2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第2篇-第5讲-指数与指数函数.docx

第5讲指数与指数函数最新考纲1了解指数函数模型的实际背景2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，把握幂的运算3理解指数函数的概念及其单调性，把握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，的指数函数的图象4体会指数函数是一类重要的函数模型.知 识 梳 理1根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注假如xna，那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数负数没有偶次方根(2)两个重要公式n为偶数()na.2有理数指数幂(1)幂的有关概念零指数幂：a01(a0)负整数指数幂：ap(a0，pN*)；正分数指数幂：(a0，m，n N*，且n1)；负分数指数幂： (a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)当x0时，y1；x0时，0y1当x0时，0y1；x0时，y1在(，)上是增函数在(，)上是减函数辨 析 感 悟1指数幂的应用辨析(1)()42.()(2)(教材探究改编)()a.()2对指数函数的理解(3)函数y32x是指数函数()(4)yx是R上的减函数()(5)指数函数在同始终角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，无论在y轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小()(6)(2021金华调研改编)已知函数f(x)4ax1(a0且a1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是(1,5)()感悟提升1“”与“n”的区分当n为奇数时，或当n为偶数且a0时，a，当n为偶数，且a0时，a，而()na恒成立如(1)中不成立，(2)中.2两点留意一是指数函数的单调性是底数a的大小打算的，因此解题时通常对底数a按0a1和a1进行分类争辩，如(4)；二是指数函数在同始终角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大如(5).同学用书第22页考点一指数幂的运算【例1】 (1)计算：0.062 50.25；(2)若3，求的值解(1)原式2.(2)由3，得xx129，xx17，x2x2249，x2x247.3327918，原式.规律方法 进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的挨次需留意下列问题：(1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及apap1(a0)简化运算答案C考点二指数函数的图象及其应用【例2】 (1)(2022郑州模拟)已知函数f(x)2x2，则函数y|f(x)|的图象可能是()(2)下列各式比较大小正确的是()A1.72.51.73 B0.610.62C0.80.11.250.2 D1.70.30.93.1解析(1)y2xy2x2y|f(x)|.(2)A中，函数y1.7x是增函数，2.53，1.72.51.73.B中，y0.6x是减函数，10.62.C中，(0.8)11.25，问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小y1.25x是增函数，0.10.2，1.250.11.250.2，即0.80.11,0.93.10.93.1.答案(1)B(2)B规律方法 (1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解【训练2】 已知实数a，b满足等式2 011a2 012b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不行能成立的关系式有()A1个 B2个 C3个 D4个解析设2 011a2 012bt，如图所示，由函数图象，可得(1)若t1，则有ab0；(2)若t1，则有ab0；(3)若0t1，则有ab0.故可能成立，而不行能成立答案B考点三指数函数的性质及其应用【例3】 已知函数f(x)x3.(1)求函数f(x)的定义域；(2)争辩f(x)的奇偶性；(3)求证：f(x)0.审题路线由2x10可求f(x)的定义域分别求g(x)与h(x)x3的奇偶性可利用g(x)g(x)0推断g(x)的奇偶性利用“奇奇偶，奇偶奇”推断f(x)的奇偶性先证x0时，f(x)0再证x0时，f(x)0.解(1)由2x10可解得x0，定义域为x|x0(2)令g(x)，h(x)x3.则h(x)为奇函数，g(x)g(x)10.g(x)为奇函数，故f(x)为偶函数(3)证明当x0时，2x10，x30，即f(x)0.又f(x)是偶函数，当x0时，f(x)f(x)0，f(x)在(，0)(0，)上恒大于零f(x)0.规律方法 (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法全都，只需依据条件机敏选择即可.同学用书第23页【训练3】 已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)解关于t的不等式f(t22t)f(2t21)0.解(1)由于f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0，即0，解得b1，所以f(x).又由f(1)f(1)知.解得a2.(2)由(1)知f(x).由上式易知f(x)在(，)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)又由于f(x)是奇函数，所以不等式f(t22t)f(2t21)0等价于f(t22t)2t21，即3t22t10，解不等式可得.1推断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较2对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成3画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.4熟记指数函数y10x，y2x，yx，yx在同一坐标系中图象的相对位置，由此把握指数函数图象的位置与底数大小的关系易错辨析2忽视争辩及验证致误【典例】 (2022山东卷)若函数f(x)ax(a0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.解析若a1，有a24，a1m，此时a2，m，此时g(x)为减函数，不合题意若0a1，有a14，a2m，故a，m，检验知符合题意答案易错警示(1)误以为a1，未进行分类争辩从而求得错误答案(2)对条件“g(x)在0，)上是增函数”不会使用，求得结果后未进行检验得到两个答案防范错施 (1)指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a1和0a1两种状况争辩(2)依据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，娴熟把握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础【自主体验】当x2,2时，ax0，且a1)，则实数a的范围是()A(1，) B.C.(1，) D(0,1)(1，)解析x2,2时，ax0，且a1)，若a1，yax是一个增函数，则有a22，可得a，故有1a；若0a1，yax是一个减函数，则有a2，故有a1.综上知a(1，)答案C对应同学用书P235基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1函数yax(a0，a1)的图象可能是()解析当a1时单调递增，且在y轴上的截距为011时，故A，B不正确；当0a1时单调递减，且在y轴上的截距为10，故C不正确；D正确答案D2(2022陕西质检三)函数y2x2x是()A奇函数，在区间(0，)上单调递增B奇函数，在区间(0，)上单调递减C偶函数，在区间(，0)上单调递增D偶函数，在区间(，0)上单调递减解析令f(x)2x2x，则f(x)2x2xf(x)，所以函数是奇函数，排解C，D.又函数y2x，y2x都是R上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f(x)2x2x是R上的增函数答案A3(2022济南一模)若a30.6，blog30.2，c0.63，则()Aacb BabcCcba Dbca解析30.61，log30.20,00.631，所以acb，选A.答案A4设2a5bm，且2，则m等于()A. B10 C20 D100解析2a5bm，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102.m.答案A5函数yaxb(a0且a1)的图象经过其次、三、四象限，则ab的取值范围为()A(1，) B(0，)C(0,1) D无法确定解析函数经过其次、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y轴的交点在负半轴上而当x0时，ya0b1b，由题意得解得所以ab(0,1)答案C二、填空题6.(a0)的值是_解析.答案7(2021盐城模拟)已知函数f(x)ax(a0，且a1)，且f(2)f(3)，则a的取值范围是_解析由于f(x)axx，且f(2)f(3)，所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以1，解得0a1.答案(0,1)8函数f(x)ax(a0，a1)在1,2中的最大值比最小值大，则a的值为_解析当0a1时，aa2，a或a0(舍去)当a1时，a2a，a或a0(舍去)综上所述，a或.答案或三、解答题9设f(x)是定义在R上的函数(1)f(x)可能是奇函数吗？(2)若f(x)是偶函数，求a的值解(1)假设f(x)是奇函数，由于定义域为R，f(x)f(x)，即，整理得(exex)0，即a0，即a210，明显无解f(x)不行能是奇函数(2)由于f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，即，整理得(exex)0，又对任意xR都成立，有a0，得a1.10设a0且a1，函数ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求a的值解令tax(a0且a1)，则原函数化为y(t1)22(t0)当0a1时，x1,1，tax，此时f(t)在上为增函数所以f(t)maxf2214.所以216，所以a或a.又由于a0，所以a.当a1时，x1,1，tax，此时f(t)在上是增函数所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3(a5舍去)综上得a或3.力量提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2022惠州质检)设f(x)|3x1|，cba且f(c)f(a)f(b)，则下列关系式中肯定成立的是()A3c3b B3b3aC3c3a2 D3c3a2解析作f(x)|3x1|的图象如图所示，由图可知，要使cba且f(c)f(a)f(b)成立，则有c0且a0，3c13a，f(c)13c，f(a)3a1，又f(c)f(a)，13c3a1，即3a3c2，故选D.答案D2(2022杭州质检)已知函数f(x)是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析函数f(x)是定义域上的递减函数，即解得a.答案B二、填空题3已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值为_解析由f(1a)f(a1)，1a和a1互为相反数，得e2(1a)ea(a1)(1a0)，解得a，或e2(a1)ea(1a)(a10)，此方程无解，故a.答案三、解答题4已知函数f(x).(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值解(1)当a1时，f(x)，令tx24x3(x2)27，由于t在(，2)上单调递增，在2，)上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是2，)，单调递减区间是(，2)(2)令h(x)ax24x3，则f(x)h(x)由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.