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选修3－4
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1．(2022·山东·38)(1)一列简谐横波沿直线传播．以波源O由平衡位置开头振动为计时零点，质点A的振动图像如图1所示，已知O、A的平衡位置相距0.9 m，以下推断正确的是________(双选，填正确答案标号)．
图1
a．波长为1.2 m
b．波源起振方向沿y轴正方向
c．波速大小为0.4 m/s
d．质点A的动能在t＝4 s时最大
(2)如图2所示，
图2
三角形ABC为某透亮 介质的横截面，O为BC边的中点，位于截面所在平面内的一束光线自O以角i入射，第一次到达AB边恰好发生全反射．已知θ＝15°，BC边长为2L，该介质的折射率为，求：
(ⅰ)入射角i；
(ⅱ)从入射到发生第一次全反射所用的时间(设光在真空中的速度为c，可能用到：sin 75°＝或tan 15°＝2－)．
答案 (1)ab (2)(ⅰ)45° (ⅱ)
解析 (2)(ⅰ)依据全反射规律可知，光线在AB面上P点的入射角等于临界角C，由折射定律得
sin C＝①
代入数据得
C＝45°②
设光线在BC面上的折射角为r，由几何关系得
r＝30°③
由折射定律得
n＝④
联立③④式，代入数据得
i＝45°⑤
(ⅱ)在△OPB中，依据正弦定理得
＝⑥
设所用时间为t，光线在介质中的速度为v，得
＝vt⑦
v＝⑧
联立⑥⑦⑧式，代入数据得
t＝L
图3
2．(2022·重庆·11)(1)打磨某剖面如图3所示的宝石时，必需将OP、OQ边与轴线的夹角θ切磨在θ1<θ<θ2的范围内，才能使从MN边垂直入射的光线，在OP边和OQ边都发生全反射(仅考虑如图所示的光线第一次射到OP边并反射到OQ边后射向MN边的状况)，则下列推断正确的是( )
A．若θ>θ2，光线确定在OP边发生全反射
B．若θ>θ2，光线会从OQ边射出
C．若θ<θ1，光线会从OP边射出
D．若θ<θ1，光线会在OP边发生全反射
(2)一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸，当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图4所示的图像，y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标．由此图求振动的周期和振幅．
图4
答案 (1)D (2)
解析 (1)题图中，要使光线可在OP边发生全反射，图中光线在OP边上的入射角应大于90°－θ2.从OP边上反射到OQ边的光线，入射角应大于90°－(180°－3θ1)＝3θ1－90°可使光线在OQ边上发生全反射．若θ>θ2，光线不能在OP边上发生全反射；若θ<θ1，光线不能在OQ边上发生全反射，综上所述，选项D正确．
(2)由图像可知，记录纸在一个周期内沿x方向的位移为2x0，水平速度为v，故周期T＝；又由图像知2A＝y1－y2，故振幅A＝.
3．(1)两列简谐横波a、b在同一种均匀介质中沿x轴传播，a波周期为0.5 s．某时刻，两列波的波峰正好在xP＝3.0 m处的P点重合，如图5所示，则b波的周期为Tb＝________ s，该时刻，离点最近的波峰重叠点的平衡位置坐标是x＝________ m.
图5
图6
(2)如图6所示，某透亮 材料制成的半球形光学元件直立放置，其直径与水平光屏垂直接触于M点，球心O与M间的距离为10 cm.一束激光与该元件的竖直圆面成30°角射向圆心O，结果在光屏上毁灭间距为d＝40 cm的两个光斑，请完成光路图并求该透亮 材料的折射率．
答案 (1)0.8 27.0或－21.0 (2)
解析 (1)从图中可以看出两列波的波长分别为
λa＝3.0 m，λb＝3.0 m＋1.8 m＝4.8 m，
则波速：v＝＝ m/s＝6.0 m/s
Tb＝＝ s＝0.8 s，
两列波波长的最小整数公倍数为S＝24 m，则t＝0时，两列波的波峰重合处的全部位置为x＝(3.0±24k) m，k＝0,1,2,3，…
k取1时，x1＝27.0 m或x2＝－21.0 m.
(2)光屏上的两个光斑分别是激光束经光学元件反射与折射的光线形成，其光路图如图所示：
依题意，R＝10 cm，
据反射规律与几何关系知，反射光线形成光斑P1与M点的距离为：d1＝Rtan 30°
激光束的入射角i＝60°，
设其折射角为r，由几何关系可知折射光线形成光斑P2与M点间距为：d2＝Rcot r
据题意有：d1＋d2＝d
联立各式并代入数据解得：cot r＝，即r＝30°
据折射规律得：n＝＝＝.
4． (1)如图7甲所示，沿波的传播方向上有间距均为1 m的六个质点a、b、c、d、e、f，均静止在各自的平衡位置，t＝0时刻振源a从平衡位置竖直向上做简谐运动，其运动图象如图乙所示，形成的简谐横波以1 m/s的速度水平向右传播，则下列说法正确的是( )
图7
A．这列波的周期为4 s
B．0～3 s质点b运动路程为4 cm
C．4～5 s质点c的加速度在减小
D．6 s时质点e的运动速度水平向右为1 m/s
E．此六质点都振动起来后，质点a的运动方向始终与质点c的运动方向相反
(2)1966年33岁的华裔科学家高锟首先提出光导纤维传输大量信息的理论，43年后高锟因此获得2009年诺贝尔物理学奖．如图8所示，一长为L的直光导纤维，外套的折射率为n1，内芯的折射率为n2，一束单色光从图中O1点进入内芯斜射到内芯与外套的介质分界面M点上恰好发生全反射，O1O2为内芯的中轴线，真空中的光速为c.求：
图8
①该单色光在内芯与外套的介质分界面上恰好发生全反射时临界角C的正弦值；
②该单色光在光导纤维中的传播时间．
答案 (1)ABE (2)① ②
解析 (2)①由n21＝＝
当θ＝90°时，sin C＝.
②x＝L/sin C
v＝c/n2
t＝x/v
联立解得t＝.
5．(2022·河南洛阳二模)(1)下列说法中正确的是________．
A．两列机械横波相遇，在相遇区确定会毁灭干涉现象
B．机械波在传播过程中，沿传播方向上，在任何相等时间内，传播相同的距离
C．光波在介质中传播的速度与光的频率有关
D．狭义相对论认为：一切物理规律在不同的惯性参考系中都相同
E．紫光的双缝干涉条纹间距可能大于红光双缝干涉条纹间距
图9
(2)如图9所示，空气中有一个横截面为直角三角形的三棱镜，∠A＝90°，∠B＝30°，∠C＝60°，棱镜材料的折射率为，底面BC长度为2L，一细光束沿平行于底面BC的方向入射到AB面上，经AB面折射后进入三棱镜．为了保证该光能从AC面上射出，试求该光束在AB面上的入射点到B点的距离范围．
答案 (1)CDE (2)d≤L
解析 (2)由几何关系可知，光束在AB面上的入射角i＝60°，设光束在AB面的折射角为α，
由折射定律可知sin i＝nsin α
解得α＝30°
假如光束经AB面折射后射到AC面上，由几何学问可知，此光束在AC面的入射角β＝90°－α＝60°
设光在三棱镜中发生全反射的临界角为C，则sin C＝
由于sin 60°>sin C＝＝，光束在AC面上发生全反射．
当该光束再反射到BC面上，由几何学问可得，该光束垂直BC面射出，并且依据光路可逆，其反射光束也不会再从AC面射出．
同理，当该光束经AB面上折射后射到BC面上时，将在BC面上发生全反射，其反射光束将垂直AC面射出．
可见，要使光束从AC面上射出，必需使光束直接经AB面折射后直接射到BC面上．
当光束经AB面折射后射到BC面上的C点时，该光束在AB面上的入射点到B点的距离最远．
由几何学问可知，此时入射点到B点的距离：d＝L.
所以，为了保证该光能从AC面上射出，该光束在AB面上的入射点到B点的距离应当为d≤L.
图10
6．(1)如图10所示，a、b为两束不同频率的单色光，以45°的入射角射到玻璃砖的上表面，直线OO′与玻璃砖垂直且与其上表面交于N点，入射点A、B到N点的距离相等，经玻璃砖上表面折射后两束光相交于图中的P点，则下列说法正确的是( )
A．在真空中，a光的传播速度大于b光的传播速度
B．在玻璃中，a光的传播速度大于b光的传播速度
C．同时增大入射角(入射角始终小于90°)，则a光在下表面先发生全反射
D．对同一双缝干涉装置，a光的干涉条纹比b光的干涉条纹宽
(2)一根弹性绳沿x轴方向放置，左端在原点O处，用手握住绳的左端使其沿y轴方向做简谐运动，在绳上形成一简谐波，绳上质点N的平衡位置为x＝5 m，从绳左端开头振动计时，经过0.5 s振动传播到质点M时的波形如图11所示，求：
图11
①绳的左端振动后经多长时间传播到质点N？质点N开头振动时，绳的左端质点已通过的路程；
②画出质点N从t＝2.5 s开头计时的振动图象．
答案 (1)BD (2)①2.5 s 80 cm ②见解析图
解析 (2)①由图可知，波长λ＝2 m，T＝1 s
波速v＝＝2 m/s
振动传播到质点N经受的时间为t＝＝2.5 s
质点N开头振动时，绳的左端已通过的路程为s＝·4A＝80 cm.
②图象如图所示
图12
7．(1)如图12所示为半圆形的玻璃砖，C为AB的中点，直线OO′与玻璃砖垂直且与其上表面相交于C点．a、b两束不同频率的单色可见细光束垂直AB边从空气射入玻璃砖，且两束光在AB面上入射点到C点的距离相等，两束光折射后相交于图中的P点，以下推断正确的是________．
A．在真空中，a光的传播速度大于b光的传播速度
B．光在玻璃砖中的频率和在空气中的频率相同
C．在真空中，a光的波长大于b光的波长
D．a光通过玻璃砖的时间大于b光通过玻璃砖的时间
E．若a、b两束光从同一介质射入真空过程中，a光发生全反射的临界角大于b光发生全反射的临界角
图13
(2)机械横波某时刻的波形图如图13所示，波沿x轴正方向传播，质点p的横坐标x＝0.32 m．从今时刻开头计时．
①若每间隔最小时间0.4 s重复毁灭波形图，求波速．
②若p点经0.4 s第一次达到正向最大位移，求波速．
③若p点经0.4 s到达平衡位置，求波速．
答案 (1)BCE (2)①2 m/s ②0.3 m/s
③(0.8＋n) m/s，(n＝0,1,2,3，…)
解析 (1)全部色光在真空传播速度相同，为c，故A错误；光从一种介质进入另一介质时频率不变，故光在玻璃砖中的频率和在空气中的频率相同，B正确；由题分析可知，玻璃砖对b光的折射率大于对a光的折射率，b光的频率高，由c＝λf得知，在真空中，a光的波长大于b光的波长，故C正确；由v＝得到，a光在玻璃砖中的速度大，a光通过玻璃砖的时间短，故D错误；由sin C＝分析得知，a光的折射率小，a光发生全反射的临界角大于b光发生全反射的临界角，故E正确．选B、C、E.
(2)①依题意，周期T＝0.4 s，波速v＝＝ m/s＝2 m/s.
②波沿x轴正方向传播的距离为Δx＝0.32 m－0.2 m＝0.12 m，
p点恰好第一次达到正向最大位移．
波速v＝＝ m/s＝0.3 m/s.
③波沿x轴正方向传播，若p点恰好第一次到达平衡位置则Δx1＝0.32 m，由周期性可知波传播的可能距离Δx＝Δx1＋n，(n＝0,1,2,3，…)
可能波速v＝＝ m/s＝(0.8＋n) m/s，(n＝0,1,2,3，…)．
8． (1)一列简谐横波沿x轴正方向传播，波速为1 m/s，t＝0时刻波形如图14所示．在x＝1.0 m处有一质点M，求：
图14
①质点M开头振动的方向及振动频率；
②从t＝0时刻开头，经过多长时间质点M其次次到达波峰？
图15
(2)如图15所示是透亮 圆柱形介质的横截面，BC为圆的直径．一束单色光沿AB方向入射，∠ABC＝120°.光自B点进入介质内只经过一次折射后从介质中射出，出射光线平行于BC.
①求介质的折射率；
②若转变∠ABC的大小，则从B点射入介质中的单色光能否在介质的内表面发生全反射？________(填“能”或“不能”)
答案 (1)①沿y轴负方向 2.5 Hz ②1.5 s (2)①
②不能
解析 (1)①沿y轴负方向．
波长λ＝0.4 m，由v＝λf得振动频率f＝2.5 Hz.
②从t＝0时刻开头，经t1时间M开头振动：
t1＝＝0.8 s
再经t2时间M其次次到达波峰：t2＝T＝0.7 s
从t＝0时刻开头M其次次到达波峰的时间为：t＝t1＋t2＝1.5 s.
(2)①入射角i＝180°－∠ABC＝60°
设光线从圆柱形介质中的出射点为D，出射光线DE，如图所示
由对称性和光路可逆原理知：
α＝60°
因DE∥BC，故β＝60°，
所以∠BOD＝120°
所以光线在B点的折射角：r＝30°
折射率：n＝＝＝.
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