资源描述
第6讲 对数与对数函数
[最新考纲]
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；
2．理解对数函数的概念及其单调性，把握对数函数的图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象；
3．体会对数函数是一类重要的函数模型；
4．了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
知 识 梳 理
1．对数的概念
假如ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1)
①＝N；②logaaN＝N；③logbN＝；④＝
logab；⑤logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
(2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0)
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④loga＝logaM.
3．对数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＜0
(5)当x＞1时，y＜0
当0＜x＜1时，y＞0
(6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函数
辨 析 感 悟
1．对数运算的辨析
(1)(2021·浙江卷改编)已知x，y为正实数，①2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y，②2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y，③2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y，④2lg(xy)＝2lg x·2lg y，以上四个式子错误的是①②③.(√)
(2)(2021·中山调研改编)若log4[log3(log2x)]＝0，则＝.(√)
2．对数函数的理解
(3)(2021·吉林调研改编)函数y＝log3(2x－4)的定义域为(2，＋∞)．(√)
(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．(√)
(5)(2022·长沙模拟改编)函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝2.(×)
(6)log2x2＝2log2x.(×)
[感悟·提升]
三个防范 一是在运算性质中，要特殊留意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1；
二是对公式要熟记，防止混用；
三是对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0＜a＜1和a＞1分类争辩，否则易出错.
同学用书第25页
考点一 对数的运算
例1 (1)的值是________．
(2)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝x；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)．则f(2＋log23)＝( )．
A. B. C. D.
(1)解析 原式
＝
＝
＝
＝＝＝＝1.
答案 (1)1 (2)A
规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要留意化同底或指数与对数互化．
(2)娴熟地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．
训练1 (1)已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.
(2)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2＝________.
解析 (1)am＝2，an＝3，
∴a2m＋n＝2·an＝22×3＝12.
(2)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52
＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
答案 (1)12 (2)2
考点二 对数函数的图象及其应用
例2 (2022·新课标全国卷)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是( )．
A. B. C．(1，) D．(，2)
审题路线 在同一坐标系下作出两个函数y＝4x与y＝logax的图象⇒画函数y＝logax的图象可考虑两种状况：a＞1和0＜a＜1⇒观看图象，当a＞1时不符合题意舍去，所以只画出0＜a＜1的情形⇒观看图象的交点满足条件：loga ＞2即可．
解析 由题意得，当0＜a＜1时，要使得4x＜logax，即当0＜x≤时，函数y＝4x的图象
在函数y＝logax图象的下方．
又当x＝时，＝2，即函数y＝4x的图象过点，把点代入函数y＝logax，
得a＝，若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需＜a＜1(如图所示)．
当a＞1时，不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是.
答案 B
规律方法 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
训练2 (2022·石家庄二模)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( )．
A．x1x2＜0 B．x1x2＝1
C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
解析 构造函数y＝10x与y＝|lg(－x)|，并作出它们的图象，如图所示．
答案 D
考点三 对数函数的性质及其应用
例3 (1)(2021·新课标全国Ⅱ卷)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．
A．c＞b＞a B．b＞c＞a
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
(2)设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是( )．
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
解析 (1)a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a＞b＞c.
(2)由题意可得
或解得a＞1或－1＜a＜0.
答案 (1)D (2)C
规律方法 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，肯定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必需为正的限制条件．
【训练3】 (1)(2022·郑州模拟)若x∈(，1)，a＝ln x，b＝ln x，c ＝eln x，则a，b，c的大小关系为( )．
A．c＞b＞a B．b＞c＞a
C．a＞b＞c D．b＞a＞c
(2)函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是
( )．
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C. D．(3，＋∞)
解析 (1)依题意得a＝ln x∈(－1,0)，b＝ln x∈(1,2)，c＝x∈(e－1,1)，因此b＞c＞a.
(2)由于a＞0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，
∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，因此a＞1，又u＝ax－3在[1,3]上恒为正，∴a－3＞0，即a＞3.
答案 (1)B (2)D
(1)争辩对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特殊地，要留意底数a＞1和0＜a＜1的两种不同状况．有些简单的问题，借助于函数图象来解决，就变得简洁了，这是数形结合思想的重要体现．
(2)利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后依据单调性来解决．
同学用书第26页
教你审题2——巧用对数函数图象解题
[审题] 一审条件❶：转化函数y＝|log2x|为y＝
得到图象，如图．
二审条件❷：见上图．
三审条件❸：转化为a是A，C两点横坐标之差的确定值，b是B，D两点横坐标之差的确定值．A，B的横坐标即是方程|log2x|＝m的解，C，D的横坐标即是方程|log2x|＝的解，求出A，B，C，D点的横坐标．
四审问题❹：把转化为关于m的函数，利用导数或不等式求解即可．
解析 数形结合可知A，C点的横坐标在区间(0,1)上，B，D点的横坐标在区间(1，＋∞)上，而且xC－xA与xB－xD同号，所以＝＝.依据已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以xA＝2－m.同理可得xC＝，xB＝2m，xD＝，所以＝＝ .只要求出＋m的最小值即可．
法一 构造函数g(m)＝＋m，则g′(m)＝－＋1＝，由于m＞0，明显可得g(m)在(0，＋∞)上有唯一的微小值点，也是最小值点m＝，故g(m)min＝g＝，即的最小值为＝8.
法二 ＋m＝＋m＝＋m＋－≥4－＝，当且仅当＝m＋，即m＝时等号成立，故的最小值为＝8.
答案 B
[反思感悟] (1)利用对数函数的图象争辩与对数有关的图象问题时要留意对称变换的应用；
(2)本题是以函数图象为载体，AC和BD在x轴上的投影长度用坐标表示是解决问题的切入点，再转化为求函数的最值问题，难度稍大．
【自主体验】
已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．
解析 分别作出三个函数的图象，如图所示：
由图可知，x2＜x3＜x1.
答案 x2＜x3＜x1
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．假如x＜y＜0，那么 ( )．
A．y＜x＜1 B．x＜y＜1
C．1＜x＜y D．1＜y＜x
解析 ∵x＜y＜log1，又y＝x是(0，＋∞)上的减函数，∴x＞y＞1.
答案 D
2．(2022·深圳调研)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝log3(1
＋x)，则f(－2)＝ ( )．
A．－1 B．－3
C．1 D．3
解析 f(－2)＝－f(2)＝－log33＝－1.
答案 A
3．(2021·宣城二模)若a＝，b＝ln 2×ln 3，c＝，则a，b，c的大小关
系是 ( )．
A．a＞b＞c B．c＞a＞b
C．c＞b＞a D．b＞a＞c
解析 ∵ln 6＞ln π＞1，∴a＞c，排解B，C；b＝ln 2·ln 3＜2＝＝a，排解D.
答案 A
4．若函数g(x)＝log3(ax2＋2x－1)有最大值1，则实数a的值等于 ( )．
A. B.
C．－ D．4
解析 令h(x)＝ax2＋2x－1，由于函数g(x)＝log3h(x)是递增函数，所以要使函数g(x)＝log3(ax2＋2x－1)有最大值1，应使h(x)＝ax2＋2x－1有最大值3，因此有解得a＝－，此即为实数a的值．
答案 C
5．已知f(x)＝loga[(3－a)x－a]是其定义域上的增函数，那么a的取值范围是
( )．
A．(0,1) B．(1,3)
C．(0,1)∪(1,3) D．(3，＋∞)
解析 记u＝(3－a)x－a，
当1＜a＜3时，y＝logau在(0，＋∞)上为增函数，
u＝(3－a)x－a在其定义域内为增函数，
∴此时f(x)在其定义域内为增函数，符合要求．
当a＞3时，y＝logau在其定义域内为增函数，
而u＝(3－a)x－a在其定义域内为减函数，
∴此时f(x)在其定义域内为减函数，不符合要求．
当0＜a＜1时，同理可知f(x)在其定义域内是减函数，不符合题目要求．故选B.
答案 B
二、填空题
6．函数y＝ (3x－a)的定义域是，则a＝______.
解析 要使函数有意义，则3x－a＞0，即x＞，
∴＝，∴a＝2.
答案 2
7．已知f(x)＝且f(2)＝1，则f(1)＝________.
解析 ∵f(2)＝loga(22－1)＝loga3＝1，
∴a＝3，∴f(1)＝2×32＝18.
答案 18
8．(2022·深圳中学模拟)定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)＜－1的解集是________．
解析 当x∈(－∞，0)时，则－x∈(0，＋∞)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)
∴f(x)＝
由f(x)＜－1，得或或
解得0＜x＜或x＜－2.
答案
三、解答题
9．已知f(x)＝log4(4x－1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)争辩f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域．
解 (1)由4x－1＞0解得x＞0，
因此 f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设0＜x1＜x2，则0＜4x1－1＜4x2－1，
因此log4(4x1－1)＜log4(4x2－1)，即f(x1)＜f(x2)，f(x)在(0，＋∞)上递增．
(3)f(x)在区间上递增，又f＝0，f(2)＝log415，
因此f(x)在上的值域为[0，log415]．
10．已知函数f(x)＝log(a为常数)．
(1)若常数a<2且a≠0，求f(x)的定义域；
(2)若f(x)在区间(2,4)上是减函数，求a的取值范围．
解 (1)由题意知>0，当0<a<2时，
解得x<1或x>；当a<0时，解得<x<1.
故当0<a<2时，f(x)的定义域为；
当a<0时，f(x)的定义域为.
(2)令u＝，由于f(x)＝u为减函数，故要使f(x)在(2,4)上是减函数，只需u(x)＝＝a＋在(2,4)上单调递增且为正．
故由
得1≤a<2.故a∈[1,2)．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2022·河南洛阳二模)假如一个点是一个指数函数和一个对数函数的图象的交
点，那么称这个点为“好点”．下列四个点P1(1,1)，P2(1,2)，P3，P4(2,2)中，“好点”的个数为 ( )．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 设指数函数和对数函数分别为y＝ax(a＞0，a≠1)，y＝logbx(b＞0，b≠1)．若为“好点”，
则P1(1,1)在y＝ax的图象上，
得a＝1与a＞0，且a≠1冲突；
P2(1,2)明显不在y＝logbx的图象上；P3在y＝ax，y＝logbx的图象上时，a＝，b＝；
易得P4(2,2)也为“好点”．
答案 B
2．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)时，
f(x)＝2x＋，则f(log220)＝ ( )．
A．1 B.
C．－1 D．－
解析 由f(x－2)＝f(x＋2)，得f(x)＝f(x＋4)，由于4＜log220＜5，所以f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝－f(log2)＝－(＋)＝－1.
答案 C
二、填空题
3．假如函数y＝f(x)图象上任意一点的坐标(x，y)都满足方程lg(x＋y)＝lg x＋lg y，
那么y＝f(x)在[2,4]上的最小值是________．
解析 由lg(x＋y)＝lg x＋lg y，得由x＋y＝xy得y＝f(x)＝＝＝1＋(x≠1)．则函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以y＝f(x)在[2,4]上的最小值是f(4)＝1＋＝.
答案
三、解答题
4．已知函数f(x)＝－x＋log2.
(1)求f＋f的值；
(2)当x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由f(x)＋f(－x)＝log2＋log2
＝log21＝0.
∴f＋f＝0.
(2)f(x)的定义域为(－1,1)，
∵f(x)＝－x＋log2(－1＋)，
当x1<x2且x1，x2∈(－1,1)时，f(x)为减函数，
∴当a∈(0,1)，x∈(－a，a]时f(x)单调递减，
∴当x＝a时，f(x)min＝－a＋log2.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
