
又由于3<4,
所以∠F1F2P=90°或∠F2F1P=90°,
设P(x,3),代入椭圆方程得:x=±165,
即点P到y轴的距离为165.
答案:165
10.分别过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2所作的两条相互垂直的直线l1,l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是　　　　.
【思路点拨】关键是由l1,l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.
【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.
又点P在椭圆内部,所以有c2<b2,
又b2=a2-c2,所以有c2<a2-c2,
即2c2<a2,亦即:c2a2<12,所以0<ca<22.
答案:0,22
【加固训练】
已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,若椭圆上存在点P使得∠F1PF2=π3,则椭圆的离心率e的取值范围为　　　　.
【解析】设椭圆的短轴的一个端点为B,则∠F1BF2≥π3,在△BF1F2中,sin∠OBF2=ca=e≥sinπ6=12,故12≤e<1.
答案:12,1
11.(2022·镇江模拟)已知点A(0,2)及椭圆x24+y2=1上任意一点P,则|PA|的最大值为　　　　.
【解析】设P(x0,y0),则-2≤x0≤2,-1≤y0≤1,
所以|PA|2=x02+(y0-2)2.
由于x024+y02=1,
所以|PA|2=4(1-y02)+(y0-2)2
=-3y02-4y0+8=-3y0+232+283.
由于-1≤y0≤1,而-1<-23<1,
所以当y0=-23时,|PA|max2=283,
即|PA|max=2213.
答案:2213
12.(力气挑战题)(2022·杭州模拟)直线l过椭圆x22+y2=1的左焦点F,且与椭圆相交于P,Q两点,M为PQ的中点,O为原点.若△FMO是以OF为底边的等腰三角形,则直线l的方程为　　　　.
【解析】由x22+y2=1,得a2=2,b2=1,所以c2=a2-b2=2-1=1,则c=1,则左焦点F(-1,0).
由题意可知,直线l的斜率存在且不等于0,则直线l的方程为y=kx+k.
设l与椭圆相交于P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立x22+y2=1,y=kx+k,得:(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0.
所以x1+x2=-4k22k2+1.
则PQ的中点M的横坐标为x1+x22=-2k22k2+1.
由于△FMO是以OF为底边的等腰三角形,
所以-2k22k2+1=-12.解得:k=±22.
所以直线l的方程为y=±22(x+1).
答案:y=±22(x+1)
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.如图,F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.
(1)求椭圆C的离心率.
(2)已知△AF1B的面积为403,求a,b的值.
【解析】(1)∠F1AF2=60°⇒a=2c⇒e=ca=12.
(2)设|BF2|=m(m>0),则|BF1|=2a-m,
在△BF1F2中,|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2|×|F1F2|×cos120°,
即(2a-m)2=m2+a2+am,
所以m=35a.
△AF1B的面积S=12×|AF1|×|AB|×sin60°=
12×a×a+35a×32=403,
所以a=10,c=5,b=53.
【一题多解】本题第(2)问还可以用如下的方法解决:
设|AB|=t.由于|AF2|=a,所以|BF2|=t-a.
由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a可知,|BF1|=3a-t,
再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos60°可得,t=85a.由S△AF1B=12a·85a·32=235a2=403知,
a=10,b=53.
14.(2021·南宁模拟)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程.
(2)椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围.
【解析】(1)依题意知,2a=4,所以a=2.
由于e=ca=22,所以c=2,b=a2-c2=2.
所以所求椭圆C的方程为x24+y22=1.
(2)由于点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),
所以y0-y1x0-x1×2=-1,y0+y12=2×x0+x12.
解得x1=4y0-3x05,y1=3y0+4x05.
所以3x1-4y1=-5x0.
由于点P(x0,y0)在椭圆C:x24+y22=1上,
所以-2≤x0≤2,则-10≤-5x0≤10.
所以3x1-4y1的取值范围为[-10,10].
【加固训练】
设A,B分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点,1,32为椭圆上一点,椭圆长半轴的长等于焦距.
(1)求椭圆的方程.
(2)设P(4,x)(x≠0),若直线AP,BP分别与椭圆相交异于A,B的点M,N,求证:
∠MBN为钝角.
【解析】(1)依题意,得a=2c,b2=a2-c2=3c2.
则椭圆方程为x24c2+y23c2=1,将1,32代入,得c2=1.
故椭圆方程为x24+y23=1.
(2)由(1)知,A(-2,0),B(2,0),设M(x0,y0),则-2<x0<2,y02=34(4-x02).由P,A,M三点共线,
得x=6y0x0+2,BM→=(x0-2,y0),BP→=2,6y0x0+2,
BM→·BP→=2x0-4+6y02x0+2=52(2-x0)>0,
即∠MBP为锐角,则∠MBN为钝角.
15.(2021·重庆高考)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=22,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A′两点,|AA′|=4.
(1)求该椭圆的标准方程.
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P′,过P,P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.
【解析】(1)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则(-c)2a2+22b2=1,从而e2+4b2=1.
由e=22,得b2=41-e2=8,从而a2=b21-e2=16,
故该椭圆的标准方程为x216+y28=1.
(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0),又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+ y2=x2-2x0x +x02+8(1-x216)=12(x-2x0)2-x02+8(x∈-4,4).
设P(x1,y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又由于x1∈-4,4,所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-x02.
由对称性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,
所以S =12|2y1||x1-x0|
=12×281-x1216|x0|
=2(4-x02)x02=2-(x02-2)2+ 4.
当x0=±2时,△PP′Q的面积S取到最大值22.
此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±2,0),半径|QP| =8-x02=6,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+2)2+y2=6,(x-2)2+y2=6.
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