2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第2篇-第4讲-幂函数与二次函数.docx

第4讲幂函数与二次函数最新考纲1了解幂函数的概念2结合函数yx，yx2，yx3，y，y的图象，了解它们的变化状况3理解并把握二次函数的定义、图象及性质4能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简洁问题.知 识 梳 理1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)x|xR，且x0值域R 0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0减，0，)增增增(，0)减，(0，)减定点(0,0)，(1,1)(1,1)2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)ax2bxc(a0)的函数叫做二次函数(2)二次函数的三种常见解析式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，(m，n)为顶点坐标；两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)其中x1，x2分别是f(x)0的两实根(3)二次函数的图象和性质函数二次函数yax2bxc(a，b，c是常数，a0)图象a0a2xm恒成立，求实数m的取值范围审题路线f(0)1求cf(x1)f(x)2x比较系数求a，b构造函数g(x)f(x)2xm求g(x)min由g(x)min0可求m的范围解(1)由f(0)1，得c1.f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10得，m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1).同学用书第20页规律方法 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，亲密联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析【训练3】 (2022江西九校联考)已知二次函数f(x)ax2bxc(c0且为常数)的导函数的图象如图所示(1)求函数f(x)的解析式(用含c的式子表示)；(2)令g(x)，求yg(x)在1,2上的最大值解(1)f(x)2axb，由图可知，f(x)2x1，得故所求函数的解析式为f(x)x2xc.(2)g(x)x1，则g(x)1.若1，即0c1时，g(x)0，g(x)在1,2上是增函数，故g(x)maxg(2)3.若1 2，即1c4，当1x时，g(x)0，当x2时，g(x)0，g(1)c2，g(2)3，当1c2时，g(1)g(2)，g(x)maxg(2)3；当2c4时，g(1)g(2)，g(x)maxg(1)c2.若2，即c4时，g(x)0，g(x)在1,2上是减函数，故g(x)maxg(1)c2.综上所述，当0c2时，g(x)max3；当c2时，g(x)maxc2.1对于幂函数的图象的把握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx分区域依据0,01，1，1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性打算 2二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类争辩思想3对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题留意等价转化思想的运用答题模板2二次函数在闭区间上的最值问题【典例】 (12分)(经典题)求函数f(x)x(xa)在x1,1上的最大值规范解答函数f(x)2的图象的对称轴为x，应分1，11，1，即a2，2a2和a2三种情形争辩 (2分)(1)当a2时，由图(1)可知f(x)在1,1上的最大值为f(1)1a； (5分)(2)当2a2时，由图(2)可知f(x)在1,1上的最大值为f； (8分)(3)当a2时，由图(3)可知f(x)在1,1上的最大值为f(1)a1. (11分)综上可知，f(x)max (12分)反思感悟 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类争辩(2)部分同学易消灭两点错误：找不到分类的标准，无从入手；书写格式不规范，漏掉结论f(x)max答题模板第一步：配方，求对称轴其次步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类争辩第三步：求最值第四步：下结论【自主体验】已知函数f(x)4x24ax4aa2在区间0,1内有一个最大值5，求a的值解f(x)424a，对称轴为x，顶点为.当1，即a2时，f(x)在区间0,1上递增ymaxf(1)4a2.令4a25，a12(舍去)当01，即0a2时，ymaxf4a，令4a5，a(0,2)当0，即a0时，f(x)在区间0,1上递减，此时f(x)maxf(0)4aa2.令4aa25，即a24a50，a5或a1(舍去)综上所述，a或a5. 对应同学用书P233基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是()A(0，) B0，)C(，0) D(，)解析设幂函数yx，则2，解得2，所以yx2，故函数yx2的单调递增区间是(，0)答案C2假如函数f(x)x2bxc对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，那么()Af(2)f(0)f(2) Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2) Df(0)f(2)f(2)解析函数f(x)x2bxc对任意的实数x都有f(1x)f(x)可知函数f(x)图象的对称轴为x，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大答案D3(2022北京八十中模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，) B(1,2)C(2,1) D(，2)(1，)解析当x0时，f(x)x22x为增函数，由于f(x)是奇函数，故f(x)在R上为增函数由f(2a2)f(a)得2a2a，解得2a1.故实数a的取值范围是(2,1)答案C4若a0，则0.5a,5a,5a的大小关系是()A5a5a0.5a B5a0.5a5aC0.5a5a5a D5a5a0.5a解析5aa，由于a0时，函数yxa单调递减，且0.55，所以5a0.5a5a.答案B5设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()解析由A，C，D知，f(0)c0.abc0，ab0，对称轴x0，知A，C错误，D符合要求由B知f(0)c0，ab0，x0，B错误答案D二、填空题6(2022上海中学一检)方程x22ax40的一根大于1，一根小于1，则实数a的取值范围是_解析设f(x)x22ax4，则f(1)0，解得a.答案7(2021南昌检测)已知函数yx24ax在区间1,3上单调递减，则实数a的取值范围是_解析依据题意，得对称轴x2a1，所以a.答案8已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_解析将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点作出函数f(x)的图象，如图，由图象可知，当0k1时，函数f(x)与yk的图象有两个不同的交点，所以所求实数k的取值范围是(0,1)答案(0,1)三、解答题9已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且f(x)2x的解集为x|1x3，方程f(x)6a0有两相等实根，求f(x)的解析式解设f(x)2xa(x1)(x3) (a0)，则f(x)ax24ax3a2x，f(x)6aax2(4a2)x9a，(4a2)236a20，即(5a1)(a1)0，解得a或a1(舍去)因此f(x)的解析式为f(x)x2x.10设函数yx22x，x2，a，求函数的最小值g(a)解函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，而x1不肯定在区间2，a内，应进行争辩当2a1时，函数在2，a上单调递减，则当xa时，ymina22a；当a1时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，ymin1.综上，g(a)力量提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2022江门、佛山模拟)已知幂函数f(x)x，当x1时，恒有f(x)x，则的取值范围是()A(0,1) B(，1) C(0，) D(，0)解析当x1时，恒有f(x)x，即当x1时，函数f(x)x的图象在yx的图象的下方，作出幂函数f(x)x在第一象限的图象，由图象可知1时满足题意，故选B.答案B2设函数f(x)2x24x在区间m，n上的值域是6,2，则mn的取值所组成的集合为()A0,3 B0,4C1,3 D1,4解析由题意得，函数f(x)2x24x图象的对称轴为x1，故当x1时，函数取得最大值2.由于函数的值域是6,2，令2x24x6，可得x1或x3，所以1m1,1n3，所以0mn4.答案B二、填空题3已知函数f(x)，给出下列四个命题：若x1，则f(x)1；若0x1x2，则f(x2)f(x1)x2x1；若0x1x2，则x2f(x1)x1f(x2)；若0x1x2，则f.其中，全部正确命题的序号是_解析对于：y在(0，)上为增函数，当x1时，f(x)f(1)1，正确；对于：取x1，x24，此时f(x1)，f(x2)2，但f(x2)f(x1)x2x1，错误；对于：构造函数g(x)，则g(x)0，所以g(x)在(0，)上为减函数，当x2x10时，有，即x1f(x2)x2f(x1)，错误；对于：画出f(x)在(0，)的图象，可知f，正确答案三、解答题4(2022辽宁五校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请依据图象：(1)写出函数f(x)(xR)的增区间；(2)写出函数f(x)(xR)的解析式；(3)若函数g(x)f(x)2ax2(x1,2)，求函数g(x)的最小值解(1)f(x)在区间(1,0)，(1，)上单调递增(2)设x0，则x0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x，f(x)f(x)(x)22(x)x22x(x0)，f(x)(3)g(x)x22x2ax2，对称轴方程为xa1，当a11，即a0时，g(1)12a为最小值；当1a12，即0a1时，g(a1)a22a1为最小值；当a12，即a1时，g(2)24a为最小值综上，g(x)min同学用书第21页