2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第3篇-第3讲-三角函数的图象与性质.docx

第3讲三角函数的图象与性质最新考纲1能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性2借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2，正切函数在上的性质.知 识 梳 理正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ).函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴xkxk无辨 析 感 悟1周期性的推断(1)(教材习题改编)由sin(30120)sin 30知，120是正弦函数ysin x(xR)的一个周期 ()(2)函数ytan的最小正周期为. ()2推断奇偶性与对称性(3)函数ysin是奇函数 ()(4)函数ysin x的对称轴方程为x2k(kZ)()3求三角函数的单调区间(5)函数f(x)sin(2x)与f(x)sin 2x的单调增区间都是(kZ)()(6)函数ytan x在整个定义域上是增函数()4求三角函数的最值(7)存在xR，使得2sin x3. ()(8)(教材习题改编)函数f(x)sin在区间上的最小值为. ()感悟提升1一点提示求函数yAsin(x)的单调区间时，应留意的符号，只有当0时，才能把x看作一个整体，代入ysin t的相应单调区间求解2三个防范一是函数ysin x与ycos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于y轴的直线，如ycos x的对称轴为xk，而不是x2k(kZ)二是对于ytan x不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间(kZ)内为增函数，如(6)三是函数ysin x与ycos x的最大值为1，最小值为1，不存在一个值使sin x，如(7).同学用书第54页考点一三角函数的定义域、值域问题【例1】 (1)函数y的定义域为_(2)当x时，函数y3sin x2cos2x的最小值是_，最大值是_解析(1)法一要使函数有意义，必需使sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象，如图所示在0,2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)定义域为.法三sin xcos xsin0，将x视为一个整体，由正弦函数ysin x的图象和性质可知2kx2k，kZ，解得2kx2k，kZ.所以定义域为.(2)y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)2sin2 xsin x1，令sin xt，y2t2t122，t，ymin，ymax2.答案(1)(2)2规律方法 (1)求三角函数定义域实际上是构造简洁的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)三角函数值域的不同求法利用sin x和cos x的值域直接求把形如yasin xbcos x的三角函数化为yAsin(x)的形式求值域利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域【训练1】 (2022广州模拟)已知函数f(x)，求f(x)的定义域和值域解由cos 2x0得2xk，kZ，解得x，kZ，所以f(x)的定义域为.f(x)3cos2x1.所以f(x)的值域为.考点二三角函数的奇偶性、周期性和对称性【例2】 (1)已知函数f(x)sin(xR)，下面结论错误的是()A函数f(x)的最小正周期为B函数f(x)是偶函数C函数f(x)的图象关于直线x对称D函数f(x)在区间上是增函数(2)假如函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为()A. B. C. D.解析(1)f(x)sincos 2x，故其最小正周期为，A正确；易知函数f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)cos 2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x对称，C错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在上是增函数，D正确，故选C.(2)由题意得3cos3cos3cos0，k，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值为.答案(1)C(2)A规律方法 (1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为yAsin(x)或yAcos( x)的形式，则最小正周期为T；奇偶性的推断关键是解析式是否为yAsin x或yAcos xb的形式(2)求f(x)Asin(x)(0)的对称轴，只需令xk(kZ)，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk(kZ)即可【训练2】 (1)函数y2cos21是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数(2)函数y2sin(3x)的一条对称轴为x，则_.解析(1)y2cos21cossin 2x为奇函数，T.(2)由ysin x的对称轴为xk(kZ)，所以3k(kZ)，得k(kZ)，又|，k0，故.答案(1)A(2)考点三三角函数的单调性【例3】 (2022临沂月考)设函数f(x)sin(2x)(0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)求函数yf(x)的单调区间审题路线令(2)k，kZ解得？又0得出值把f(x)sin(2x)，化为f(x)sin(2x)令g(x)sin(2x)求出g(x)的单调区间利用f(x)与g(x)的关系求f(x)的单调区间解(1)令(2)k，kZ，k，kZ，又0，.(2)由(1)得f(x)sinsin，令g(x)sin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，即g(x)的单调增区间为，kZ；由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，即g(x)的单调减区间为(kZ)，故f(x)的单调增区间为(kZ)；单调减区间为(kZ).同学用书第55页规律方法 求较为简单的三角函数的单调区间时，首先化简成yAsin(x)形式，再求yAsin(x)的单调区间，只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间内即可，留意要先把化为正数【训练3】 (2021安徽卷)已知函数f(x)4cos xsin(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)争辩f(x)在区间0，上的单调性解(1)f(x)4cos xsin(x)2sin xcos x2cos2x(sin 2xcos 2x)2sin(2x).由于f(x)的最小正周期为，且0，从而有，故1.(2)由(1)知，f(x)2sin(2x).若0x，则2x.当2x，即0x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减 1求三角函数的定义域应留意利用三角函数线或者三角函数图象2推断函数奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，留意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，一偶则偶，同奇则奇3三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解对复合函数单调区间的确定，应明确是对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减4求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很简洁消灭错误一般地，经过恒等变形成“yAsin(x)，yAcos(x)，yAtan(x)”的形式，再利用周期公式即可答题模板5三角函数的最值(或值域)问题【典例】 (12分)(2021陕西卷)已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xR，设函数f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值规范解答f(x)(sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2x(2分)sin 2xcos 2xsin.(4分)(1)f(x)的最小正周期为T，即函数f(x)的最小正周期为.(6分)(2)0x，2x.(8分)由正弦函数的性质，得当2x，即x时，f(x)取得最大值1.当2x，即x0时，f(0)，当2x，即x时，f，f(x)的最小值为.(11分)因此，f(x)在上最大值是1，最小值是.(12分)反思感悟 求解三角函数的最值(或值域)时肯定要留意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚如本例中有同学直接把x0和x代入求得最值，这明显是错误的答题模板求函数f(x)Asin(x)在区间a，b上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如yAsin(x)k的形式或yAcos(x)k的形式其次步：由x的取值范围确定x的取值范围，再确定sin(x)(或cos(x)的取值范围第三步：求出所求函数的值域(或最值)【自主体验】已知函数f(x)cos2sinsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴；(2)求函数f(x)在区间上的值域解(1)f(x)cos2sinsincos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.最小正周期T，由2xk(kZ)，得x(kZ)函数图象的对称轴为x(kZ)(2)x，2x，sin1.即函数f(x)在区间上的值域为.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2021青岛质检)下列函数中周期为且为偶函数的是() Aysin BycosCysin Dycos解析ysincos 2x为偶函数，且周期是.答案A2(2022南昌联考)已知函数f(x)sin 1(0)的最小正周期为，则f(x)的图象的一条对称轴方程是()Ax Bx Cx Dx解析依题意得，|3，又0，因此3，所以3xk，解得x，当k0时，x.因此函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x.答案A3(2022广州测试)若函数ycos(N*)的一个对称中心是，则的最小值为()A1 B2 C4 D8解析依题意得cos0，(1)k，6k2(其中kZ)；又是正整数，因此的最小值是2.答案B4(2022济南调研)已知f(x)sin2 xsin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为()A，0， B2， C， D2，解析由f(x)sin2xsin xcos xsin 2xsin.T.又2k2x2k，kxk(kZ)为函数的单调递增区间故选C.答案C5(2022三明模拟)已知函数f(x)2sin(x)对任意x都有ff，则f等于()A2或0 B2或2 C0 D2或0解析由ff知，函数图象关于x对称，f是函数f(x)的最大值或最小值答案B二、填空题6函数ylg(sin x)的定义域为_解析要使函数有意义必需有即解得2kx2k(kZ)，函数的定义域为.答案(kZ)7函数y(0x)的最小值为_解析令sin xt(0,1，则函数y1，t(0,1又y1在t(0,1上是减函数，所以当t1时，y取得最小值2.答案28已知函数f(x)3sin(x)(0)和g(x)3cos(2x)的图象的对称中心完全相同，若x，则f(x)的取值范围是_解析由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故2，所以f(x)3sin，那么当 x时，2x， 所以sin(2x)1，故f(x).答案三、解答题9(2021潮州二模)已知函数f(x)(sin2 xcos2x)2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设x，求f(x)的单调递增区间解(1)f(x)(cos2xsin2 x)2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin，f(x)的最小正周期为.(2)x，2x，当ysin单调递减时，f(x)单调递增2x，即x.故f(x)的单调递增区间为.10(1)求函数y2sin 的值域；(2)求函数ysin xcos xsin xcos x的值域解(1)x，02x，0sin1，y2sin的值域为(0,2(2)ysin xcos xsin xcos xsinsin2sin21，所以当sin1时，y取最大值1.当sin时，y取最小值1，该函数的值域为.力量提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2021安徽师大附中模拟)设0，m0，若函数f(x)msin cos在区间上单调递增，则的取值范围是()A. B. C. D1，)解析f(x)msin cos msin x，若函数在区间上单调递增，则，即.答案B2已知函数f(x)2sin x(0)在区间上的最小值是2，则的最小值等于()A. B. C2 D3解析f(x)2sin x(0)的最小值是2，此时x2k，kZ，x，kZ，0，kZ，6k且k0，kZ，min.答案B二、填空题3已知定义在R上的函数f(x)满足：当sin xcos x时，f(x)cos x，当sin xcos x时，f(x)sin x.给出以下结论：f(x)是周期函数；f(x)的最小值为1；当且仅当x2k(kZ)时，f(x)取得最小值；当且仅当2kx(2k1)(kZ)时，f(x)0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2.其中正确的结论序号是_解析易知函数f(x)是周期为2的周期函数函数f(x)在一个周期内的图象如图所示由图象可得，f(x)的最小值为，当且仅当x2k(kZ)时，f(x)取得最小值；当且仅当2kx(2k1)(kZ)时，f(x)0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2.所以正确的结论的序号是.答案三、解答题4(2021荆门调研)已知函数f(x)ab.(1)若a1，求函数f(x)的单调增区间；(2)若x0，时，函数f(x)的值域是5,8，求a，b的值解f(x)a(1cos xsin x)basinab.(1)当a1时，f(x)sinb1，由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，f(x)的单调增区间为(kZ)(2)0x，x，sin1，依题意知a0.()当a0时，a33，b5.()当a0时，a33，b8.综上所述，a33，b5或a33，b8.同学用书第56页