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第4讲 幂函数与二次函数
[最新考纲]
1．了解幂函数的概念．
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化状况．
3．理解并把握二次函数的定义、图象及性质．
4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简洁问题.
知 识 梳 理
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R，且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
(－∞，0]减，[0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)减，(0，＋∞)减
定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
2.二次函数
(1)二次函数的定义
形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．
(2)二次函数的三种常见解析式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；
③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．
(3)二次函数的图象和性质
函数
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
图象
a>0
a<0
定义域
R
R
值域
y∈
y∈
对称轴
x＝－
顶点
坐标
奇偶性
b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数
递增
区间
递减
区间
最值
当x＝－时，y有最小值ymin＝
当x＝－时，y有最大值ymax＝
辨 析 感 悟
1．对幂函数的生疏
(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．(×)
(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．(×)
(3)幂函数的图象不经过第四象限．(√)
2．对二次函数的理解
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不行能是偶函数．(×)
(5)(教材习题改编)函数f(x)＝x2＋4x＋6，x∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.(×)
(6)(2011·陕西卷改编)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n≤4.(×)
同学用书第19页
[感悟·提升]
三个防范 一是幂函数的图象最多消灭在两个象限内，肯定会经过第一象限，肯定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点肯定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．
二是二次函数的最值肯定要留意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽视了函数的定义域．
三是一元二次方程有实根的充要条件为Δ≥0，但还要留意n∈N*，如(6)．
考点一 幂函数的图象与性质的应用
【例1】 (1)(2022·济南模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则log4f(2)的值为( )．
A. B．－ C．2 D．－2
(2)函数y＝的图象是( )．
解析 (1) 设f(x)＝xα，由图象过点，得α＝＝⇒α＝，log4f(2)＝＝.
(2)明显f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0＜x＜1时，＞x；当x＞1时，＜x，知只有B选项符合．
答案 (1)A (2)B
规律方法 (1)幂函数解析式肯定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必需结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，精确 把握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
【训练1】 比较下列各组数的大小：
⑴，，1；
⑵，，.
解⑴ 把1看作，幂函数y＝在(0，＋∞)上是增函数．∵0＜0.9＜1＜1.1，∴＜＜.
即＜1＜.
⑵由于＝，
＝＝，
＝＝，
幂函数y＝在(0，＋∞)上是增函数，且＜＜1.21.
∴＜＜(－1.1).
考点二 二次函数的图象与性质
【例2】 (2021·浙江七校模拟)
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.
其中正确的是( )．
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
解析 由于图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；
对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；
结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．
答案 B
规律方法 解决二次函数的图象问题有以下两种方法：
(1)排解法，抓住函数的特殊性质或特殊点；
(2)争辩函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．
【训练2】 (2022·广东六校教研协作体联考)已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．
解析 当x0∈[－1,2]时，由f(x)＝x2－2x得f(x0)∈[－1,3]，又对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，∴当x1∈[－1,2]时，g(x1)∈[－1,3]．当a＞0时，解得a≤.综上所述，实数a的取值范围是.
答案
考点三 二次函数的综合运用
【例3】 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
审题路线 f(0)＝1求c→f(x＋1)－f(x)＝2x比较系数求a，b→构造函数g(x)＝f(x)－2x－m→求g(x)min→由g(x)min＞0可求m的范围．
解 (1)由f(0)＝1，得c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，∴∴
因此，f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).
同学用书第20页
规律方法 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，亲密联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
【训练3】 (2022·江西九校联考)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(c＞0且为常数)的导函数的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式(用含c的式子表示)；
(2)令g(x)＝，求y＝g(x)在[1,2]上的最大值．
解 (1)∵f′(x)＝2ax＋b，由图可知，f′(x)＝2x＋1，
∴得
故所求函数的解析式为f(x)＝x2＋x＋c.
(2)g(x)＝＝＝x＋＋1，
则g′(x)＝1－＝＝.
①若＜1，即0＜c＜1时，g′(x)＞0，
∴g(x)在[1,2]上是增函数，故g(x)max＝g(2)＝＋3.
②若1≤ ≤2，即1≤c≤4，当1≤x＜时，g′(x)＜0，当＜x≤2时，g′(x)＞0，
∵g(1)＝c＋2，g(2)＝＋3，
∴当1≤c≤2时，g(1)≤g(2)，g(x)max＝g(2)＝＋3；
当2＜c≤4时，g(1)＞g(2)，g(x)max＝g(1)＝c＋2.
③若＞2，即c＞4时，g′(x)＜0，
∴g(x)在[1,2]上是减函数，故g(x)max＝g(1)＝c＋2.
综上所述，当0＜c≤2时，g(x)max＝＋3；当c＞2时，
g(x)max＝c＋2.
1．对于幂函数的图象的把握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．依据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性打算．
2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类争辩思想．
3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题留意等价转化思想的运用．
答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题
【典例】 (12分)(经典题)求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．
[规范解答] 函数f(x)＝－2＋的图象的对称轴为x＝，应分＜－1，－1≤≤1，＞1，即a＜－2，－2≤a≤2和a＞2三种情形争辩． (2分)
(1)当a＜－2时，由图(1)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝－1－a； (5分)
(2)当－2≤a≤2时，由图(2)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f＝； (8分)
(3)当a＞2时，由图(3)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(1)＝a－1. (11分)
综上可知，f(x)max＝ (12分)
[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类争辩．
(2)部分同学易消灭两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论f(x)max＝
答题模板 第一步：配方，求对称轴．
其次步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类争辩．
第三步：求最值．
第四步：下结论．
【自主体验】
已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．
解 f(x)＝－42－4a，对称轴为x＝，顶点为.
①当≥1，即a≥2时，f(x)在区间[0,1]上递增．
∴ymax＝f(1)＝－4－a2.令－4－a2＝－5，
∴a＝±1＜2(舍去)．
②当0＜＜1，即0＜a＜2时，
ymax＝f＝－4a，令－4a＝－5，∴a＝∈(0,2)．
③当≤0，即a≤0时，f(x)在区间[0,1]上递减，
此时f(x)max＝f(0)＝－4a－a2.
令－4a－a2＝－5，即a2＋4a－5＝0，
∴a＝－5或a＝1(舍去)．综上所述，a＝或a＝－5.
对应同学用书P233
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是( )．
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
解析 设幂函数y＝xα，则2α＝，解得α＝－2，所以y＝x－2，故函数y＝x－2的单调递增区间是(－∞，0)．
答案 C
2．假如函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( )．
A．f(－2)＜f(0)＜f(2) B．f(0)＜f(－2)＜f(2)
C．f(2)＜f(0)＜f(－2) D．f(0)＜f(2)＜f(－2)
解析 函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(－x)．可知函数f(x)图象的对称轴为x＝，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大．
答案 D
3．(2022·北京八十中模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( )．
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析 当x≥0时，f(x)＝x2＋2x为增函数，由于f(x)是奇函数，故f(x)在R上为增函数．由f(2－a2)＞f(a)得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.故实数a的取值范围是(－2,1)．
答案 C
4．若a＜0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是( )．
A．5－a＜5a＜0.5a B．5a＜0.5a＜5－a
C．0.5a＜5－a＜5a D．5a＜5－a＜0.5a
解析 5－a＝a，由于a＜0时，函数y＝xa单调递减，且＜0.5＜5，所以5a＜0.5a＜5－a.
答案 B
5．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )．
解析 由A，C，D知，f(0)＝c＜0.
∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－＞0，
知A，C错误，D符合要求．
由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B错误．
答案 D
二、填空题
6．(2022·上海中学一检)方程x2－2ax＋4＝0的一根大于1，一根小于1，则实数a的取值范围是________．
解析 设f(x)＝x2－2ax＋4，则f(1)＜0，解得a＞.
答案
7．(2021·南昌检测)已知函数y＝－x2＋4ax在区间[1,3]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
解析 依据题意，得对称轴x＝2a≤1，所以a≤.
答案
8．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
解析 将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点．
作出函数f(x)的图象，如图，由图象可知，当0<k<1时，函数f(x)与y＝k的图象有两个不同的交点，所以所求实数k的取值范围是(0,1)．
答案 (0,1)
三、解答题
9．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且f(x)＞－2x的解集为{x|1＜x＜3}，方程f(x)＋6a＝0有两相等实根，求f(x)的解析式．
解 设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3) (a＜0)，
则f(x)＝ax2－4ax＋3a－2x，
f(x)＋6a＝ax2－(4a＋2)x＋9a，
Δ＝[－(4a＋2)]2－36a2＝0，即(5a＋1)(a－1)＝0，
解得a＝－或a＝1(舍去)．
因此f(x)的解析式为f(x)＝－x2－x－.
10．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．
解 ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，而x＝1不肯定在区间[－2，a]内，应进行争辩．
当－2<a<1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，ymin＝a2－2a；
当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.
综上，g(a)＝
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2022·江门、佛山模拟)已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则α的取值范围是( )．
A．(0,1) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D．(－∞，0)
解析 当x＞1时，恒有f(x)＜x，即当x＞1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象，由图象可知α＜1时满足题意，故选B.
答案 B
2．设函数f(x)＝－2x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6,2]，则m＋n的取值所组成的集合为( )．
A．[0,3] B．[0,4]
C．[－1,3] D．[1,4]
解析 由题意得，函数f(x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为x＝1，故当x＝1时，函数取得最大值2.
由于函数的值域是[－6,2]，
令－2x2＋4x＝－6，可得x＝－1或x＝3，
所以－1≤m≤1,1≤n≤3，
所以0≤m＋n≤4.
答案 B
二、填空题
3．已知函数f(x)＝，给出下列四个命题：
①若x＞1，则f(x)＞1；
②若0＜x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＞x2－x1；
③若0＜x1＜x2，则x2f(x1)＜x1f(x2)；
④若0＜x1＜x2，则＜f.
其中，全部正确命题的序号是________．
解析 对于①：∵y＝在(0，＋∞)上为增函数，
∴当x＞1时，f(x)＞f(1)＝1，①正确；对于②：取x1＝，x2＝4，此时f(x1)＝，f(x2)＝2，但f(x2)－f(x1)＜x2－x1，②错误；对于③：构造函数g(x)＝＝，则g′(x)＝＝－＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上为减函数，当x2＞x1＞0时，有＜，即x1f(x2)＜x2f(x1)，③错误；对于④：画出f(x)＝在(0，＋∞)的图象，可知＜f，④正确．
答案 ①④
三、解答题
4．(2022·辽宁五校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请依据图象：
(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间；
(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；
(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1,2])，求函数g(x)的最小值．
解 (1)f(x)在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．
(2)设x＞0，则－x＜0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，
∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x＞0)，
∴f(x)＝
(3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，对称轴方程为x＝a＋1，
当a＋1≤1，即a≤0时，g(1)＝1－2a为最小值；
当1＜a＋1≤2，即0＜a≤1时，g(a＋1)＝－a2－2a＋1为最小值；当a＋1＞2，即a＞1时，
g(2)＝2－4a为最小值．
综上，g(x)min＝
同学用书第21页
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