2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第7篇-第6讲-空间向量及其运算.docx

第6讲　空间向量及其运算
[最新考纲]
1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，把握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2．把握空间向量的线性运算及其坐标表示．
3．把握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积推断向量的共线和垂直.

知 识 梳 理
1．空间向量
在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模．
2．空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.
(2)共面对量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：假如三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
3．两个向量的数量积
(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos<a，b>.
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)．
②交换律：a·b＝b·a.
③安排律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0
(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|

夹角
<a，b>(a≠0，b≠0)
cos<a，b>＝

辨 析 感 悟
1．空间向量的线性运算
(1)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(√)
(2)(教材习题改编)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．(×)
(3)若a，b共线，则a与b所在直线平行．(×)
(4)对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．(×)
2．共线、共面与垂直
(5)对于空间非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0.(√)
(6)(教材习题改编)已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为1或－3.(√)
(7)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于.(√)
3．空间向量的数量积
(8)在向量的数量积运算中满足(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)
(9)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为－13.(√)
(10)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为－.(√)
[感悟·提升]
1．一种思想　理解空间向量概念、性质、运算，留意和平面对量类比，如 (5)．
2．两种方法　一是用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，如(5)．二是强化坐标运算，如(6)、(7)、(9)、(10).
同学用书第122页

考点一　空间向量的线性运算
【例1】 如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________________．

解析　∵＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋－
＝＋×(＋)－×
＝＋＋，
又＝x＋y＋z，
依据空间向量的基本定理，x＝，y＝z＝.
答案　，，
规律方法 (1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用，，表示，等，另外解题时应结合已知和所求观看图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．
(2)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．
【训练1】 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．设E是棱DD1上的点，且＝，试用，，表示.
解　＝＋
＝＋＝＋(＋)
＝＋＋
＝－－.
考点二　共线定理、共面定理的应用
【例2】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.

证明　(1)连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面对量定理知：E，F，G，H四点共面．
(2)由于＝－＝－＝(－)＝，由于E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.

规律方法 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明＝x＋y或对空间任一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可．共面对量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．
【训练2】 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．
(1)推断，，三个向量是否共面；
(2)推断点M是否在平面ABC内．
解　(1)由已知＋＋＝3 ，
∴－＝(－)＋(－)，
即＝＋＝－－，
∴，，共面．
(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，
∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内.
同学用书第123页
考点三　空间向量的数量积及其应用
【例3】 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长．

审题路线　由图形折叠的相关学问得到折叠后图形中线段的位置关系和数量关系，然后用，，表示，依据||＝求解．
解　∵AB与CD成60°角，∴<，>＝60°或120°，
又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，
∴||＝＝
＝
＝
＝，
∴||＝2或.
∴BD的长为2或.
规律方法 (1)利用数量积解决问题的两条途径：一是依据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
(2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题．
①a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；
②|a|＝；
③cos<a，b>＝.
【训练3】 如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
(1)证明　设＝a，＝b，＝c，
依据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴＝b＋c，＝－c＋b－a，
∴·＝－c2＋b2＝0.
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)解　＝－a＋c，＝b＋c，
∴||＝|a|，||＝|a|.
·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos<，>＝＝.
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.

1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．
2．利用共线向量定理、共面对量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．
3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．其中合理选取基底是优化运算的关键．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

方法优化6——特殊化思想在空间向量中的应用
【典例】 在空间四边形ABCD中，则·＋·＋·的值为(　　)．
A．－1 B．0
C．1 D．2

[一般解法] 如图，令＝a，＝b，＝c，
则·＋·＋·
＝·(－)＋·(－)＋·(－)
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)
＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a
＝0.
同学用书第124页
[美丽 解法] 如图，则在三棱锥A－BCD中，不妨令其各棱长都相等，则正四周体的对棱相互垂直．
∴·＝0，·＝0，
·＝0.
∴·＋·＋·＝0.

答案　B
[反思感悟] 与空间几何体有关的向量运算问题，当运算的结果与几何体的外形无关时，可构造特殊的几何体(如正四周体、正方体等)，利用特殊几何体的边角关系，使运算能够快速精确     的解答，提高做题速度和效率．

【自主体验】(2021·北京卷)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．
解析　点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，明显点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值，当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝.
答案　
对应同学用书P319
基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b肯定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是(　　)．

A．0 B．1 C．2 D．3
解析　a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；依据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个肯定共面，但它们三个却不肯定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.
答案　A
2．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　)．
A．2， B．－，
C．－3,2 D．2,2
解析　∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，
∴解得或
答案　A
3．(2022·济南月考)O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点(　　)．
A．肯定不共面 B．肯定共面
C．不肯定共面 D．无法推断
解析　∵＝＋＋，且＋＋＝1.∴P，A，B，C四点共面．
答案　B
4．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)．
A．－2 B．－ C. D．2
解析　由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，
∴14－7λ＝0，∴λ＝2.
答案　D
5．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是(　　)．
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
解析　∵M为BC中点，∴＝(＋)．
∴·＝(＋)·
＝·＋·＝0.
∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．
答案　C
二、填空题
6．(2022·连云港质检)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．
解析　设M(0，y,0)，则＝(1，－y,2)，＝(1，－3－y,1)，由题意知||＝||，∴12＋y2＋22＝12＋(－3－y)2＋12，解得y＝－1，故M(0，－1,0)．
答案　(0，－1,0)
7．若三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一条直线上，则a＝________，b＝________.
解析　＝(1，－1,3)，＝(a－1，－2，b＋4)，由于三点共线，所以存在实数λ使＝λ，即解得a＝3，b＝2.
答案　3　2
8.

如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos<，>的值为________．
解析　设＝a，＝b，＝c，
由已知条件<a，b>＝<a，c>＝，且|b|＝|c|，
·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos<，>＝0.
答案　0
三、解答题
9．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b(O为原点)?
解　(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝＝5.
(2)令＝t(t∈R)，所以＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，
若⊥b，则·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.
因此存在点E，使得⊥b，
此时E点的坐标为.
10.

如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，
(1)试证：A1，G，C三点共线；
(2)试证：A1C⊥平面BC1D.
证明　(1)＝＋＋＝＋＋，
可以证明：＝(＋＋)＝，
∴∥，即A1，G，C三点共线．
(2)设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∵＝a＋b＋c，＝c－a，
∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，
因此⊥，即CA1⊥BC1，
同理CA1⊥BD，
又BD与BC1是平面BC1D内的两相交直线，
故A1C⊥平面BC1D.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．有下列命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；
②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；
③若＝x＋y，则P，M，A，B共面；
④若P，M，A，B共面，则＝x＋y.
其中真命题的个数是(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析　其中①③为真命题．
答案　B
2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)．
A．a2 B.a2 C.a2 D.a2
解析　

设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
＝(a＋b)，＝c，
∴·＝(a＋b)·c
＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.
答案　C
二、填空题
3.

已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，则CD的长为________．
解析　设＝a，＝c，＝d，
由已知条件|a|＝4，|c|＝6，|d|＝8，<a，c>＝90°，<a，d>＝90°，<c，d>＝60°，
||2＝|＋＋|2＝|－c＋a＋d|2
＝a2＋c2＋d2－2a·c＋2a·d－2c·d
＝16＋36＋64－2×6×8×＝68，
则||＝2.
答案　2 cm
三、解答题
4.

如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)·；(2)·；
(3)EG的长；
(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．
解　设＝a，＝b，＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，<a，b>＝<b，c>＝<c，a>＝60°，
(1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c，
·＝·(－a)＝a2－a·c＝，
(2)·＝(c－a)·(b－c)
＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；
(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b
＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝.
(4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，
cos<，>＝＝－，
由于异面直线所成角的范围是，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
同学用书第124页