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第9讲 函数模型及其应用
[最新考纲]
1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
知 识 梳 理
1．函数模型及其性质比较
(1)几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
(2)三种函数模型性质比较
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的单调性
单调增函数
单调增函数
单调增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
2.“f(x)＝x＋”型函数模型
形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用基本不等式、导数、函数单调性求解最值.
同学用书第33页
辨 析 感 悟
1．关于函数模型增长特点的理解
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×)
(2)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快的形象比方．(×)
(3)幂函数增长比直线增长更快．(×)
2．常见函数模型的应用问题
(4)(2021·长春模拟改编)一个体积为V的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系的图象可以表示为.(√)
(5)(2022·济宁模拟改编)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1 x2，x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是150台．(√)
[感悟·提升]
一个区分 三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x＞x0时，有ax＞xn＞logax(a＞1，n＞0)．如(1)中当2＜x＜4时，2x＜x2；如(2)中没强调b＞1；如(3)，举例y＝与y＝x，当x＞1时，y＝比y＝x增长慢.
考点一 利用图象刻画实际问题
【例1】 (2021·湖北卷，文)小明骑车上学，开头时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上大事吻合得最好的图象是( )．
解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线段，且距离学校越来越近，故排解A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排解D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排解B.故选C.
答案 C
规律方法 抓住两个变量间的变化规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、削减的缓急等)相吻合即可．
【训练1】 如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来，图①应当是匀速的，故上面的图象不正确，②中的变化率应当是越来越慢的，正确；③中的变化率渐渐变慢，然后渐渐变快，正确；④中的变化率渐渐变快，然后渐渐变慢，也正确，故只有①是错误的．选A.
答案 A
考点二 二次函数模型
【例2】 (2022·德州一模)某家庭进行理财投资，依据长期收益率市场猜测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；
(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么安排资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
解 (1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
由已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，
所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为(20－x)万元．
依题意得y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)．
令t＝(0≤t≤2)，
则y＝＋t＝－(t－2)2＋3，
所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，ymax＝3万元.
同学用书第34页
规律方法 二次函数模型的应用比较广泛，解题时，依据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．
【训练2】 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解 (1)每吨平均成本为(万元)．
则＝＋－48≥2 －48＝32，
当且仅当＝，即x＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．
(2)设年获得总利润为R(x)万元．
则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000
＝－＋88x－8 000
＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，
R(x)有最大值为－(210－220)2＋1 680＝1 660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
考点三 分段函数模型
【例3】 (2022·郴州模拟)某旅游景点估计2022年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝
(1)写出2022年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x的函数关系式；
(2)试问2022年第几个月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？
解 (1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，
当2≤x≤12，且x∈N*时，
f(x)＝p(x)－p(x－1)＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x，验证x＝1也满足此式，所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．
(2)第x个月旅游消费总额为
g(x)＝
即g(x)＝
①当1≤x≤6，且x∈N*时，g′(x)＝18x2－370x＋1 400，令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝(舍去)．
当1≤x＜5时，g′(x)＞0，当5＜x≤6时，g′(x)＜0，
∴当x＝5时，g(x)max＝g(5)＝3 125(万元)．
②当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6 400是减函数，∴当x＝7时，g(x)max＝g(7)＝3 040(万元)．
综上，2022年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．
规律方法 (1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数．
(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．
【训练3】 在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店
以5.8万元的优待价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并商定从该店经营的利
润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．
在甲供应的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格
P(元)的关系如图所示；③每月需各项开支2 000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
解 设该店月利润余额为L，则由题设得
L＝Q×(P－14)×100－3 600－2 000，①
由销量图易得Q＝
代入①式得L＝
(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，
此时P＝19.5元；
当20<P≤26时，Lmax＝元，此时P＝元．
故当P＝19.5元时，月利润余额最大为450元．
(2)设可在n年内脱贫，依题意有12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20，
即最早可望在20年后脱贫．
1．认真分析题意，合理选择函数模型是解决应用问题的基础．
2．要特殊关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
3．留意问题反馈，在解决函数模型后，必需验证这个数学结果对实际问题的合理性．
同学用书第35页
答题模板3——函数实际应用的建模问题
【典例】 (12分)(2022·江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹放射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与放射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程．
(2)设在第一象限有一飞行物(忽视其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
[规范解答] (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0， (2分)
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米． (5分)
(2)由于a＞0，所以，炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立． (8分)
即关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 (10分)
∴判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0，解得a≤6.
所以当a不超过6千米时，可击中目标． (12分)
[反思感悟] (1)函数模型应用不当是常见的解题错误，所以，正确理解题意，选择适当的函数模型是正确解决这类问题的前提和基础；
(2)本题中有的同学不能把炮弹击中目标转化为关于k的一元二次方程有正根问题，导致失分．
答题模板 解函数应用题的一般程序：
第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
其次步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学学问建立相应的数学模型；
第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必需验证这个数学解对实际问题的合理性．
【自主体验】
某医药争辩所开发的一种新药，假如成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．
解 (1)由图象，设y＝
当t＝1时，由y＝4得k＝4，
由1－a＝4得a＝3.所以y＝
(2)由y≥0.25得或
解得≤t≤5.
因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－＝(小时).
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·日照模拟)下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函
数模型是 ( ).
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A．一次函数模型 B．幂函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
解析 依据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．
答案 A
2．(2022·湖州模拟)物价上涨是当前的主要话题，特殊是菜价，我国某部门为尽
快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据猜测，这四种方案均能在规定的时间T内完成猜测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是 ( )．
解析 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应当渐渐增大，故选B.
答案 B
3．牛奶保鲜时间因贮存温度的不同而不同，假定保鲜时间与贮存温度的关系为
指数型函数y＝kax，若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约为100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约为80 h，那么在10 ℃时保鲜时间约为 ( )．
A．49 h B．56 h
C．64 h D．72 h
解析 由题意知，解得，则当x＝10时，y＝100a10＝100×2＝64 (h)．
答案 C
4.(2021·安徽名校联考)如图，在平面直角坐标系中，AC平行于x轴，四边形ABCD
是边长为1的正方形，记四边形位于直线x＝t(t＞0)左侧图形的面积为f(t)，则f(t)的大致图象是( )．
解析 由题意得，f(t)＝
故其图象为C.
答案 C
5．(2022·人大附中模拟)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌车，在A
地的销售利润(单位：万元)是y1＝13.5－，在B地的销售利润(单位：万元)是y2＝x＋6.2，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售11辆这种品牌车，则能获得的最大利润是 ( )．
A．19.45万元 B．22.45万元
C．25.45万元 D．28.45万元
解析 依据题意设公司在A地售x辆，则B地售(11－x)辆，则销售利润y＝13.5－＋(11－x)＋6.2
＝22.45－≤22.45－2＝19.45
(当且仅当＝x，即x＝6时取等号)．
答案 A
二、填空题
6．(2022·临汾一模)某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优待10%)，
仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元．
解析 设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.
答案 108
7．(2021·北京朝阳二模)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此
外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤ 20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
解析 当x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝(x∈N*)．
当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x＞20时，160－x＜140，故x＝16时取得最大年利润．
答案 y＝(x∈N*) 16
8．有一批材料可以建成200 m长的围墙，假如用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙厚度不计)．
解析 本题是实际问题，建立函数关系即可．设矩形场地的宽为x m，则矩形场地的长为(200－4x)m，面积S＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2 500.故当x＝25时，S取得最大值2 500，即围成场地的最大面积为2 500 m2.
答案 2 500 m2
三、解答题
9．(2022·宁德一模)有一种新型的洗衣液，去污速度特殊快．已知每投放k(1≤k≤4，且k∈R)个单位的洗衣液在肯定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y＝k·f(x)，其中f(x)＝若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．依据阅历，当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效去污的作用．
(1)若只投放一次k个单位的洗衣液，两分钟时水中洗衣液的浓度为3(克/升)，求k的值；
(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
解 (1)由题意知k＝3，
∴k＝1.
(2)由于k＝4，所以y＝
则当0≤x≤4时，由－4≥4，解得8＞x≥－4，所以此时0≤x≤4.
当4＜x≤14时，由28－2x≥4，解得x≤12，所以此时4＜x≤12.
综上可知0≤x≤12，若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达12分钟．
10．(2022·佛山一模)某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x，每日的销售额S(单位：万元)与日产量x的函数关系式S＝已知每日的利润L＝S－C，且当x＝2时，L＝3.
(1)求k的值；
(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．
解 (1)由题意可得：L＝
由于x＝2时，L＝3，所以3＝2×2＋＋2，
解得k＝18.
(2)当0＜x＜6时，L＝2x＋＋2，所以L＝2(x－8)＋＋18＝－[2(8－x)＋]＋18≤－2＋18＝6.
当且仅当2(8－x)＝，即x＝5时取得等号．
当x≥6时，L＝11－x≤5.
所以当x＝5时，L取得最大值6.
所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2022·江门质检)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将削减10x万瓶，假如要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为 ( )．
A．2 B．6
C．8 D．10
解析 由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x)·70·，令104·(100－10x)·70·≥112×104，解得2≤x≤8.故x的最小值为2.
答案 A
2．(2022·焦作模拟)某商人购货，进价已按原价a扣去25%.他期望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为 ( )．
A．y＝x(x∈N*) B．y＝x(x∈N*)
C．y＝x(x∈N*) D．y＝x(x∈N*)
解析 设新价为b，依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化简得b＝a，∴y＝b·20%·x＝a·20%·x，即y＝x(x∈N*)．
答案 A
二、填空题
3．将一个长宽分别是a，b(0<b<a)的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是________．
解析 设切去正方形的边长为x，x∈，则该长方体外接球的半径为r2＝[(a－2x)2＋(b－2x)2＋x2]＝[9x2－4(a＋b)x＋a2＋b2]，在x∈存在最小值时，必有0<<，解得<，又0<b<a⇒>1，故的取值范围是.
答案
三、解答题
4．(2022·孝感统考)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为万元．
(1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x)，求f(x)；
(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？
解 (1)当0<x≤500时，f(x)＝0.05x－x2－
＝－＋x－，
当x>500时，f(x)＝0.05×500－×5002－
＝12－x，
故f(x)＝
(2)当0<x≤500时，f(x)＝－＋x－＝
－(x－475)2＋，
故当x＝475时，f(x)max＝.
当x>500时，f(x)＝12－x<12－＝<.
故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．
方法强化练——函数与基本初等函数
(建议用时：75分钟)
一、选择题
1．(2022·珠海模拟)函数y＝的定义域为 ( )．
A. B.∪(－1，＋∞)
C. D.∪(－1，＋∞)
解析 由得x∈.
答案 A
2．(2022·深圳调研)下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是 ( )．
A．y＝ B．y＝ex－e－x
C．y＝xsin x D．y＝lg
解析 对于A，y＝，其定义域[0，＋∞)不关于原点对称，故为非奇非偶函数；对于B，y＝ex－e－x，其定义域为R，且
f(－x)＝e－x－e－(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故f(x)在(0,1)上为奇函数，f′(x)＝ex－(－x)′·(e－x)′＝ex＋，当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，故为增函数；对于C，y＝xsin x，其定义域为R，f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f(x)，函数为偶函数；对于D，f(x)＝lg，则＞0，则－1＜x＜1，f(－x)＋f(x)＝lg＝lg 1＝0，故f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝lg＝lg＝lg，其为(0,1)上的减函数．综上，故选B.
答案 B
3．(2022·湖北七市联考)函数f(x)＝2x－sin x的零点个数为 ( )．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 明显f(x)的一个零点是0，而f′(x)＝2－cos x＞0，即f(x)在R上单调递增，因此函数f(x)只有一个零点，故选A.
答案 A
4．(2022·南昌二模)已知a＝，b＝，c＝log2.11.5，则a，b，c的大小
关系是 ( )．
A．c＜a＜b B．c＜b＜a
C．a＜b＜c D．b＜a＜c
解析 由log2.11.5＜1＜＜，得c＜a＜b.
答案 A
5．(2021·温州其次次测试)已知2a＝3b＝6c，则有 ( )．
A.∈(2,3) B.∈(3,4)
C.∈(4,5) D.∈(5,6)
解析 设2a＝3b＝6c＝k，则a＝log2k，b＝log3k，c＝log6k，∴＝＋＝＋＝log26＋log36＝1＋log23＋1＋log32＞2＋2＝4，又2＋log23＋log32＜2＋2＋1＝5.
答案 C
6．(2021·四川卷)函数y＝的图象大致是 ( )．
解析 由已知3x－1≠0⇒x≠0，排解A；
又∵x＜0时，3x－1＜0，x3＜0，∴y＝＞0，故排解B；又y′＝，当3－xln 3＜0时，x＞＞0，y′＜0，所以D不符合．故选C.
答案 C
7．(2021·北京卷)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex
关于y轴对称，则f(x)＝ ( )．
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
解析 与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴y＝f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
答案 D
8．(2022·衡水模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别
为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 ( )．
A．45.606 B．45.6
C．45.56 D．45.51
解析 设在甲地销售x辆车，则在乙地销售15－x辆车，获得的利润为
y＝5.06x－0.15x2＋2×(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30，
当x＝－＝10.2时，y最大，但x∈N，所以当x＝10时，ymax＝－15＋30.6＋30＝45.6.
答案 B
9．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0，
且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝ ( )．
A．2 B.
C. D．a2
解析 ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2， ①
得－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2， ②
①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.
又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，
∴f(2)＝22－2－2＝.
答案 B
10．(2021·辽宁卷)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋
8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝ ( )．
A．16 B．－16
C．a2－2a－16 D．a2＋2a－16
解析 令f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或x＝a－2.
f(x)与g(x)的图象如图．
由题意知H1(x)的最小值是f(a＋2)，
H2(x)的最大值为g(a－2)，
故A－B＝f(a＋2)－g(a－2)
＝(a＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)(a－2)＋a2－8＝－16.
答案 B
二、填空题
11．(2021·湖南卷)函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个
数为________．
解析 由于g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，所以作出函数f(x)＝ln x与g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2的图象，由图象可知两函数图象的交点个数有2个．
答案 2
12．(2021·长沙期末考试)设f(x)＝
则f[f(－1)]＝________.
解析 f(－1)＝(－1)2＝1，所以f[f(－1)]＝f(1)＝21＝2.
答案 2
13．(2022·郑州模拟)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是
增函数，则a的取值范围是________．
解析 g(x)＝|x－a|的增区间为[a，＋∞)，
∴f(x)＝e|x－a|的增区间为[a，＋∞)．
∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴[1，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤1.
答案 (－∞，1]
14．(2021·滨州一模)定义在R上的偶函数f(x)，且对任意实数x都有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1)时，f(x)＝x2，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围是________．
解析 由f(x＋2)＝f(x)得函数的周期为2.由g(x)＝f(x)－kx－k＝0，得f(x)＝kx＋k＝k(x＋1)，分别作出函数y＝f(x)，y＝k(x＋1)的图象，设A(3,1), B(－1,0)，要使函数有4个零点，则直线y＝k(x＋1)的斜率0＜k≤kAB，由于kAB＝＝，所以0＜k≤，即实数k的取值范围是.
答案
15．(2022·扬州质检)对于函数f(x)＝x|x|＋px＋q，现给出四个命题：
①q＝0时，f(x)为奇函数；
②y＝f(x)的图象关于(0，q)对称；
③p＝0，q＞0时，方程f(x)＝0有且只有一个实数根；
④方程f(x)＝0至多有两个实数根．
其中正确命题的序号为________．
解析 若q＝0，则f(x)＝x|x|＋px＝x(|x|＋p)为奇函数，所以①正确；由①知，当q＝0时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称，f(x)＝x|x|＋px＋q的图象由函数f(x)＝x|x|＋px向上或向下平移|q|个单位，所以图象关于(0，q)对称，所以②正确；当p＝0，q＞0时，f(x)＝x|x|＋q＝当f(x)＝0，得x＝－，只有一解，所以③正确；取q＝0，p＝－1，f(x)＝x|x|－x＝由f(x)＝0，可得x＝0，x＝±1有三个实根，所以④不正确．综上正确命题的序号为①②③.
答案 ①②③
三、解答题
16．(2021·贵阳诊断)函数f(x)＝m＋logax(a＞0且a≠1)的图象过点(8,2)和(1，－
1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值．
解 (1)由得
解得m＝－1，a＝2，
故函数解析式为f(x)＝－1＋log2x.
(2)g(x)＝2f(x)－f(x－1)
＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)]
＝log2－1(x＞1)．
∵＝＝(x－1)＋＋2≥
2 ＋2＝4.
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．而函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，则log2 －1≥log24－1＝1，
故当x＝2时，函数g(x)取得最小值1.
17．(2022·齐齐哈尔调研)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称
x0为f(x)的不动点，已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，由题意可知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3.
故当a＝1，b＝－2时，f(x)的不动点是－1,3.
(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)恒有两个不动点，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，
即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两相异实根，
∴Δ＝b2－4ab＋4a＞0(b∈R)恒成立．
于是Δ′＝(－4a)2－16a＜0解得0＜a＜1，
故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时的a的范围是(0,1)．
18．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为了鼓舞销售商订购，打算每一次订购量超过100个时，每多订购一个，多订购的全部零件的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式．
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？假如订购1 000个，利润又是多少元？
解 (1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．
(2)当0＜x≤100时，P＝60；
当100＜x＜550时，P＝60－0.02(x－100)＝62－；
当x≥550时，P＝51.
所以P＝f(x)＝
(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
L＝(P－40)x＝
当x＝500时，L＝6 000；
当x＝1 000时，L＝11 000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；假如订购1 000个，利润是11 000元.
同学用书第36页
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