【全程复习方略】2021高考数学(文理通用)一轮课时作业44-椭圆.docx

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课时提升作业(四十四)
椭　　圆
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2022·台州模拟)已知椭圆C的短轴长为6,离心率为45,则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为(　　)
A.9 B.1
C.1或9 D.以上都不对
【解析】选C.依题设知:b=3,ca=45,a2=b2+c2,
解得a=5,b=3,c=4.
所以椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a+c=9或a-c=1.
2.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为(　　)
A.14 B.55 C.12 D.5-2
【解析】选B.由于A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,又由于|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,所以(a+c)(a-c)=4c2,即a2=5c2,所以离心率e=55.
3.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e=12,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)(　　)
A.必在圆x2+y2=2内 B.必在圆x2+y2=2上
C.必在圆x2+y2=2外 D.以上三种情形都有可能
【解析】选A.由于e=12,所以ca=12.
由于a2=b2+c2,所以b2=34a2.
由于x1+x2=-ba,x1·x2=-ca,
所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=b2a2+1=74a2a2=74<2.
所以P点在圆x2+y2=2内.
4.(2021·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(　　)
A.x245+y236=1 B.x236+y227=1
C.x227+y218=1 D.x218+y29=1
【解析】选D.由椭圆x2a2+y2b2=1得,b2x2+a2y2=a2b2,
由于过点F的直线与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A,B两点,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x22=1,y1+y22=-1,
则b2x12+a2y12=a2b2　①,
b2x22+a2y22=a2b2　②,
由①-②得b2(x12-x22)+a2(y12-y22)=0,
化简得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.
2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,
y1-y2x1-x2=b2a2,
又直线的斜率为k=0-(-1)3-1=12,即b2a2=12.
由于b2=a2-c2=a2-9,
所以a2-9a2=12,解得a2=18,b2=9.
故椭圆方程为x218+y29=1.
5.设P是椭圆x225+y29=1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为(　　)
A.9,12 B.8,11 C.8,12 D.10,12
【思路点拨】可先求点P到两圆圆心的距离之和,留意两圆圆心与椭圆焦点的关系.
【解析】选C.可先求点P到两圆圆心的距离,然后再加两圆半径和或再减两圆半径和,由于两圆圆心分别为椭圆的左、右焦点,所以点P到两圆圆心的距离的和为2a=10,因此所求最大值为2a+2,最小值为2a-2,故最大值是12、最小值是8.
6.(2021·新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(　　)
A.36 B.13 C.12 D.33
【解析】选D.由于PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,
所以|PF2|=2ctan 30°=233c,|PF1|=433c.
又|PF1|+|PF2|=633c=2a,所以ca=33,
即椭圆的离心率为33,选D.
7.已知椭圆x24+y23=1,若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是(　　)
A.-21313,2213 B.-21313,21313
C.-213,21313 D.-2313,2313
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),
AB的中点M(x,y),kAB=y2-y1x2-x1=-14,
x1+x2=2x,y1+y2=2y,3x12+4y12=12　①,
3x22+4y22=12　②,
①②两式相减得3(x22-x12)+4(y22-y12)=0,
即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部,
则m24+9m23<1,即-21313F1F2的延长线以及线段AF2相切,若M(t,0)为一个切点,
则(　　)
A.t=2 　　 B.t>2
C.t<2 　　 D.t与2的大小关系不确定
【思路点拨】先画出图形,留意圆的切线的性质以及椭圆的定义即可求解.
【解析】选A.如图,P,Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点,

则|MF2|=|F2Q|=2a-(|F1A|+|AQ|)
=2a-|F1P|=2a-|F1M|,
即|F1M|+|MF2|=2a.
所以t=a=2.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2022·嘉兴模拟)已知椭圆x216+y225=1的焦点分别是F1,F2,P是椭圆上一点,若连接F1,F2,P三点恰好能构成直角三角形,则点P到y轴的距离是　　　　.
【解析】依题意:F1(0,-3),F2(0,3).
又由于3<4,
所以∠F1F2P=90°或∠F2F1P=90°,
设P(x,3),代入椭圆方程得:x=±165,
即点P到y轴的距离为165.
答案:165
10.分别过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2所作的两条相互垂直的直线l1,l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是　　　　.
【思路点拨】关键是由l1,l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.
【解析由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.
又点P在椭圆内部,所以有c2b>0)的两个焦点,若椭圆上存在点P使得∠F1PF2=π3,则椭圆的离心率e的取值范围为　　　　.
【解析】设椭圆的短轴的一个端点为B,则∠F1BF2≥π3,在△BF1F2中,sin∠OBF2=ca=e≥sinπ6=12,故12≤e<1.
答案:12,1
11.(2022·镇江模拟)已知点A(0,2)及椭圆x24+y2=1上任意一点P,则|PA|的最大值为　　　　.
【解析】设P(x0,y0),则-2≤x0≤2,-1≤y0≤1,
所以|PA|2=x02+(y0-2)2.
由于x024+y02=1,
所以|PA|2=4(1-y02)+(y0-2)2
=-3y02-4y0+8=-3y0+232+283.
由于-1≤y0≤1,而-1<-23<1,
所以当y0=-23时,|PA|max2=283,
即|PA|max=2213.
答案:2213
12.(力气挑战题)(2022·杭州模拟)直线l过椭圆x22+y2=1的左焦点F,且与椭圆相交于P,Q两点,M为PQ的中点,O为原点.若△FMO是以OF为底边的等腰三角形,则直线l的方程为　　　　.
【解析】由x22+y2=1,得a2=2,b2=1,所以c2=a2-b2=2-1=1,则c=1,则左焦点F(-1,0).
由题意可知,直线l的斜率存在且不等于0,则直线l的方程为y=kx+k.
设l与椭圆相交于P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立x22+y2=1,y=kx+k,得:(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0.
所以x1+x2=-4k22k2+1.
则PQ的中点M的横坐标为x1+x22=-2k22k2+1.
由于△FMO是以OF为底边的等腰三角形,
所以-2k22k2+1=-12.解得:k=±22.
所以直线l的方程为y=±22(x+1).
答案:y=±22(x+1)
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.如图,F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.
(1)求椭圆C的离心率.
(2)已知△AF1B的面积为403,求a,b的值.
【解析】(1)∠F1AF2=60°⇒a=2c⇒e=ca=12.
(2)设|BF2|=m(m>0),则|BF1|=2a-m,
在△BF1F2中,|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2|×|F1F2|×cos120°,
即(2a-m)2=m2+a2+am,
所以m=35a.
△AF1B的面积S=12×|AF1|×|AB|×sin60°=
12×a×a+35a×32=403,
所以a=10,c=5,b=53.
【一题多解】本题第(2)问还可以用如下的方法解决:
设|AB|=t.由于|AF2|=a,所以|BF2|=t-a.
由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a可知,|BF1|=3a-t,
再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos60°可得,t=85a.由S△AF1B=12a·85a·32=235a2=403知,
a=10,b=53.
14.(2021·南宁模拟)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程.
(2)椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围.
【解析】(1)依题意知,2a=4,所以a=2.
由于e=ca=22,所以c=2,b=a2-c2=2.
所以所求椭圆C的方程为x24+y22=1.
(2)由于点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),
所以y0-y1x0-x1×2=-1,y0+y12=2×x0+x12.
解得x1=4y0-3x05,y1=3y0+4x05.
所以3x1-4y1=-5x0.
由于点P(x0,y0)在椭圆C:x24+y22=1上,
所以-2≤x0≤2,则-10≤-5x0≤10.
所以3x1-4y1的取值范围为[-10,10].
【加固训练】
设A,B分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点,1,32为椭圆上一点,椭圆长半轴的长等于焦距.
(1)求椭圆的方程.
(2)设P(4,x)(x≠0),若直线AP,BP分别与椭圆相交异于A,B的点M,N,求证:
∠MBN为钝角.
【解析】(1)依题意,得a=2c,b2=a2-c2=3c2.
则椭圆方程为x24c2+y23c2=1,将132代入,得c2=1.
故椭圆方程为x24+y23=1.
(2)由(1)知,A(-2,0),B(2,0),设M(x0,y0),则-20,
即∠MBP为锐角,则∠MBN为钝角.
15.(2021·重庆高考)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=22,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A′两点,|AA′|=4.
(1)求该椭圆的标准方程.
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P′,过P,P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.
【解析】(1)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则(-c)2a2+22b2=1,从而e2+4b2=1.
由e=22,得b2=41-e2=8,从而a2=b21-e2=16,
故该椭圆的标准方程为x216+y28=1.
(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0),又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+ y2=x2-2x0x +x02+8(1-x216)=12(x-2x0)2-x02+8(x∈-4,4).
设P(x1,y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又由于x1∈-4,4,所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-x02.
由对称性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,
所以S =12|2y1||x1-x0|
=12×281-x1216|x0|
=2(4-x02)x02=2-(x02-2)2+ 4.
当x0=±2时,△PP′Q的面积S取到最大值22.
此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±2,0),半径|QP| =8-x02=6,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+2)2+y2=6,(x-2)2+y2=6.
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