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第3讲 圆的方程
[最新考纲]
1．把握确定圆的几何要素，把握圆的标准方程与一般方程．
2．初步了解用代数方法处理几何问题.
知 识 梳 理
1．圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方
程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
(1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种关系：
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；
②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外；
③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内．
辨 析 感 悟
1．对圆的方程的理解
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(×)
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(×)
(4)(2021·江西卷改编)若圆C经过坐标原点和点(4,0)且与直线y＝1相切，则圆C的方程是(x－2)2＋2＝. (√)
2．对点与圆的位置关系的生疏
(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(√)
(6)已知圆的方程为x2＋y2－2y＝0，过点A(1,2)作该圆的切线只有一条．(×)
[感悟·提升]
1．一共性质 圆心在任一弦的中垂线上，如(4)中可设圆心为(2，b)．
2．三个防范 一是含字母的圆的标准方程中留意字母的正负号，如(2)中半径应为|a|；
二是留意一个二元二次方程表示圆时的充要条件，如(3)；
三是过肯定点，求圆的切线时，首先推断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应当考虑切线斜率不存在的状况，如(6).
考点一 求圆的方程
【例1】 依据下列条件，求圆的方程．
(1)求过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4的圆的方程．
(2)已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4.
解 (1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．①
将P，Q点的坐标分别代入①得
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0.④
由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程④的两根，
所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤
解②、③、⑤组成的方程组得或
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
(2)法一 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10.
由圆心在直线y＝2x上，得b＝2a.①
由圆在直线x－y＝0上截得的弦长为4，
将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，
整理得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0.
由弦长公式得 ＝4，
化简得a－b＝±2.②
解①、②得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
法二 依据图形的几何性质：半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形．如图，
由勾股定理，可得弦心距
d＝＝＝.
又弦心距等于圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离，
所以d＝，即＝.③
又已知b＝2a.④
解③、④得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10
或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
规律方法 求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到学校有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：依据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应当有三个独立等式．
【训练1】 (1)(2022·济南模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )．
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
(2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．
解析 (1)由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)，又由圆与直线4x－3y＝0相切，得＝1，解得a＝2或－(舍去)．故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.故选A.
(2)依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，将A，B点坐标分别代入方程得
解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案 (1)A (2)(x－2)2＋y2＝10
考点二 与圆有关的最值问题
【例2】 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
解 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1)．
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图2)．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何学问知，
在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
规律方法 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
【训练2】 (2022·金华十校联考)已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是 ( )．
A. B．2 C. D．2
解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1,1)，半径为r＝1，依据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2.所以四边形PACB面积的最小值为＝＝.
答案 C
考点三 与圆有关的轨迹问题
【例3】 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
审题路线 (1)设圆心P为(x，y)，半径为r⇒由圆的几何性质得方程组⇒消去r可得点P的轨迹方程．
(2)设点P(x0，y0)⇒由点到直线的距离公式可得一方程⇒点P在第(1)问所求曲线上可得一方程⇒以上两方程联立可解得P点坐标与圆P的半径⇒得到圆P的方程．
解 (1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.
故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P(x0，y0)，由已知得＝.
又P在双曲线y2－x2＝1上，从而得
由得此时，圆P半径r＝.
由得此时，圆P的半径r＝.
故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.
规律方法 求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：
(1)直接法：依据题设条件直接列出方程；(2)定义法：依据圆的定义写出方程；(3)几何法：利用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
【训练3】 已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC中点M的轨迹方程．
解 (1)法一 设顶点C(x，y)，由于AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.
又kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，
所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．
法二 设AB中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．
(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，由于B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝(x≠3且x≠1)，y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．
1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即依据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时留意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．
2．解答圆的问题，应留意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．
3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但假如能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能削减计算
量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．
方法优化7——利用几何性质巧设方程求半径
【典例】 在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．
[一般解法] (代数法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴交点是(3＋2，0)，(3－2，0)，
设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则有解得
故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.
[美丽 解法] (几何法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为＝3，
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
[反思感悟] 一般解法(代数法)：可以求出曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．
美丽 解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心肯定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算．明显几何法比代数法的计算量小，因此平常训练多接受几何法解题．
【自主体验】
1．圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于 点A，B，若|AB|＝，则该圆的标准方程是________．
解析 依据|AB|＝，可得圆心到x轴的距离为，故圆心坐标为，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋2＝1.
答案 (x－1)2＋2＝1
2．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．
解析 设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，则r2＝d2＋2＝10，因此圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.
答案 x2＋(y－1)2＝10
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·长春模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )．
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
解析 AB的中点坐标为(0,0)，
|AB|＝＝2，
∴圆的方程为x2＋y2＝2.
答案 A
2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0肯定不经过( )．
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为，
则a＜0，b＞0.直线y＝－x－，k＝－＞0，－＞0，直线不经过第四象限．
答案 D
3．(2022·银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )．
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
解析 设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，
∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2，∵点(3,1)在圆上，
∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5，
∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
答案 B
4．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )．
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪[1，＋∞)
解析 联立解得P(a,3a)，
∴(a－1)2＋(3a－1)2＜4，∴－＜a＜1，故应选A.
答案 A
5．(2022·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )．
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得由于点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案 A
二、填空题
6．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．
解析 过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案 x＋y－1＝0
7．(2022·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．
解析 由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即－＝.
答案
8．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析 据题意圆x2＋(y－1)2＝1上全部的点都在直线x＋y＋m＝0的右上方，所以有
解得m≥－1＋.故m的取值范围是[－1＋，＋∞)．
答案 [－1＋，＋∞)
三、解答题
9．求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；
(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
解 (1)法一 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有
解得a＝1，b＝－4，r＝2.
∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二 过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．
∴半径r＝＝2，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)法一 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
法二 由A(1,12)，B(7,10)，
得AB的中点坐标为(4,11)，kAB＝－，
则AB的垂直平分线方程为3x－y－1＝0.
同理得AC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0.
联立得
即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10.
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.
10．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解 如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为
，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线相互平分，
故＝，＝.
从而
N(x＋3，y－4)在圆上，
故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点和(点P在直线OM上时的状况)．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2022·东莞调研)已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为( )．
A．8 B．－4
C．6 D．无法确定
解析 圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6.
答案 C
2．(2022·烟台二模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为( )．
A．(x－1)2＋(y－4)2＝1
B．(x－1)2＋(y＋4)2＝1
C．(x－1)2＋(y－4)2＝16
D．(x－1)2＋(y＋4)2＝16
解析 抛物线的焦点为F，准线方程为x＝－，所以|MF|＝1－＝5，解得p＝8，即抛物线方程为y2＝16x，又m2＝16，m＞0，所以m＝4，即M(1,4)，所以半径为1，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－4)2＝1.
答案 A
二、填空题
3．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所掩盖，则圆C的方程为________．
解析 由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以掩盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ为直角三角形，故其圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径为＝，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝5
三、解答题
4．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．
解 法一 将x＝3－2y，
代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，
得5y2－20y＋12＋m＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1，y2满足条件：
y1＋y2＝4，y1y2＝.
∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0.
而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2.
∵x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝.
故＋＝0，解得m＝3，
此时Δ＝(－20)2－4×5×(12＋m)＝20(8－m)＞0，圆心坐标为，半径r＝.
法二 如图所示，设弦PQ中点为M，且圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0的圆心为O1，
设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由法一知，y1＋y2＝4，x1＋x2＝－2，
∴x0＝＝－1，y0＝＝2.
即M的坐标为(－1,2)．
则以PQ为直径的圆可设为(x＋1)2＋
(y－2)2＝r.
∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上．
∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r，即r＝5，|MQ|2＝r.
在Rt△O1MQ中，|O1Q|2＝|O1M|2＋|MQ|2.
∴＝2＋(3－2)2＋5.
∴m＝3，∴圆心坐标为，半径r＝.
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