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必修5综合测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a<b<0，则下列不等式肯定成立的是( )
A．a2<ab<b2 B．b2<ab<a2
C．a2<b2<ab D．ab<b2<a2
答案 B
2．关于数列3,9，…，2187，…，以下结论正确的是( )
A．此数列不是等差数列，也不是等比数列
B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列
C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列
D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列
解析 记a1＝3，a2＝9，…，an＝2 187，…
若该数列为等差数列，则公差d＝9－3＝6，
an＝3＋(n－1)×6＝2 187，∴n＝365.
∴{an}可为等差数列．
若{an}为等比数列，则公比q＝＝3.
an＝3·3n－1＝2 187＝37，∴n＝7.
∴{an}也可能为等比数列．
答案 B
3．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则角C为( )
A．钝角 B．直角
C．锐角 D．60°§xx§k.Com]
解析 由sin2A＋sin2B＝2sin2C，得a2＋b2＝2c2.
即a2＋b2－c2＝c2>0，cosC>0.
答案 C
4．定义新运算a*b＝例如1]( )
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
解析 或解得x<1.
答案 B
5．在下列函数中，最小值等于2的函数是( )
A．y＝x＋
B．y＝cosx＋
C．y＝
D．y＝ex＋4e－x－2
解析 A中当x<0时不成立，B、C中y取不到2，因此A、B、C均错，D正确．y＝ex＋4e－x－2≥2－2＝2，
当且仅当ex＝，即当ex＝2，x＝ln2时，取等号．
答案 D
6．不等式y≤3x＋b所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，而点(4,4)在此区域内，则b的范围是( )
A．－8≤b≤－5 B．b≤－8或b>－5
C．－8≤b<－5 D．b≤－8或b≥－5
解析 ∵4>3×3＋b，且4≤3×4＋b，∴－8≤b<－5.
答案 C
7．已知实数m，n满足不等式组则关于x的方程x2－(3m＋2n)x＋6mn＝0的两根之和的最大值和最小值分别是( )
A．7，－4 B．8，－8
C．4，－7 D．6，－6
解析 两根之和z＝3m＋2n，画出可行域，当m＝1，n＝2时，zmax＝7；当m＝0，n＝－2时，zmin＝－4.
答案 A
8．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c成等差数列，则＋的值等于( )[来源:学_科_网Z_X_X_K]
A. B.
C．2 D．1
解析 用特殊值法，令a＝b＝c.
答案 C
9．制作一个面积为1 m2，外形为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用、又耗材最少)是( )
A．4.6 m B．4.8 m
C．5 m D．5.2 m
解析 设三角形两直角边长为am，bm，则ab＝2，周长C＝a＋b＋≥2＋＝2＋2≈4.828(m)．
答案 C
10．设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1, 则( )
A．an＋1>bn＋1 B．an＋1≥bn＋1
C．an＋1<bn＋1 D．an＋1＝bn＋1
解析 an＋1＝≥＝＝bn＋1.
答案 B
11．下表给出一个“直角三角形数阵”：
，
，，
……
满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij(i≥j，i，j∈N*)，则a83等于( )
A. B.
C. D．1
解析 第1列为，＝，，…，所以第8行第1个数为，又每一行都成等比数列且公比为，所以a83＝××＝.
答案 C
12．已知变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为( )
A．4 B．2
C．1 D．－4
解析 先作出约束条件满足的平面区域，如图所示．
由图可知，当直线y＋2x＝0，经过点(1,0)时，z有最大值，此时z＝2×1＋0＝2.
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分．把答案填在题中横线上)
13．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．
解析 ∵B＝45°，C＝60°，∴A＝180°－B－C＝75°.[来源:学科网ZXXK]
∴最短边为b.由正弦定理，得b＝＝＝.
答案
14．锐角△ABC中，若B＝2A，则的取值范围是__________．
解析 ∵△ABC为锐角三角形，
∴∴
∴A∈(，)．∴＝＝2cosA.∴∈(，)．
答案 (，)
15．数列{an}满足a1＝3，an＋1－2an＝0，数列{bn}的通项公式满足关系式an·bn＝(－1)n(n∈N*)，则bn＝________.
解析 ∵a1＝3，an＋1＝2an，
∴数列{an}为等比数列，且公比q＝2.∴an＝3·2n－1.
又an·bn＝(－1)n.∴bn＝(－1)n·＝.
答案
16．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析 令f(x)＝x2＋mx＋4，则f(x)的图象是开口向上的抛物线，要当x∈(1,2)时，f(x)<0恒成立，只要解得m≤－5.
答案 m≤－5
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知全集U＝R，A＝，B＝{x|3x2－4x＋1>0}，求∁U(A∩B)．
解 A＝{x|3x2－4x－4<0}＝，
B＝.
A∩B＝，
∁U(A∩B)＝{x|x≤－，或≤x≤1，或x≥2}．
18．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．
解 (1)由bsinA＝acosB及正弦定理＝，得sinB＝cosB，所以tanB＝，所以B＝.
(2)由sinC＝2sinA及＝，得c＝2a.
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.
所以a＝，c＝2.
19．(12分)已知函数f(x)＝ax2－bx＋1.
(1)是否存在实数a，b使不等式f(x)>0的解集是{x|3<x<4}，若存在，求实数a，b的值，若不存在，请说明理由；
(2)若a为整数，b＝a＋2，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，求a的值．
解 (1)∵不等式ax2－bx＋1>0的解集是{x|3<x<4}，
∴方程ax2－bx＋1＝0的两根是3和4，
∴解得a＝，b＝.
而当a＝>0时，不等式ax2－bx＋1>0的解集不行能是{x|3<x<4}，故不存在实数a，b使不等式f(x)>0的解集是{x|3<x<4}．
(2)∵b＝a＋2，∴f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1.
∵Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，
∴函数f(x)＝ax2－bx＋1必有两个零点．
又函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，
∴f(－2)·f(－1)<0，∴(6a＋5)(2a＋3)<0，
解得－<a<－.∵a∈Z，∴a＝－1.
20．(12分)配制两种药剂，需要甲、乙两种原料．已知配A种药需要甲料3毫克，乙料5毫克；配B种药需要甲料5毫克、乙料4毫克．今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A，B两种药至少各配一剂，问A、B两种药最多能各配几剂？
解 设A、B两种药分别能配x，y剂，x，y∈N*，则作出可行域，图中阴影部分的整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)．
所以，在保证A，B两种药至少各配一剂的条件下，A种药最多配4剂，B种药最多配3剂．
21．(12分)在△ABC中，已知＝，且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C.
(1)试确定△ABC的外形；
(2)求的范围．
解 (1)由＝，
得＝，即b2－a2＝ab，①
又cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C，
所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C.
sinA·sinB＝sin2C，则ab＝c2.②
由①②知b2－a2＝c2，即b2＝a2＋c2.所以△ABC为直角三角形．
(2)在△ABC中，a＋c>b，即>1.
又＝≤ ＝＝，故的取值范围为(1，]．
22．(12分)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a＋a＝a＋a，S7＝7.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)试求全部的正整数m，使得为数列{an}中的项．
解 (1)由题意，设等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，(d≠0)．
由a＋a＝a＋a，知2a1＋5d＝0.①
又由于S7＝7，所以a1＋3d＝1.②
由①②可得a1＝－5，d＝2.[来源:学科网]
所以数列{an}的通项公式an＝2n－7，Sn＝＝n2－6n.
(2)由于＝＝am＋2－6＋为数列{an}中的项，故为整数，又由(1)知am＋2为奇数，所以am＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.
当m＝1时，＝＝－15.
明显它不是数列{an}中的项．
当m＝2时，＝＝1.
它是数列{an}中的项．
因此，符合题意的正整数只有m＝2.
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