1、第6讲对数与对数函数最新考纲1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2理解对数函数的概念及其单调性，把握对数函数的图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象；3体会对数函数是一类重要的函数模型；4了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数.知 识 梳 理1对数的概念假如axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的性质几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b1)N；logaaNN；
2、logbN；logab；logab，推广logablogbclogcdlogad.(2)对数的运算法则(a0，且a1，M0，N0)loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logalogaM.3对数函数的图象与性质a10a1图象性质(1)定义域：(0，)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x1时，y0(4)当x1时，y0当0x1时，y0(5)当x1时，y0当0x1时，y0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数辨 析 感 悟1对数运算的辨析(1)(2021浙江卷改编)已知x，y为正实数，2lg xlg y2lg x2lg
3、 y，2lg(xy)2lg x2lg y，2lg xlg y2lg x2lg y，2lg(xy)2lg x2lg y，以上四个式子错误的是.()(2)(2021中山调研改编)若log4log3(log2x)0，则.()2对数函数的理解(3)(2021吉林调研改编)函数ylog3(2x4)的定义域为(2，)()(4)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限()(5)(2022长沙模拟改编)函数ylogax(a0，且a1)在2,4上的最大值与最小值的差是1，则a2.()(6)log2x22log2x.()感悟提升三个防范一是在运算性质中，
4、要特殊留意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1；二是对公式要熟记，防止混用；三是对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0a1和a1分类争辩，否则易出错.同学用书第25页考点一对数的运算例1 (1)的值是_(2)已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)x；当x4时，f(x)f(x1)则f(2log23)()A. B. C. D.(1)解析原式1.答案(1)1(2)A规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要留意化同底或指数与对数互化(2)娴熟地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等
5、变形是对数计算、化简、证明常用的技巧训练1 (1)已知loga2m，loga3n，则a2mn_.(2)lg 25lg 2lg 50(lg 2)2_.解析(1)am2，an3，a2mn2an22312.(2)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.答案(1)12(2)2考点二对数函数的图象及其应用例2 (2022新课标全国卷)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A. B. C(1，)D(，2)审题路线在同一坐标系下作出两个函数y4x与ylogax的图象画函数ylogax的图象可考虑两种
6、状况：a1和0a1观看图象，当a1时不符合题意舍去，所以只画出0a1的情形观看图象的交点满足条件：loga 2即可解析由题意得，当0a1时，要使得4xlogax，即当0x时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方又当x时，2，即函数y4x的图象过点，把点代入函数ylogax，得a，若函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方，则需a1(如图所示)当a1时，不符合题意，舍去所以实数a的取值范围是.答案B规律方法 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解训练2 (2022石家庄二模)设方程10x|lg(x)|的两个根分别为x1，x2，则()Ax1x20Bx1
7、x21Cx1x21D0x1x21解析构造函数y10x与y|lg(x)|，并作出它们的图象，如图所示答案D考点三对数函数的性质及其应用例3 (1)(2021新课标全国卷)设alog36，blog510，clog714，则()AcbaBbcaCacbDabc(2)设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)解析(1)alog361log32，blog5101log52，clog7141log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数ylog3x，ylog5x，yl
8、og7x的图象，由三个图象的相对位置关系，可知abc.(2)由题意可得或解得a1或1a0.答案(1)D(2)C规律方法 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解在利用单调性时，肯定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必需为正的限制条件【训练3】 (1)(2022郑州模拟)若x(，1)，aln x，bln x，c eln x，则a，b，c的大小关系为()Acba BbcaCabc Dbac(2)函数f(x)loga(ax3)在1,3上单调递增，则a的取值范围是()A(1，) B(0,1)C. D(3，)解析(1)依题意得aln x(1,0)，b
9、ln x(1,2)，cx(e1,1)，因此bca.(2)由于a0，且a1，uax3为增函数，若函数f(x)为增函数，则f(x)logau必为增函数，因此a1，又uax3在1,3上恒为正，a30，即a3.答案(1)B(2)D (1)争辩对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到特殊地，要留意底数a1和0a1的两种不同状况有些简单的问题，借助于函数图象来解决，就变得简洁了，这是数形结合思想的重要体现(2)利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后依据单调性来解决同学用书第26页教你审题2
10、巧用对数函数图象解题审题一审条件：转化函数y|log2x|为y得到图象，如图二审条件：见上图三审条件：转化为a是A，C两点横坐标之差的确定值，b是B，D两点横坐标之差的确定值A，B的横坐标即是方程|log2x|m的解，C，D的横坐标即是方程|log2x|的解，求出A，B，C，D点的横坐标四审问题：把转化为关于m的函数，利用导数或不等式求解即可解析数形结合可知A，C点的横坐标在区间(0,1)上，B，D点的横坐标在区间(1，)上，而且xCxA与xBxD同号，所以.依据已知|log2xA|m，即log2xAm，所以xA2m.同理可得xC，xB2m，xD，所以 .只要求出m的最小值即可法一构造函数g(
11、m)m，则g(m)1，由于m0，明显可得g(m)在(0，)上有唯一的微小值点，也是最小值点m，故g(m)ming，即的最小值为8.法二mmm4，当且仅当m，即m时等号成立，故的最小值为8.答案B反思感悟 (1)利用对数函数的图象争辩与对数有关的图象问题时要留意对称变换的应用；(2)本题是以函数图象为载体，AC和BD在x轴上的投影长度用坐标表示是解决问题的切入点，再转化为求函数的最值问题，难度稍大【自主体验】已知函数f(x)ln x，g(x)lg x，h(x)log3x，直线ya(a0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是_解析分别作出三个函数的图象，
12、如图所示：由图可知，x2x3x1.答案x2x3x1基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1假如xy0，那么()Ayx1 Bxy1C1xy D1yx解析xylog1，又yx是(0，)上的减函数，xy1.答案D2(2022深圳调研)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)log3(1x)，则f(2)()A1 B3C1 D3解析f(2)f(2)log331.答案A3(2021宣城二模)若a，bln 2ln 3，c，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcabCcba Dbac解析ln 6ln 1，ac，排解B，C；bln 2ln 32a，排解D.答案A4若函数g(x)log3(ax
13、22x1)有最大值1，则实数a的值等于()A. B.C D4解析令h(x)ax22x1，由于函数g(x)log3h(x)是递增函数，所以要使函数g(x)log3(ax22x1)有最大值1，应使h(x)ax22x1有最大值3，因此有解得a，此即为实数a的值答案C5已知f(x)loga(3a)xa是其定义域上的增函数，那么a的取值范围是()A(0,1) B(1,3)C(0,1)(1,3) D(3，)解析记u(3a)xa，当1a3时，ylogau在(0，)上为增函数，u(3a)xa在其定义域内为增函数，此时f(x)在其定义域内为增函数，符合要求当a3时，ylogau在其定义域内为增函数，而u(3a)
14、xa在其定义域内为减函数，此时f(x)在其定义域内为减函数，不符合要求当0a1时，同理可知f(x)在其定义域内是减函数，不符合题目要求故选B.答案B二、填空题6函数y (3xa)的定义域是，则a_.解析要使函数有意义，则3xa0，即x，a2.答案27已知f(x)且f(2)1，则f(1)_.解析f(2)loga(221)loga31，a3，f(1)23218.答案188(2022深圳中学模拟)定义在R上的奇函数f(x)，当x(0，)时，f(x)log2x，则不等式f(x)1的解集是_解析当x(，0)时，则x(0，)，所以f(x)f(x)log2(x)f(x)由f(x)1，得或或解得0x或x2.答
15、案三、解答题9已知f(x)log4(4x1)(1)求f(x)的定义域；(2)争辩f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间上的值域解(1)由4x10解得x0，因此 f(x)的定义域为(0，)(2)设0x1x2，则04x114x21，因此log4(4x11)log4(4x21)，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上递增(3)f(x)在区间上递增，又f0，f(2)log415，因此f(x)在上的值域为0，log41510已知函数f(x)log(a为常数)(1)若常数a0，当0a2时，解得x；当a0时，解得x1.故当0a2时，f(x)的定义域为；当a0时，f(x)的定义域为.(2)令u，由于f
16、(x)u为减函数，故要使f(x)在(2,4)上是减函数，只需u(x)a在(2,4)上单调递增且为正故由得1a2.故a1,2)力量提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2022河南洛阳二模)假如一个点是一个指数函数和一个对数函数的图象的交点，那么称这个点为“好点”下列四个点P1(1,1)，P2(1,2)，P3，P4(2,2)中，“好点”的个数为()A1 B2 C3 D4解析设指数函数和对数函数分别为yax(a0，a1)，ylogbx(b0，b1)若为“好点”，则P1(1,1)在yax的图象上，得a1与a0，且a1冲突；P2(1,2)明显不在ylogbx的图象上；P3在yax，ylogbx的
17、图象上时，a，b；易得P4(2,2)也为“好点”答案B2定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x2)，且x(1,0)时，f(x)2x，则f(log220)()A1 B.C1 D解析由f(x2)f(x2)，得f(x)f(x4)，由于4log2205，所以f(log220)f(log2204)f(4log220)f(log2)()1.答案C二、填空题3假如函数yf(x)图象上任意一点的坐标(x，y)都满足方程lg(xy)lg xlg y，那么yf(x)在2,4上的最小值是_解析由lg(xy)lg xlg y，得由xyxy得yf(x)1(x1)则函数f(x)在(1，)上单调递减，所以yf(x)在2,4上的最小值是f(4)1.答案三、解答题4已知函数f(x)xlog2.(1)求ff的值；(2)当x(a，a，其中a(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由解(1)由f(x)f(x)log2log2log210.ff0.(2)f(x)的定义域为(1,1)，f(x)xlog2(1)，当x1x2且x1，x2(1,1)时，f(x)为减函数，当a(0,1)，x(a，a时f(x)单调递减，当xa时，f(x)minalog2.
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
