资源描述
[学业水平训练]
1．最大值为，周期为，初相为的三角函数表达式可能是( )
A．y＝sin(＋)
B．y＝sin(－)
C．y＝sin(3x＋)
D．y＝2sin(2x－)
解析：选C.设y＝Asin(ωx＋φ)，则A＝，φ＝，＝，∴ω＝3，∴y＝sin(3x＋)．
2．函数y＝sin(x－)的图象的一条对称轴是( )
A．x＝－ B．x＝
C．x＝－ D．x＝
解析：选C.由x－＝kπ＋，k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z，令k＝－1，得x＝－.
3．要得到y＝sin的图象，只需将y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析：选B.∵y＝sin
＝sin，
∴向右平移个单位．
4．已知ω＞0，函数f(x)＝cos(ωx＋)的一条对称轴为x＝，一个对称中心为(，0)，则ω有( )
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
解析：选A.由题意知－≥，故T＝≤π，ω≥2.
5．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
解析：选A.∵T＝＝＝6，
又图象过点(0，1)，
∴sin φ＝.
∵－＜φ＜，
∴φ＝.
6．函数y＝6sin(x－)的振幅是________，周期是________，频率是________，初相是________，图象最高点的坐标是________．
解析：由题意，得A＝6，T＝＝8π，
f＝＝，φ＝－.
当x－＝2kπ＋，
即x＝8kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值6.
答案：6 8π － (8kπ＋，6)(k∈Z)
7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.
解析：由图象知，
T＝0－(－)＝，
所以ω＝3.
答案：3
8．将函数y＝sin x的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y＝sin(x－)的图象，则φ＝________．
解析：由于φ∈[0，2π)，所以把y＝sin x的图象向左平移φ个单位长度得到y＝sin(x＋φ)的图象，而sin(x＋)＝sin＝sin(x－)，即φ＝.
答案：
9．已知函数y＝sin(2x＋)＋1.
(1)用“五点法”画出函数的草图．
(2)函数图象可由y＝sin x的图象怎样变换得到？
解：(1)列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
y
1
2
1
0
1
描点、连线如图所示．
将y＝sin(2x＋)＋1在[－，]上的图象向左(右)平移kπ(k∈Z)个单位，即可得到y＝sin(2x＋)＋1的整个图象．
(2)y＝sin xy＝sin(x＋)
y＝sin(2x＋)
y＝sin(2x＋)＋1.
10．(2022·衡阳高一检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)一个周期的图象如图所示，
(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值．
(2)求函数f(x)的表达式、单调递增区间．
解：(1)由图知，函数f(x)的最小正周期为T＝4×(＋)＝π，函数的最大值为1，最小值为－1.
(2)由图知A＝1，T＝，则ω＝2.又x＝－时，y＝0，
所以sin＝0，
而－＜φ＜，则φ＝，
所以函数f(x)的表达式为f(x)＝sin(2x＋)，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为：
，k∈Z.
[高考水平训练]
1．已知函数y＝，以下说法正确的是( )
A．函数的周期为
B．函数是偶函数
C．函数图象的一条对称轴为直线x＝
D．函数在上为减函数
解析：选C.该函数的周期T＝；
由于f(－x)＝＝，
因此它是非奇非偶函数；
函数y＝sin在上是减函数，但y＝在上是增函数，因此只有C项正确．
2．把函数y＝cos的图象向右平移φ个单位长度，所得到的图象正好关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
解析：将y＝cos的图象向右平移φ个单位长度，得y＝cos的图象，
∵y＝cos的图象关于y轴对称，
∴cos＝±1.
∴φ－＝kπ，k∈Z.
当k＝－1时，φ取得最小正值.
答案：
3．点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向．若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且从物体向右运动到距平衡位置最远处时开头计时．
(1)求物体相对平衡位置发生的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；
(2)求该物体在t＝5 s时的位置．
解：(1)设x和t之间的函数关系式为x＝3sin(ωt＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)．
则由T＝＝3，可得ω＝.
当t＝0时，有x＝3sin φ＝3，即sin φ＝1.
又0≤φ＜2π，故φ＝.
所以所求函数关系式为x＝3sin，
即x＝3cos t.
(2)令t＝5，得x＝3cos ＝－1.5，
故该物体在t＝5 s时的位置是在点O的左侧且距点O 1.5 cm处．
4．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
解：(1)A＝3，＝(4π－)＝5π，ω＝.
由f(x)＝3sin(x＋φ)过(，0)得sin(＋φ)＝0，
又|φ|<，故φ＝－，
∴f(x)＝3sin(x－)．
(2)由f(x＋m)＝3sin[(x＋m)－]＝3sin(x＋－)为偶函数(m>0)，
知－＝＋kπ，即m＝＋kπ(k∈Z)．
∵m>0，∴mmin＝.
故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．
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