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第3讲 三角函数的图象与性质
[最新考纲]
1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质.
知 识 梳 理
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
(下表中k∈Z).
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ
无
辨 析 感 悟
1．周期性的推断
(1)(教材习题改编)由sin(30°＋120°)＝sin 30°知，120°是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期． (×)
(2)函数y＝tan的最小正周期为. (√)
2．推断奇偶性与对称性
(3)函数y＝sin是奇函数． (×)
(4)函数y＝sin x的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(×)
3．求三角函数的单调区间
(5)函数f(x)＝sin(－2x)与f(x)＝sin 2x的单调增区间都是(k∈Z)． (×)
(6)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数． (×)
4．求三角函数的最值
(7)存在x∈R，使得2sin x＝3. (×)
(8)(教材习题改编)函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－. (√)
[感悟·提升]
1．一点提示 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应留意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解．
2．三个防范 一是函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于y轴的直线，如y＝cos x的对称轴为x＝kπ，而不是x＝2kπ(k∈Z)．
二是对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间(k∈Z)内为增函数，如(6)．
三是函数y＝sin x与y＝cos x的最大值为1，最小值为－1，不存在一个值使sin x＝，如(7).
同学用书第54页
考点一 三角函数的定义域、值域问题
【例1】 (1)函数y＝的定义域为________．
(2)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________．
解析 (1)法一 要使函数有意义，必需使sin x－cos x≥0.利用图象，
在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为
.
法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为
.
法三 sin x－cos x＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ，k∈Z，
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
所以定义域为.
(2)y＝3－sin x－2cos2x
＝3－sin x－2(1－sin2x)＝2sin2 x－sin x＋1，
令sin x＝t∈，
∴y＝2t2－t＋1＝22＋，t∈，
∴ymin＝，ymax＝2.
答案 (1) (2) 2
规律方法 (1)求三角函数定义域实际上是构造简洁的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x和cos x的值域直接求．
②把形如y＝asin x＋bcos x的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
【训练1】 (2022·广州模拟)已知函数f(x)＝，求f(x)的定义域和值域．
解 由cos 2x≠0得2x≠kπ＋，k∈Z，
解得x≠＋，k∈Z，
所以f(x)的定义域为.
f(x)＝＝
＝＝3cos2x－1.
所以f(x)的值域为.
考点二 三角函数的奇偶性、周期性和对称性
【例2】 (1)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是 ( )．
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)是偶函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)在区间上是增函数
(2)假如函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为 ( )．
A. B. C. D.
解析 (1)f(x)＝sin＝－cos 2x，故其最小正周期为π，A正确；易知函数f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)＝－cos 2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，C错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在上是增函数，D正确，故选C.
(2)由题意得3cos＝3cos
＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，
得|φ|的最小值为.
答案 (1)C (2)A
规律方法 (1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ω x＋φ)的形式，则最小正周期为T＝；奇偶性的推断关键是解析式是否为y＝Asin ωx或y＝Acos ωx＋b的形式．
(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．
【训练2】 (1)函数y＝2cos2－1是 ( )．
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
(2)函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________.
解析 (1)y＝2cos2－1＝cos＝sin 2x为奇函数，T＝＝π.
(2)由y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，
所以3×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
得φ＝kπ＋(k∈Z)，
又|φ|＜，∴k＝0，故φ＝.
答案 (1)A (2)
考点三 三角函数的单调性
【例3】 (2022·临沂月考)设函数f(x)＝sin(－2x＋φ)(0＜φ＜π)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调区间．
审题路线 令(－2)×＋φ＝＋kπ，k∈Z⇒解得φ＝？又0＜φ＜π⇒得出φ值⇒把f(x)＝sin(－2x＋φ)，化为f(x)＝－sin(2x－φ)⇒令g(x)＝sin(2x－φ)⇒求出g(x)的单调区间⇒利用f(x)与g(x)的关系求f(x)的单调区间．
解 (1)令(－2)×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又0＜φ＜π，∴φ＝.
(2)由(1)得f(x)＝sin＝－sin，
令g(x)＝sin，
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即g(x)的单调增区间为，k∈Z；
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即g(x)的单调减区间为(k∈Z)，
故f(x)的单调增区间为(k∈Z)；
单调减区间为(k∈Z).
同学用书第55页
规律方法 求较为简单的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，留意要先把ω化为正数．
【训练3】 (2021·安徽卷)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)争辩f(x)在区间[0，]上的单调性．
解 (1)f(x)＝4cos ωx·sin(ωx＋)＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin(2ωx＋)＋.
由于f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，
从而有＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋)＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减．
1．求三角函数的定义域应留意利用三角函数线或者三角函数图象．
2．推断函数奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，留意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，一偶则偶，同奇则奇．
3．三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．对复合函数单调区间的确定，应明确是对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减．
4．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很简洁消灭错误．一般地，经过恒等变形成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
答题模板5——三角函数的最值(或值域)问题
【典例】 (12分)(2021·陕西卷)已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
[规范解答] f(x)＝·(sin x，cos 2x)
＝cos xsin x－cos 2x (2分)
＝sin 2x－cos 2x
＝sin. (4分)
(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，
即函数f(x)的最小正周期为π. (6分)
(2)∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤. (8分)
由正弦函数的性质，得
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.
当2x－＝－，
即x＝0时，f(0)＝－，
当2x－＝，即x＝时，f＝，
∴f(x)的最小值为－. (11分)
因此，f(x)在上最大值是1，最小值是－. (12分)
[反思感悟] 求解三角函数的最值(或值域)时肯定要留意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚．如本例中有同学直接把x＝0和x＝代入求得最值，这明显是错误的．
答题模板 求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式．
其次步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的取值范围．
第三步：求出所求函数的值域(或最值)．
【自主体验】
已知函数f(x)＝cos＋2sinsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴；
(2)求函数f(x)在区间上的值域．
解 (1)f(x)＝cos＋2sinsin
＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x)
＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x
＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin.
∴最小正周期T＝＝π，
由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．
∴函数图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．
(2)∵x∈，∴2x－∈，
∴－≤sin≤1.
即函数f(x)在区间上的值域为.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2021·青岛质检)下列函数中周期为π且为偶函数的是( )．
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析 y＝sin＝－cos 2x为偶函数，且周期是π.
答案 A
2．(2022·南昌联考)已知函数f(x)＝sin －1(ω＞0)的最小正周期为，则f(x)的图象的一条对称轴方程是( )．
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
解析 依题意得，＝，|ω|＝3，又ω＞0，因此ω＝3，所以3x＋＝kπ＋，解得x＝＋，当k＝0时，x＝.
因此函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x＝.
答案 A
3．(2022·广州测试)若函数y＝cos(ω∈N*)的一个对称中心是，则ω的最小值为( )．
A．1 B．2 C．4 D．8
解析 依题意得cos＝0，(ω＋1)＝kπ＋，ω＝6k＋2(其中k∈Z)；又ω是正整数，因此ω的最小值是2.
答案 B
4．(2022·济南调研)已知f(x)＝sin2 x＋sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为( )．
A．π，[0，π] B．2π， C．π， D．2π，
解析 由f(x)＝sin2x＋sin xcos x
＝＋sin 2x
＝＋＝＋sin.
∴T＝＝π.又∵2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)为函数的单调递增区间．故选C.
答案 C
5．(2022·三明模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f等于( )．
A．2或0 B．－2或2 C．0 D．－2或0
解析 由f＝f知，函数图象关于x＝对称，f是函数f(x)的最大值或最小值．
答案 B
二、填空题
6．函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________．
解析 要使函数有意义必需有
即解得
∴2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)，
∴函数的定义域为.
答案 (k∈Z)
7．函数y＝(0＜x＜π)的最小值为________．
解析 令sin x＝t∈(0,1]，则函数y＝1＋，t∈(0,1]．又y＝1＋在t∈(0,1]上是减函数，所以当t＝1时，y取得最小值2.
答案 2
8．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是______．
解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin，那么当 x∈时，
－≤2x－≤， 所以－≤sin(2x－)≤1，故f(x)∈.
答案
三、解答题
9．(2021·潮州二模)已知函数f(x)＝(sin2 x－cos2x)－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设x∈，求f(x)的单调递增区间．
解 (1)∵f(x)＝－(cos2x－sin2 x)－2sin xcos x
＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin，
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵x∈，∴－≤2x＋≤π，
当y＝sin单调递减时，f(x)单调递增．
∴≤2x＋≤π，即≤x≤.
故f(x)的单调递增区间为.
10．(1)求函数y＝2sin 的值域；
(2)求函数y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域．
解 (1)∵－＜x＜，∴0＜2x＋＜，
∴0＜sin≤1，
∴y＝2sin的值域为(0,2]．
(2)y＝sin xcos x＋sin x＋cos x
＝＋sin
＝sin2＋sin－
＝2－1，所以当sin＝1时，
y取最大值1＋－＝＋.
当sin＝－时，y取最小值－1，
∴该函数的值域为.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2021·安徽师大附中模拟)设ω＞0，m＞0，若函数f(x)＝msin cos在区间上单调递增，则ω的取值范围是( )．
A. B. C. D．[1，＋∞)
解析 f(x)＝msin cos ＝msin ωx，若函数在区间上单调递增，则＝≥＋＝，即ω∈.
答案 B
2．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )．
A. B. C．2 D．3
解析 ∵f(x)＝2sin ωx(ω＞0)的最小值是－2，此时ωx＝2kπ－，k∈Z，∴x＝－，k∈Z，∴－≤－≤0，k∈Z，∴ω≥－6k＋且k≤0，k∈Z，∴ωmin＝.
答案 B
二、填空题
3．已知定义在R上的函数f(x)满足：当sin x≤cos x时，f(x)＝cos x，当sin x＞cos x时，f(x)＝sin x.
给出以下结论：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的最小值为－1；
③当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值；
④当且仅当2kπ－＜x＜(2k＋1)π(k∈Z)时，f(x)＞0；
⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.
其中正确的结论序号是________．
解析 易知函数f(x)是周期为2π的周期函数．
函数f(x)在一个周期内的图象如图所示．
由图象可得，f(x)的最小值为－，当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最小值；当且仅当2kπ－＜x＜(2k＋1)π(k∈Z)时，f(x)＞0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所
以正确的结论的序号是①④⑤.
答案 ①④⑤
三、解答题
4．(2021·荆门调研)已知函数f(x)＝a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．
解 f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b
＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤π，
∴≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.
(ⅰ)当a＞0时，
∴a＝3－3，b＝5.
(ⅱ)当a＜0时，
∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.
同学用书第56页
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