2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第2篇-第3讲-函数的奇偶性与周期性.docx

第3讲函数的奇偶性与周期性最新考纲1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数的图象理解和争辩函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会推断、应用简洁函数的周期性知 识 梳 理1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数假如对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数假如对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)(2)在公共定义域内两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数两个偶函数的和函数、积函数是偶函数一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数(3)若函数f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)0.3周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期辨 析 感 悟1对奇偶函数的生疏及应用(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图象不肯定过原点，奇函数的图象肯定过原点()(3)(教材习题改编)假如函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(5)(2021山东卷改编)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)2.()(6)(2022菏泽模拟改编)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0)上是减函数，若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是2,2()2对函数周期性的理解(7)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()(8)(2022枣庄一模改编)若yf(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数yf(x)既是周期函数又是奇函数()感悟提升1两个防范一是推断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数肯定是非奇非偶函数，如(1)；二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不肯定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)0，如(2)2三个结论一是若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称；若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称，如(4)；二是若对任意xD都有f(xa)f(x)，则f(x)是以2a为周期的函数；若对任意xD都有f(xa)(f(x)0)，则f(x)也是以2a为周期的函数，如(7)；三是若函数f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数yf(x)既是周期函数又是偶函数，如(8)中由于yf(x)是周期函数，设其周期为T，则有f(xT)f(x)，两边求导，得f(xT)(xT)f(x)，即f(xT)f(x)，所以导函数是周期函数，又由于f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，两边求导，得f(x)(x)f(x)f(x)，即f(x)f(x)，所以f(x)f(x)，所以导函数是偶函数.同学用书第16页考点一函数奇偶性的推断及应用【例1】 (1)推断下列函数的奇偶性：f(x)；f(x)ln.(2)已知函数f(x)ln(3x)1，则f(lg 2)f(lg )()A1 B0 C1 D2(1)解由得x1.f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数由0，得1x1，即f(x)ln的定义域为(1,1)，又f(x)lnln1lnf(x)，则f(x)为奇函数(2)解析设g(x)ln(3x)，则g(x)ln(3x)lnln(3x)g(x)g(x)为奇函数f(lg 2)ff(lg 2)f(lg 2)g(lg 2)1g(lg 2)1g(lg 2)g(lg 2)22.答案D规律方法 推断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)推断f(x)与f(x)是否具有等量关系在推断奇偶性的运算中，可以转化为推断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立【训练1】 (1)(2022武汉一模)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0且a1)，若g(2)a，则f(2)()A2 B. C. Da2(2)设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()A3 B1 C1 D3解析(1)g(x)为偶函数，f(x)为奇函数，g(2)g(2)a，f(2)f(2)，f(2)g(2)a2a22，f(2)g(2)f(2)g(2)a2a22，联立解得g(2)2a，f(2)a2a22222.(2)由于f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)2020b0，解得b1.所以当x0时，f(x)2x2x1，所以f(1)f(1)(21211)3.答案(1)B(2)A考点二函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)(2022山东试验中学诊断)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是()Af(x) Bf(x)Cf(x)2x2x Df(x)tan x(2)(2021辽宁五校联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间0，)上为增函数，且f0，则不等式f(logx)0的解集为()A. B(2，)C.(2，) D.(2，)解析(1)f(x)在定义域上是奇函数，但不单调；f(x)为非奇非偶函数；f(x)tan x在定义域上是奇函数，但不单调(2)由已知f(x)在R上为偶函数，且f0，f(logx)0等价于f(|logx|)f，又f(x)在0，)上为增函数，|logx|，即logx或logx，解得0x或x2，故选C.答案(1)C(2)C规律方法 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)【训练2】 (2022北京101中学模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)exa，若f(x)在R上是单调函数，则实数a的最小值是()A2 B1 C1 D2解析由于f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0.又f(x)exa在(0，)上是增函数，所以f(x)在R上是增函数，则e0a1a0，解得a1，所以a的最小值是1，故选B.答案B考点三函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用【例3】 (经典题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)审题路线f(x4)f(x)f(x8)f(x)结合f(x)奇偶性、周期性把25,11,80化到区间2,2上利用2,2上的单调性可得出结论解析f(x)满足f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，f(x)在区间2,2上是增函数，f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)答案D同学用书第17页规律方法 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题【训练3】 (2022黄冈中学适应性考试)定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x1)f(x)，且在1,0上是增函数，下列关于f(x)的推断：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于直线x2对称；f(x)在0,1上是增函数；f(x)在1,2上是减函数；f(4)f(0)其中推断正确的序号是_解析f(x1)f(x)f(x2)f(x)，故f(x)是周期函数又f(x)f(x)，所以f(x2)f(x)，故f(x)的图象关于直线x1对称同理，f(x4)f(x)f(x)，所以f(x)的图象关于直线x2对称由f(x)在1,0上是增函数，得f(x)在0,1上是减函数，在1,2上是增函数因此可得正确答案 1正确理解奇函数和偶函数的定义，必需把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式2奇偶函数的定义是推断函数奇偶性的主要依据为了便于推断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)3奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去推断函数的奇偶性方法优化1依据函数的奇偶性求参数值【典例】 (2011辽宁卷)若函数f(x)为奇函数，则a()A. B. C. D1一般解法 由题意知f(x)f(x)恒成立，即，即(xa)(xa)恒成立，所以a.美丽解法 (特值法)由已知f(x)为奇函数得f(1)f(1)，即，所以a13(1a)，解得a.答案A反思感悟 已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：利用函数的奇偶性的定义转化为f(x)f(x)，从而建立方程，使问题获得解决，但是在解决选择题、填空题时还显得较麻烦，为了使解题更快，可接受特值法【自主体验】1(2022永康适应性考试)若函数f(x)ax2(2a2a1)x1为偶函数，则实数a的值为()A1 B C1或 D0解析由2a2a10，得a1或.答案C2(2022山东省试验中学诊断)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数，则a_，b_.解析由f(0)0，得b1，再由f(1)f(1)，得，解得a2.答案21对应同学用书P231基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2021广东卷)定义域为R的四个函数yx3，y2x，yx21，y2sin x中，奇函数的个数是()A4 B3 C2 D1解析由奇函数的概念可知yx3，y2sin x是奇函数答案C2(2021温州二模)若函数f(x)是奇函数，则a的值为()A0 B1 C2 D4解析由f(1)f(1)，得，(1a)2(1a)2解得a0.答案A3(2022哈尔滨三中模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x对称，则f()A0 B1 C1 D2解析由f(x)是奇函数可知，f(0)0，ff.又yf(x)的图象关于x对称，所以f(0)f，因此f0.答案A4(2022湛江一测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意xR，都有f(x4)f(x)，若f(2)2，则f(2 014)等于()A2 012 B2 C2 013 D2解析f(x4)f(x)，f(x)的周期为4，f(2 014)f(2)，又f(x)为奇函数，f(2)f(2)2，即f(2 014)2.答案D5函数f(x)是周期为4的偶函数，当x0,2时，f(x)x1，则不等式xf(x)0在1,3上的解集为()A(1,3) B(1,1)C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)解析f(x)的图象如图当x(1,0)时，由xf(x)0，得x(1,0)；当x(0,1)时，由xf(x)0，得x；当x(1,3)时，由xf(x)0，得x(1,3)x(1,0)(1,3)，故选C.答案C二、填空题6(2022温岭中学模拟)f(x)为奇函数，当x0时，f(x)log2(1x)，则f(3)_.解析f(3)f(3)log242.答案27(2021青岛二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x2)f(x)对任意xR成立，当x(1,0)时f(x)2x，则f_.解析由于f(x2)f(x)，故fff1.答案18设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，则实数m的取值范围是_解析f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(|x|)不等式f(1m)f(m)f(|1m|)f(|m|)又当x0,2时，f(x)是减函数解得1m.答案三、解答题9f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)2x23x1，求f(x)的解析式解当x0时， x0，则f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，所以当x0时，f(x)2x23x1.由于f(x)为R上的奇函数，故f(0)0.综上可得f(x)的解析式为f(x)10设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1x)f(1x)，当1x0时，f(x)x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间1,2上的表达式解(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)又f(x2)f(x)，f(x)f(x)，f(x)是偶函数(2)当x0,1时，x1,0，则f(x)f(x)x；进而当1x2时，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故f(x)力量提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2021昆明模拟)已知偶函数f(x)对xR都有f(x2)f(x)，且当x1,0时f(x)2x，则f(2 013)()A1 B1 C. D解析由f(x2)f(x)得f(x4)f(x)，所以函数的周期是4，故f(2 013)f(45031)f(1)f(1)21.答案C2(2022郑州模拟)已知函数f(x1)是偶函数，当1x1x2时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()Abac BcbaCbca Dabc解析f(x1)是偶函数，f(x1)f(x1)，yf(x)关于x1对称又1x1x2，f(x2)f(x1)(x2x1)0，知yf(x)在1，)是增函数，又ff，且23，f(2)ff(3)，即bac.故选A.答案A二、填空题3设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)1x，则：2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x(3,4)时，f(x)x3.其中全部正确命题的序号是_解析由已知条件：f(x2)f(x)，则yf(x)是以2为周期的周期函数，正确；当1x0时0x1，f(x)f(x)1x，函数yf(x)的图象如图所示：当3x4时，1x40，f(x)f(x4)x3，因此正确，不正确答案三、解答题4已知函数f(x)在R上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0.(1)试推断函数yf(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)0在闭区间2 014,2 014上根的个数，并证明你的结论解(1)若yf(x)为偶函数，则f(x)f2(x2)f2(x2)f(4x)f(x)，f(7)f(3)0，这与f(x)在闭区间0,7上只有f(1)f(3)0冲突；因此f(x)不是偶函数若yf(x)为奇函数，则f(0)f(0)，f(0)0，这与f(x)在闭区间0,7上只有f(1)f(3)0冲突；因此f(x)不是奇函数综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)由f(4x)f(14x)f(x)f(x10)，从而知函数yf(x)的周期T10.由f(3)f(1)0，得f(11)f(13)f(7)f(9)0.故f(x)在0,10和10,0上均有两个解，从而可知函数yf(x)在0,2 014上有404个解，在2 014,0上有402个解，所以函数yf(x)在2 014,2 014上共有806个解.同学用书第18页