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第7讲 抛物线
[最新考纲]
1．把握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简洁几何性质．
2．理解数形结合的思想．
3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简洁应用.
知 识 梳 理
1．抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．
2．抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2p
x(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
续表
性质
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
辨 析 感 悟
1．对抛物线定义的生疏
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹肯定是抛物线．(×)
(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(×)
2．对抛物线的标准方程与几何性质的理解
(3)(2021·北京卷改编)若抛物线y＝ax2的焦点坐标为(0,1)，则a＝，准线方程为y＝－1. (√)
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a＞0)的通径长为2a.(√)
[感悟·提升]
1．一点提示 抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题格外有益．如(2)．
2．两个防范 一是求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程；
二是求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程，如(3).
考点一 抛物线的定义及其应用
【例1】 (2022·深圳一模)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝( )．
A．2∶ B．1∶2
C．1∶ D．1∶3
解析 如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，
所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.
由△MHN∽△FOA，
则＝＝，
则|MH|∶|MN|＝1∶，
即|MF|∶|MN|＝1∶.
答案 C
规律方法 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．假如问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．
【训练1】 (2022·山东省试验中学诊断)已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|＞4时，|PA|＋|PM|的最小值是________．
解析 将x＝4代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±4，|a|＞4，所以A在抛物线的外部，如图，
由题意知F(1,0)，则抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为|PN|，由定义知，|PA|＋|PM|
＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1.当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取最小值，此时
|PA|＋|PM|也最小，最小值为|AF|－1＝－1.
答案 －1
考点二 抛物线的标准方程与几何性质
【例2】 (2022·郑州一模)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，
交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )．
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
解析 如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，
由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，
∵|BC|＝2|BF|，
∴|BC|＝2|BB1|，
∴∠BCB1＝30°，
∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.
答案 C
规律方法 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是推断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要留意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特殊是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
【训练2】 (2022·兰州一模)已知圆x2＋y2＋mx－＝0与抛物线y＝x2的准线相切，则m＝ ( )．
A．±2 B. C. D．±
解析 抛物线的标准方程为x2＝4y，所以准线为y＝－1.圆的标准方程为2＋y2＝，所以圆心为，半径为.所以圆心到直线的距离为1，即＝1，解得m＝±.
答案 D
考点三 直线与抛物线的位置关系
【例3】 (2021·湖南卷)过抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.
(1)若k1＞0，k2＞0，证明：·＜2p2；
(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．
审题路线 (1)写出直线l1的方程⇒与抛物线联立⇒用根与系数的关系求M，N的坐标⇒写出，的坐标⇒求·⇒用基本不等式求得结论．
(2)由抛物线定义求|AB|，|CD|⇒得到圆M与圆N的半径⇒求出圆M与圆N的方程⇒得出圆M与圆N的公共弦所在直线l的方程⇒点M到直线l的距离求出其关于k1的函数式求其最小值⇒求得p.
解 (1)由题意知，抛物线E的焦点为F，直线l1的方程为y＝k1x＋.
由得x2－2pk1x－p2＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根．
从而x1＋x2＝2pk1，
y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk＋p.
所以点M的坐标为，＝(pk1，pk)．
同理可得点N的坐标为，＝(pk2，pk)，
于是·＝p2(k1k2＋kk)．
由于k1＋k2＝2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，
所以0＜k1k2＜2＝1.
故·＜p2(1＋12)＝2p2.
(2)由抛物线的定义得|FA|＝y1＋，|FB|＝y2＋，所以|AB|＝y1＋y2＋p＝2pk＋2p，从而圆M的半径r1＝pk＋p.
故圆M的方程为(x－pk1)2＋2
＝(pk＋p)2，
化简得x2＋y2－2pk1x－p(2k＋1)y－p2＝0.
同理可得圆N的方程为x2＋y2－2pk2x－p(2k＋1)y－p2＝0.
于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2－k1)x＋(k－k)y＝0.
又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，则l的方程为x＋2y＝0.
由于p＞0，所以点M到直线l的距离
d＝＝
＝.
故当k1＝－时，d取最小值.
由题设，＝，解得p＝8.
故所求的抛物线E的方程为x2＝16y.
规律方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要留意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必需用一般弦长公式．
【训练3】 设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 ，求p的值及圆F的方程；
(2)若A，B，F三点在同始终线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
解 (1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.
由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝ p.
由于△ABD的面积为4 ，所以|BD|·d＝4 ，
即·2p· p＝4 ，
解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.
(2)由于A，B，F三点在同始终线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.
由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|.
所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.
当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.
由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0，
解得b＝－.
由于m的纵截距b1＝，＝3，
所以坐标原点到m，n距离的比值也为3.
当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.
综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.
1．认真区分四种形式的标准方程
(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p＞0)，前者不是抛物线的标准方程．
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类争辩，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．
2．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简洁化．
抛物线上的点到焦点的距离依据定义转化为到准线的距离，即|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋，它们在解题中有重要的作用，留意运用．
教你审题9——机敏运用抛物线焦点弦巧解题
【典例】 已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点❶，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.❷
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，❸若＝＋λ，求λ的值．
[审题] 一审：由直线过抛物线焦点可利用焦点弦长公式求解．
二审：由点C为抛物线上一点，可设出C点坐标，利用＝＋λ 表示出点C坐标，将点C坐标代入抛物线方程求解．
解 (1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，
由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.
(2)由于p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4,4)；
设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
[反思感悟] (1)解决与抛物线的焦点弦有关问题，常用到x1x2＝，y1y2＝－p2，|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)，＋＝这些结论，就会带来意想不到的效果．
(2)解析几何中像这样可以引申推广的规律有很多，只要我们平常擅长总结、归纳同类题的解题方法，并留意探究和发掘变换事物中所蕴涵的一般规律，就肯定会有更多发觉．
【自主体验】
1．(2022·安徽卷)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.
解析 法一 由＋＝.得|BF|＝.
法二 设∠BFO＝θ，则
由|AF|＝3，p＝2，得cos θ＝，∴|BF|＝.
答案
2．(2022·重庆卷)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________.
解析 由＋＝＝2及|AB|＝|AF|＋|BF|＝，得|AF|·|BF|＝，再由
解得|AF|＝，|BF|＝.
答案
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2021·四川卷)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )．
A. B. C．1 D.
解析 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，双曲线x2－＝1的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0，故所求距离为＝.选B.
答案 B
2．(2022·济宁模拟)已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p的值为( )．
A．1 B．2 C. D．4
解析 圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线的距离为3－＝4，解得p＝2.
答案 B
3．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )．
A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2
解析 分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.
答案 D
4．(2022·潍坊一模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则A点的横坐标为( )．
A．2 B．3 C．2 D．4
解析 抛物线的焦点为，准线为x＝－.双曲线的右焦点为(3,0)，所以＝3，即p＝6，即y2＝12x.过A做准线的垂线，垂足为M，则|AK|＝|AF|＝|AM|，即|KM|＝|AM|，设A(x，y)，则y＝x＋3，代入y2＝12x，解得x＝3.
答案 B
5．(2021·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝( )．
A．1 B. C．2 D．3
解析 由已知得双曲线离心率e＝＝2，得c2＝4a2，∴b2＝c2－a2＝3a2，即b＝a.又双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，抛物线的准线方程为x＝－，所以不妨令A，B，于是|AB|＝p.由△AOB的面积为可得·p·＝，所以p2＝4，解得p＝2或p＝－2(舍去)．
答案 C
二、填空题
6．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．
解析 由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.
答案 x2＝12y
7．已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x0＝________.
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.
依据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.
答案 3
8．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析 如图，在等边三角形ABF中，DF＝p，BD＝p，
∴B点坐标为.又点B在双曲线上，故－＝1.解得p＝6.
答案 6
三、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．
解 法一 依据已知条件，抛物线方程可设为
y2＝－2px(p＞0)，则焦点F.
∵点M(－3，m)在抛物线上，且|MF|＝5，
故
解得 或
∴抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
法二 设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则准线方程为x＝，由抛物线定义，M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，所以有－(－3)＝5，∴p＝4.
∴所求抛物线方程为y2＝－8x，
又∵点M(－3，m)在抛物线上，
故m2＝(－8)×(－3)，
∴m＝±2.
10．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；
(2)求证：·是一个定值．
(1)解 ∵由题意可知抛物线的焦点F为(1,0)，准线方程为x＝－1，∴直线l的方程为y＝x－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，
由直线l过焦点，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.
(2)证明 设直线l的方程为x＝ky＋1，
由得y2－4ky－4＝0.
∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．
∵·＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2
＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.
∴·是一个定值．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )．
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析 ∵－＝1的离心率为2，
∴＝2，即＝＝4，∴＝.
x2＝2py的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意，得＝2，
∴p＝8.故C2：x2＝16y，选D.
答案 D
2．(2022·洛阳统考)已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )．
A. B. C．2 D.－1
解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.
答案 D
二、填空题
3．(2022·郑州二模)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．假如直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.
解析 抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由于直线AF的倾斜角为120°，所以tan 120°＝，所以yA＝2.由于PA⊥l，所以yP＝yA＝2，代入y2＝4x，得xA＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.
答案 4
三、解答题
4．(2021·辽宁卷)如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，
过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.
(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
解 (1)由于抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，所以A点坐标为，
故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.
由于点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，
于是y0＝－(2－)＋＝－，①
y0＝－＝－.②
由①②得p＝2.
(2)设N(x，y)，A，B，x1≠x2，
由N为线段AB中点知x＝.③
y＝.④
切线MA，MB的方程为
y＝(x－x1)＋，⑤
y＝(x－x2)＋.⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为
x0＝，y0＝.
由于点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，
所以x1x2＝－.⑦
由③④⑦得x2＝y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2＝y.
因此AB中点N的轨迹方程为x2＝y.
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