资源描述
3.1.4 空间向量的直角坐标运算
课时目标 把握空间向量的坐标运算，会依据向量的坐标推断两个向量共线或垂直，把握向量长度、两向量夹角和两点间距离公式．
1．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，则{i，j，k}叫做________________．单位向量i，j，k都叫做______________．
2．在空间直角坐标系中，已知任一向量a，依据________________定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的__________，有序实数组________________叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，可记作a＝________________.
3．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a＋b＝________________________________，
a－b＝________________________________，
λa＝________________________，
a·b＝________________________.
a∥b (b≠0)⇔________________________，或当b与三个坐标平面都不平行时，a∥b⇔________________________________________；
a⊥b⇔________________________.
4．向量的坐标与点的坐标之间的关系
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝－＝________________________.
5．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
则|a|＝________________，|b|＝______________，
a·b＝________________，
从而有cos〈a，b〉＝____________________________.
6．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
||＝______________________________.
一、选择题
1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1,2,1)，点B的坐标为(1,3,4)，则( )
A. ＝(－1,2,1) C. ＝(1,3,4)
B. ＝(2,1,3) D.＝(－2，－1，－3)
2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
3．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则＝＝是a∥b的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b相互垂直，则k的值是( )
A．1 B. C. D.
5．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为( )
A. B. C．4 D．8
6．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是( )
A. B. C. D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知三个力f1＝(1,2,3)，f2＝(－1,3，－1)，f3＝(3，－4,5)，若f1，f2，f3共同作用于同一物体上，使物体从点M1(1，－2，1)移动到点M2(3,1,2)，则合力所做的功是________．
8．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x＝______.
9. 已知A（1，-1,2），B（5，-6,2），C（1,3，-1），则在上的投影为______．
三、解答题
10．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2, 并取A1B1、A1A的中点分别为P、Q.
（1）求向量的长；
（2）cos〈，〉，cos〈，〉，并比较〈，〉与〈，〉的大小；
(3)求证：AB1⊥C1P.
力气提升
12．在长方体OABC—O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：
(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．
13．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，在棱BB1上是否存在点M，使得D1M⊥平面EFB1?
1．空间向量在几何中的应用
有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定几何中线线、线面的平行与垂直，利用向量长度公式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的角，只需通过简洁运算即可．在此处，要认真体会向量的工具性作用．
2．关于空间直角坐标系的建立
建系时，要依据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴．同时，使
尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．这样可以较便利的写出点的坐标．
3．1.4 空间向量的直角坐标运算
学问梳理
1．单位正交基底 坐标向量
2．空间向量分解 分向量 (a1，a2，a3) (a1，a2，a3)
3．(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R) ＝＝ (b1≠0，b2≠0，b3≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
4．(x2－x1，y2－y1，z2－z1)
5. a1b1＋a2b2＋a3b3
6.
作业设计
1．C
2．B [∵a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，∴3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，∴x＝，y＝－4.]
3．A [设＝＝＝k，易知a∥b，即条件具有充分性．又若b＝0时，b＝(0,0,0)，
虽有a∥b，但条件＝＝明显不成立，所以条件不具有必要性，故选A.]
4．D [∵ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，
∴3(k－1)＋2k－4＝0.∴k＝.]
5．A [设向量a、b的夹角为θ，
于是cos θ＝＝，由此可得sin θ＝.
所以以a、b为邻边的平行四边形的面积为
S＝2××3×3×＝.]
6．C
7．16
解析 合力f＝f1＋f2＋f3＝(3,1,7)，
位移s＝＝(2,3,1)，
∴功w＝f·s＝(3,1,7)·(2,3,1)＝6＋3＋7＝16.
8．11
解析 ∵点P在平面ABC内，∴存在实数k1，k2，
使＝k1＋k2，
即(x－4，－2,0)＝k1(－2,2，－2)＋k2(－1,6，－8)，
∴ 解得
∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.
9．－4
解析 ∵＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)．
＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，
∴cos〈，〉＝
＝－，
在上的投影为||cos〈，〉
＝×＝－4.
10．解 ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，
a－3b＝(7，－4，－16)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，
则＝＝，解得k＝－.
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，则(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.
11．解
以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则由已知，得C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，
C1(0,0,2)，
P，Q(1,0,1)，
B1(0,1,2)，A1(1,0,2)．
∴＝(1，－1,1)，＝(0,1,2)，
＝(1，－1,2)，＝(－1,1,2)，
＝.
(1)| |＝＝＝.
(2)∵·＝0－1＋2＝1，||＝，
||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又·＝0－1＋4＝3，
||＝＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又0<<<1，
∴〈，〉，〈，〉∈.
又y＝cos x在内单调递减，
∴〈，〉>〈，〉．
(3)证明 ∵·＝(－1,1,2)·＝0，
∴⊥.
12．解
建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)由题意得A(2,0,0)，O1(0，0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)．
∴＝(－2,0,2)，
＝(－1,0，－2)，
∴cos〈，〉＝＝－，
∴AO1与B1E所成角的余弦值为.
(2)由题意得⊥，∥，
∵C(0,3,0)，设D(x，y,0)，
∴＝(x，y，－2)，＝(x－2，y,0)，＝(－2,3,0)，
∴ 解得
∴D，
∴O1D＝||＝ ＝.
即点O1到点D的距离为.
13．解
如图所示，分别以，，为单位正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，
E，F，设M(1,1，m)，∴＝，
＝，＝(1,1，m－1)．
若D1M⊥平面EFB1，
则D1M⊥EF且D1M⊥B1E.
即·＝0，·＝0，
∴，∴m＝，
即存在点M且为B1B的中点，使D1M⊥平面EFB1.
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