2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第8篇-第7讲-抛物线.docx

第7讲抛物线 最新考纲1把握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简洁几何性质2理解数形结合的思想3了解抛物线的实际背景及抛物线的简洁应用.知 识 梳 理1抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线(2)其数学表达式：|MF|d(其中d为点M到准线的距离)2抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离续表性质顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下辨 析 感 悟1对抛物线定义的生疏(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹肯定是抛物线()(2)抛物线y24x的焦点到准线的距离是4.()2对抛物线的标准方程与几何性质的理解(3)(2021北京卷改编)若抛物线yax2的焦点坐标为(0,1)，则a，准线方程为y1.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()感悟提升1一点提示抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离牢记它对解题格外有益如(2)2两个防范一是求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程；二是求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程，如(3).考点一抛物线的定义及其应用【例1】 (2022深圳一模)已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|()A2 B12 C1 D13解析如图所示，由抛物线定义知|MF|MH|，所以|MF|MN|MH|MN|.由MHNFOA，则，则|MH|MN|1，即|MF|MN|1.答案C规律方法 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化假如问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题【训练1】 (2022山东省试验中学诊断)已知点P是抛物线y24x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|4时，|PA|PM|的最小值是_解析将x4代入抛物线方程y24x，得y4，|a|4，所以A在抛物线的外部，如图，由题意知F(1,0)，则抛物线上点P到准线l：x1的距离为|PN|，由定义知，|PA|PM|PA|PN|1|PA|PF|1.当A，P，F三点共线时，|PA|PF|取最小值，此时|PA|PM|也最小，最小值为|AF|11.答案1考点二抛物线的标准方程与几何性质【例2】 (2022郑州一模)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29x By26xCy23x Dy2x解析如图，分别过A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知：|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130，AFx60，连接A1F，则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|A1F1|AA1|AF|，即p，抛物线方程为y23x，故选C.答案C规律方法 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是推断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要留意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特殊是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此【训练2】 (2022兰州一模)已知圆x2y2mx0与抛物线yx2的准线相切，则m()A2 B. C. D解析抛物线的标准方程为x24y，所以准线为y1.圆的标准方程为2y2，所以圆心为，半径为.所以圆心到直线的距离为1，即1，解得m.答案D考点三直线与抛物线的位置关系【例3】 (2021湖南卷)过抛物线E：x22py(p0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1k22，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k10，k20，证明：2p2；(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程审题路线(1)写出直线l1的方程与抛物线联立用根与系数的关系求M，N的坐标写出，的坐标求用基本不等式求得结论(2)由抛物线定义求|AB|，|CD|得到圆M与圆N的半径求出圆M与圆N的方程得出圆M与圆N的公共弦所在直线l的方程点M到直线l的距离求出其关于k1的函数式求其最小值求得p.解(1)由题意知，抛物线E的焦点为F，直线l1的方程为yk1x.由得x22pk1xp20.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根从而x1x22pk1，y1y2k1(x1x2)p2pkp.所以点M的坐标为，(pk1，pk)同理可得点N的坐标为，(pk2，pk)，于是p2(k1k2kk)由于k1k22，k10，k20，k1k2，所以0k1k221.故p2(112)2p2.(2)由抛物线的定义得|FA|y1，|FB|y2，所以|AB|y1y2p2pk2p，从而圆M的半径r1pkp.故圆M的方程为(xpk1)22(pkp)2，化简得x2y22pk1xp(2k1)yp20.同理可得圆N的方程为x2y22pk2xp(2k1)yp20.于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2k1)x(kk)y0.又k2k10，k1k22，则l的方程为x2y0.由于p0，所以点M到直线l的距离d.故当k1时，d取最小值.由题设，解得p8.故所求的抛物线E的方程为x216y.规律方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要留意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必需用一般弦长公式【训练3】 设抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.(1)若BFD90，ABD的面积为4 ，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同始终线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值解(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形，|BD|2p，圆F的半径|FA|p.由抛物线定义可知A到l的距离d|FA| p.由于ABD的面积为4 ，所以|BD|d4 ，即2p p4 ，解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2(y1)28.(2)由于A，B，F三点在同始终线m上，所以AB为圆F的直径，ADB90.由抛物线定义知|AD|FA|AB|.所以ABD30，m的斜率为或.当m的斜率为时，由已知可设n：yxb，代入x22py得x2px2pb0.由于n与C只有一个公共点，故p28pb0，解得b.由于m的纵截距b1，3，所以坐标原点到m，n距离的比值也为3.当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3. 1认真区分四种形式的标准方程(1)区分yax2(a0)与y22px(p0)，前者不是抛物线的标准方程(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类争辩，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0)2抛物线的离心率e1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简洁化抛物线上的点到焦点的距离依据定义转化为到准线的距离，即|PF|x|或|PF|y|，它们在解题中有重要的作用，留意运用 教你审题9机敏运用抛物线焦点弦巧解题【典例】 已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值审题一审：由直线过抛物线焦点可利用焦点弦长公式求解二审：由点C为抛物线上一点，可设出C点坐标，利用 表示出点C坐标，将点C坐标代入抛物线方程求解解(1)直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2，由抛物线定义得：|AB|x1x2pp9，所以p4，从而抛物线方程为y28x.(2)由于p4,4x25pxp20可简化为x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4)；设C(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)，又y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.反思感悟 (1)解决与抛物线的焦点弦有关问题，常用到x1x2，y1y2p2，|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)，这些结论，就会带来意想不到的效果(2)解析几何中像这样可以引申推广的规律有很多，只要我们平常擅长总结、归纳同类题的解题方法，并留意探究和发掘变换事物中所蕴涵的一般规律，就肯定会有更多发觉【自主体验】1(2022安徽卷)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点若|AF|3，则|BF|_.解析法一由.得|BF|.法二设BFO，则由|AF|3，p2，得cos ，|BF|.答案2(2022重庆卷)过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|BF|，则|AF|_.解析由2及|AB|AF|BF|，得|AF|BF|，再由解得|AF|，|BF|.答案基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2021四川卷)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B. C1 D.解析抛物线y24x的焦点F(1,0)，双曲线x21的渐近线方程是yx，即xy0，故所求距离为.选B.答案B2(2022济宁模拟)已知圆x2y26x70与抛物线y22px(p0)的准线相切，则p的值为()A1 B2 C. D4解析圆的标准方程为(x3)2y216，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线的距离为34，解得p2.答案B3点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()Ay12x2 By12x2或y36x2Cy36x2 Dyx2或yx2解析分两类a0，a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p()A1 B. C2 D3解析由已知得双曲线离心率e2，得c24a2，b2c2a23a2，即ba.又双曲线的渐近线方程为yxx，抛物线的准线方程为x，所以不妨令A，B，于是|AB|p.由AOB的面积为可得p，所以p24，解得p2或p2(舍去)答案C二、填空题6若点P到直线y1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是_解析由题意可知点P到直线y3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y3为准线的抛物线，且p6，所以其标准方程为x212y.答案x212y7已知抛物线y24x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|4，则点M的横坐标x0_.解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线为x1.依据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.答案38抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.解析如图，在等边三角形ABF中，DFp，BDp，B点坐标为.又点B在双曲线上，故1.解得p6.答案6三、解答题9已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值解法一依据已知条件，抛物线方程可设为y22px(p0)，则焦点F.点M(3，m)在抛物线上，且|MF|5，故解得 或抛物线方程为y28x，m2.法二设抛物线方程为y22px(p0)，则准线方程为x，由抛物线定义，M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，所以有(3)5，p4.所求抛物线方程为y28x，又点M(3，m)在抛物线上，故m2(8)(3)，m2.10设抛物线C：y24x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：是一个定值(1)解由题意可知抛物线的焦点F为(1,0)，准线方程为x1，直线l的方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x26x10，x1x26，由直线l过焦点，则|AB|AF|BF|x1x228.(2)证明设直线l的方程为xky1，由得y24ky40.y1y24k，y1y24，(x1，y1)，(x2，y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143.是一个定值力量提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析1的离心率为2，2，即4，.x22py的焦点坐标为，1的渐近线方程为yx，即yx.由题意，得2，p8.故C2：x216y，选D.答案D2(2022洛阳统考)已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A. B. C2 D.1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.答案D二、填空题3(2022郑州二模)已知椭圆C：1的右焦点为F，抛物线y24x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足假如直线AF的倾斜角为120，那么|PF|_.解析抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x1.由于直线AF的倾斜角为120，所以tan 120，所以yA2.由于PAl，所以yPyA2，代入y24x，得xA3，所以|PF|PA|3(1)4.答案4三、解答题4(2021辽宁卷)如图，抛物线C1：x24y，C2：x22py(p0)点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)当x01时，切线MA的斜率为.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)解(1)由于抛物线C1：x24y上任意一点(x，y)的切线斜率为y，且切线MA的斜率为，所以A点坐标为，故切线MA的方程为y(x1).由于点M(1，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0(2)，y0.由得p2.(2)设N(x，y)，A，B，x1x2，由N为线段AB中点知x.y.切线MA，MB的方程为y(xx1)，y(xx2).由得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0，y0.由于点M(x0，y0)在C2上，即x4y0，所以x1x2.由得x2y，x0.当x1x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2y.因此AB中点N的轨迹方程为x2y.