2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第2篇-第3讲-函数的奇偶性与周期性.docx

第3讲　函数的奇偶性与周期性
[最新考纲]
1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2．会运用函数的图象理解和争辩函数的奇偶性．
3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会推断、应用简洁函数的周期性．

知 识 梳 理
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
假如对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
假如对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.奇(偶)函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．
②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．
③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．
(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
3．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
辨 析 感 悟
1．对奇偶函数的生疏及应用
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(×)
(2)偶函数图象不肯定过原点，奇函数的图象肯定过原点．(×)
(3)(教材习题改编)假如函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)
(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)
(5)(2021·山东卷改编)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝－2.(√)
(6)(2022·菏泽模拟改编)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是[－2,2]．(×)
2．对函数周期性的理解
(7)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)
(8)(2022·枣庄一模改编)若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)既是周期函数又是奇函数．(×)
[感悟·提升]
1．两个防范　一是推断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数肯定是非奇非偶函数，如(1)；
二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不肯定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)＝0，如(2)．
2．三个结论　一是若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称，如(4)；
二是若对任意x∈D都有f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是以2a为周期的函数；若对任意x∈D都有f(x＋a)＝±(f(x)≠0)，则f(x)也是以2a为周期的函数，如(7)；
三是若函数f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)既是周期函数又是偶函数，如(8)中由于y＝f(x)是周期函数，设其周期为T，则有f(x＋T)＝f(x)，两边求导，得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，所以导函数是周期函数，又由于f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，两边求导，得f′(－x)(－x)′＝－f′(－x)＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，所以导函数是偶函数.
同学用书第16页

考点一　函数奇偶性的推断及应用

【例1】 (1)推断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝＋；②f(x)＝ln.
(2)已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f(lg )＝(　　)．
A．－1 B．0 C．1 D．2
(1)解　①由得x＝±1.
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
②由＞0，得－1＜x＜1，即f(x)＝ln的定义域为(－1,1)，
又f(－x)＝ln＝ln－1＝－ln＝－f(x)，则f(x)为奇函数．
(2)解析　设g(x)＝ln(－3x)，
则g(－x)＝ln(＋3x)＝ln＝
－ln(－3x)＝－g(x)．
∴g(x)为奇函数．
∴f(lg 2)＋f＝f(lg 2)＋f(－lg 2)
＝g(lg 2)＋1＋g(－lg 2)＋1＝g(lg 2)－g(lg 2)＋2＝2.
答案　D
规律方法 推断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)推断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在推断奇偶性的运算中，可以转化为推断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
【训练1】 (1)(2022·武汉一模)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝(　　)．
A．2 B.
C. D．a2
(2)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　)．
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析　(1)∵g(x)为偶函数，f(x)为奇函数，
∴g(2)＝g(－2)＝a，f(－2)＝－f(2)，
∴f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①
f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2，②
联立①②解得g(2)＝2＝a，f(2)＝a2－a－2
＝22－2－2＝.
(2)由于f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.
所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，
所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.
答案　(1)B　(2)A
考点二　函数的单调性与奇偶性
【例2】 (1)(2022·山东试验中学诊断)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是(　　)．
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝2－x－2x D．f(x)＝－tan x
(2)(2021·辽宁五校联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f＝0，则不等式f(logx)＞0的解集为(　　)．
A. B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪(2，＋∞)
解析　(1)f(x)＝在定义域上是奇函数，但不单调；
f(x)＝为非奇非偶函数；f(x)＝－tan x在定义域上是奇函数，但不单调．
(2)由已知f(x)在R上为偶函数，且f＝0，
∴f(logx)＞0等价于f(|logx|)＞f，又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴|logx|＞，即logx＞或logx＜－，解得0＜x＜或x＞2，故选C.
答案　(1)C　(2)C
规律方法 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
【训练2】 (2022·北京101中学模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝ex＋a，若f(x)在R上是单调函数，则实数a的最小值是(　　)．
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析　由于f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.又f(x)＝ex＋a在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在R上是增函数，则e0＋a＝1＋a≥0，解得a≥－1，所以a的最小值是－1，故选B.
答案　B
考点三　函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用
【例3】 (经典题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)．
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
审题路线　f(x－4)＝－f(x)f(x－8)＝f(x)→结合f(x)奇偶性、周期性把－25,11,80化到区间[－2,2]上→利用[－2,2]上的单调性可得出结论．
解析　∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，
f(x)在R上是奇函数，
∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
答案　D
同学用书第17页
规律方法 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．
【训练3】 (2022·黄冈中学适应性考试)定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f(x)的推断：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的图象关于直线x＝2对称；
③f(x)在[0,1]上是增函数；
④f(x)在[1,2]上是减函数；
⑤f(4)＝f(0)．
其中推断正确的序号是________．
解析　f(x＋1)＝－f(x)⇒f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数．又f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称．同理，f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．由f(x)在[－1,0]上是增函数，得f(x)在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数．因此可得①②⑤正确．
答案　①②⑤

1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必需把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
2．奇偶函数的定义是推断函数奇偶性的主要依据．为了便于推断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0)．
3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去推断函数的奇偶性．

方法优化1——依据函数的奇偶性求参数值

【典例】 (2011·辽宁卷)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)．
A. B. C. D．1
[一般解法] 由题意知f(－x)＝－f(x)恒成立，
即＝－，
即(x＋a)＝(x－a)恒成立，所以a＝.
[美丽 解法] (特值法)
由已知f(x)为奇函数得f(－1)＝－f(1)，
即＝，
所以a＋1＝3(1－a)，解得a＝.
[答案]　A
[反思感悟] 已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：利用函数的奇偶性的定义转化为f(－x)＝±f(x)，从而建立方程，使问题获得解决，但是在解决选择题、填空题时还显得较麻烦，为了使解题更快，可接受特值法．
【自主体验】
1．(2022·永康适应性考试)若函数f(x)＝ax2＋(2a2－a－1)x＋1为偶函数，则实数a的值为(　　)．
A．1 B．－
C．1或－ D．0
解析　由2a2－a－1＝0，得a＝1或－.
答案　C
2．(2022·山东省试验中学诊断)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数，则a＝________，b＝________.
解析　由f(0)＝0，得b＝1，再由f(－1)＝－f(1)，得＝－，解得a＝2.
答案　2　1
对应同学用书P231
基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．(2021·广东卷)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是(　　)．
A．4 B．3 C．2 D．1
解析　由奇函数的概念可知y＝x3，y＝2sin x是奇函数．
答案　C
2．(2021·温州二模)若函数f(x)＝是奇函数，则a的值为(　　)．
A．0 B．1 C．2 D．4
解析　由f(－1)＝－f(1)，得＝，
∴(－1＋a)2＝(1＋a)2解得a＝0.
答案　A
3．(2022·哈尔滨三中模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f＝(　　)．
A．0 B．1 C．－1 D．2
解析　由f(x)是奇函数可知，f(0)＝0，f＝－f.又y＝f(x)的图象关于x＝对称，所以f(0)＝f，因此f＝0.
答案　A
4．(2022·湛江一测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，若f(－2)＝2，则f(2 014)等于(　　)．
A．2 012 B．2 C．2 013 D．－2
解析　∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，
∴f(2 014)＝f(2)，又f(x)为奇函数，∴f(2)＝－f(－2)＝－2，即f(2 014)＝－2.
答案　D
5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为(　　)．
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
解析　f(x)的图象如图．

当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0，得x∈(－1,0)；
当x∈(0,1)时，由xf(x)>0，得x∈∅；
当x∈(1,3)时，由xf(x)>0，得x∈(1,3)．
∴x∈(－1,0)∪(1,3)，故选C.
答案　C
二、填空题
6．(2022·温岭中学模拟)f(x)为奇函数，当x＜0时，f(x)＝log2(1－x)，则f(3)＝________.
解析　f(3)＝－f(－3)＝－log24＝－2.
答案　－2
7．(2021·青岛二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝f(x)对任意x∈R成立，当x∈(－1,0)时f(x)＝2x，则f＝________.
解析　由于f(x＋2)＝f(x)，故f＝f＝－f＝1.
答案　1
8．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是________．
解析　∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
∴不等式f(1－m)＜f(m)⇔f(|1－m|)＜f(|m|)．
又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数．
∴解得－1≤m＜.
答案　
三、解答题
9．f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．
解　当x＜0时， －x＞0，则
f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以当x＜0时，f(x)＝2x2＋3x－1.
由于f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.
综上可得f(x)的解析式为f(x)＝
10．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．
解　(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，
∴f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
力量提升题组
(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．(2021·昆明模拟)已知偶函数f(x)对∀x∈R都有f(x－2)＝－f(x)，且当x∈[－1,0]时f(x)＝2x，则f(2 013)＝(　　)．
A．1 B．－1 C. D．－
解析　由f(x－2)＝－f(x)得f(x－4)＝f(x)，所以函数的周期是4，故f(2 013)＝f(4×503＋1)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝.
答案　C
2．(2022·郑州模拟)已知函数f(x＋1)是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)．
A．b＜a＜c B．c＜b＜a
C．b＜c＜a D．a＜b＜c
解析　∵f(x＋1)是偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，
∴y＝f(x)关于x＝1对称．又1＜x1＜x2，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0，
知y＝f(x)在[1，＋∞)是增函数，又f＝f，且2＜＜3，∴f(2)＜f＜f(3)，即b＜a＜c.故选A.
答案　A
二、填空题
3．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则：
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；
④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.
其中全部正确命题的序号是________．
解析　由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x≤0时0≤－x≤1，
f(x)＝f(－x)＝1＋x，
函数y＝f(x)的图象如图所示：

当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，
f(x)＝f(x－4)＝x－3，因此②④正确，③不正确．
答案　①②④
三、解答题
4．已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.
(1)试推断函数y＝f(x)的奇偶性；
(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 014,2 014]上根的个数，并证明你的结论．
解　(1)若y＝f(x)为偶函数，则f(－x)＝f[2－(x＋2)]＝f[2＋(x＋2)]＝f(4＋x)＝f(x)，
∴f(7)＝f(3)＝0，这与f(x)在闭区间[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0冲突；因此f(x)不是偶函数．
若y＝f(x)为奇函数，则f(0)＝－f(0)，
∴f(0)＝0，这与f(x)在闭区间[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0冲突；因此f(x)不是奇函数．
综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)由⇒⇒
f(4－x)＝f(14－x)⇒f(x)＝f(x＋10)，
从而知函数y＝f(x)的周期T＝10.
由f(3)＝f(1)＝0，得f(11)＝f(13)＝f(－7)＝f(－9)＝0.
故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，从而可知函数y＝f(x)在[0,2 014]上有404个解，在[－2 014,0]上有402个解，所以函数y＝f(x)在[－2 014,2 014]上共有806个解.
同学用书第18页