资源描述
[学业水平训练]
1．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos 4x
解析：选D.A中函数的周期为T＝4π，B中函数的周期为T＝π，C中函数的周期为T＝8π，故选D.
2．函数y＝xsin x＋cos x的图象关于( )
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．以上都不正确
解析：选B.定义域是R，f(－x)＝(－x)sin(－x)＋cos(－x)＝xsin x＋cos x＝f(x)，则f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．
3．下列命题中正确的是( )
A．y＝－sin x为奇函数
B．y＝|sin x|既不是奇函数也不是偶函数
C．y＝3sin x＋1为偶函数
D．y＝sin x－1为奇函数
解析：选A.y＝|sin x|是偶函数，y＝3sin x＋1与y＝sin x－1都是非奇非偶函数．
4．若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ等于( )
A．0 B.
C. D．π
解析：选C.由于y＝sin(x＋)＝cos x，而y＝cos x是R上的偶函数，所以φ＝.
5．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f(－)的值等于( )
A．1 B.
C．0 D．－
解析：选B.f(－)＝f[π×(－3)＋π]＝f(π)＝sin π＝.
6．函数f(x)＝cos(π＋x)的奇偶性是________．
解析：∵f(x)＝cos(π＋x)＝sin x，
又g(x)＝sin x是奇函数，
∴f(x)＝cos(π＋x)是奇函数．
答案：奇函数
7．函数y＝sin(ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为π，则ω＝________．
解析：由于y＝sin的最小正周期为T＝，所以＝，所以ω＝3.
答案：3
8．已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝________．
解析：∵f(x＋3)＝f(x)，∴T＝3，
f(8)＝f(3×3－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2
9．求下列函数的周期：
(1)y＝－2cos(－x－1)；
(2)y＝|sin 2x|.
解：(1)∵－2cos[－(x＋4π)－1]
＝－2cos[(－x－1)－2π]
＝－2cos(－x－1)，
∴函数y＝－2cos(－x－1)的周期是4π.
(2)∵|sin 2(x＋)|＝|sin(2x＋π)|
＝|－sin 2x|＝|sin 2x|，
∴y＝|sin 2x|的周期是.
10．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时f(x)的解析式．
解：x∈时，
3π－x∈，
∵x∈时，f(x)＝1－sin x，
∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)
＝1－sin x.
又∵f(x)是以π为周期的偶函数，
∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈.
[高考水平训练]
1．设函数f(x)＝sin 3x＋|sin 3x|，则f(x)为( )
A．周期函数，最小正周期为
B．周期函数，最小正周期为π
C．周期函数，最小正周期为2π
D．非周期函数
解析：选B.f(x)＝的大致图象如图所示：
由图可知f(x)为周期函数，最小正周期为π，故选B.
2．(2022·杭州高一检测)已知f(x)＝cos x，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝________．
解析：由于f(1)＝cos ＝，f(2)＝cos ＝－，f(3)＝cos π＝－1，f(4)＝cos ＝－，f(5)＝cos ＝，f(6)＝cos 2π＝1.
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.
又f(x)的周期为T＝＝6，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝－1.
答案：－1
3．已知f(x)＝＋3，若f(5)＝－2，求f(－5)的值．
解：设g(x)＝，
则g(－x)＝
＝－＝－g(x)，
∴g(x)是奇函数．
由f(5)＝－2，得f(5)＝g(5)＋3＝－2，
∴g(5)＝－5.
∴f(－5)＝g(－5)＋3＝－g(5)＋3＝8.
4．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．
解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)．
∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．
(2)∵4是f(x)的一个周期．
∴f(5)＝f(1)＝－5，
∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)
＝＝＝.
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