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§3.2 空间向量在立体几何中的应用
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
课时目标 1.理解直线的方向向量，了解直线的向量方程.2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.3.会用向量运算证线线垂直，会求两直线所成的角．
1．用向量表示直线或点在直线上的位置
(1)在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量a，对于直线l上的任意一点P，则有
＝________或＝____________或＝________________(＝a)，
上面三个向量等式都叫做空间直线的________________．向量a称为该直线的方向向量．
(2)线段AB的中点M的向量表达式
＝________________.
2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得
l1∥l2或l1与l2重合⇔______________.
(2)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面对量定理，得
l∥α或l在α内⇔____________________________________.
(3)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得
α∥β或α与β重合⇔____________________________________.
3．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角
(1)设两条直线所成的角为θ(锐角)，则两条直线的方向向量的夹角与θ________________.
(2)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，l1与l2的夹角为θ，则
l1⊥l2⇔______________，cos θ＝________________.
一、选择题
1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
2．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM与CN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为( )
A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17)
C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)
题 号
1
2
3
4
5
答 案
二、填空题
6.
如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥面DCC1D1；
④A1M∥面D1PQB1.
以上结论中正确的是________．(填写正确的序号)
7.已知点A（4,1,3），B（2，-5,1），C为线段AB上一点且
＝，则点C的坐标为____________．
8．已知点A、B、C的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则P点的坐标为____________．
9．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是____________．
三、解答题
10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.
11．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．
力气提升
12．如图，四棱锥P－ABCD中，底
面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．证明：AE⊥平面PBC.
1．利用向量可以确定直线，表示点在直线上的位置．
2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行
(1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法的依据是空间向量共线、共面定理．
(2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要留意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．
(3)关于直线与平面平行、平面与平面平行的证明，还可以用平面的法向量来完成．
3．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角
非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0是证明两条直线垂直的依据；两条直线所成的角是通过求两个向量的夹角得到的．
§3.2 空间向量在立体几何中的应用
3．2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
学问梳理
1．(1)ta ＋ta (1－t) ＋t 向量参数方程
(2)( ＋)
2．(1)v1∥v2 (2)存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2
(3)v1∥β且v2∥β
3．(1)相等或互补 (2)v1⊥v2 |cos〈v1，v2〉|
作业设计
1．A [∵＝(2,4,6)，而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故选A.]
2．B [∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝0，∴m＝2.]
3．C
4．D
[如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，
M，C(0,1,0)，
N.
∴＝，＝.
∴·＝，||＝＝||.
∴cos〈，〉＝＝.]
5．B [设B(x，y，z)，＝(x－2，y＋1，z－7)
＝λ(8,9，－12)，λ>0.
故x－2＝8λ，y＋1＝9λ，z－7＝－12λ，
又(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－7)2＝342，
得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.
∴x＝18，y＝17，z＝－17，即B(18,17，－17)．]
6．①③④
解析 ∵＝－＝－＝，
∴A1M∥D1P.
∵D1P⊂面D1PQB1，∴A1M∥面D1PQB1.
又D1P⊂面DCC1D1，∴A1M∥面DCC1D1.
∵B1Q为平面DCC1D1的斜线，
∴B1Q与D1P不平行，∴A1M与B1Q不平行．
7.
解析 设C(x，y，z)，
∵C为线段AB上一点且＝，
∴＝，
即(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－2)，
∴x＝，y＝－1，z＝.
8．(－1,0,2)
解析 由已知，＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，＝(－x,1，－z)，
由，得，解得.
∴P(－1,0,2)．
9．yOz平面
解析 ∵＝(0,5，－3)，∴平行于平面yOz.
10．证明 方法一 ∵＝，B1在直线A1D外，
∴B1C∥A1D，又A1D⊂平面ODC1，
∴B1C∥平面ODC1.
方法二 ∵＝＋
＝＋＋＋＝＋.
∴，，共面．
又B1C⊄平面ODC1，∴B1C∥平面ODC1.
11．解 以D为原点建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，B(2,4,0)，
C1(0,4,2)，A1(2,0,2)，
∴E(1,2,2)，F(1,4,1)，
＝(－1,4,1)，
＝(－1，－2,2)，
∴||＝＝3，||＝＝3，
·＝1－8＋2＝－5，
∴cos〈，〉＝＝－.
∵异面直线所成角的范围是，
设AF与BE所成角为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|＝.
12．
证明 如图所示，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Axyz.
设D(0，a,0)，则B(，0,0)，C(，a,0)，
P(0,0，)，E(，0，)．
于是＝(，0，)， ＝(0，a,0)，
＝(，a，－)，
则·＝0，·＝0.
所以AE⊥BC，AE⊥PC.
又由于BC∩PC＝C，所以AE⊥平面PBC.
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