资源描述
3.2.4 二面角及其度量
课时目标 理解二面角和二面角的平面角的概念，会用向量的方法求二面角．
1．从一条直线动身的______________所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做________________，每个半平面叫做________________．棱为l，两个面分别为α、β的二面角，记为____________．
2．在二面角α—l—β的______上任取一点O，在______________内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则________叫做二面角α—l—β的平面角．
3．平面角是________的二面角叫做直二面角，相交成______________的两个平面，叫做相互垂直的平面．
4．二面角的平面角，它的两边在__________平面内，且都________于棱，两个条件缺一不行．
5.
用向量夹角来争辩二面角性质及其度量的方法(如图所示)
(1)分别在二面角α—l—β的面α、β内，并沿α，β________的方向，作向量n1⊥l，n2⊥l，则__________等于该二面角的平面角．
(2)设m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与该二面角____________________．
一、选择题
1．自二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，这两条垂线所成的角与二面角的大小关系是( )
A．相等 B．互为补角
C．互为余角 D．相等或互为补角
2．如图所示，
已知二面角α—l—β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则直线m，n的夹角为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
3．假如二面角α—l—β的平面角是锐角，点P到α，β和棱l的距离分别为2，4和4，则二面角的大小为( )
A．45°或30° B．15°或75°
C．30°或60° D．15°或60°
4．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条夹角均为60°，则二面角B—PA—C的余弦值是( )
A. B. C. D.
5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.
如图所示，在边长为a的等边△ABC中，AD⊥BC，沿AD将△ABD折起，若折起后B、C两点间距离为a，则二面角B—AD—C的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，ν＝(－1，1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是____________．
8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面为正三角形，若AA1＝AB＝1，E为棱BB1的中点，则平面AEC与平面ABC所成锐二面角的大小为________．
9.
如图，已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面的夹角等于________．
三、解答题
10．自二面角α—l—β的棱上一点A在平面β内引一条射线AC，它与棱l成45°角，和平面α成30°角，求二面角α—l—β的大小．
11.
ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，又SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求面SCD与面SAB所成二面角的正切值．
力气提升
12．在正方体AC1中，求二面角A—BD1—C的大小．
13.
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1.
(1)证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；
(2)设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1－AC1－B1的正弦值．
1．二面角有三个要素：两个半平面和一条棱；二面角大小范围是[0，π]．
2．求二面角的大小的一般步骤是：
(1)找出或作出平面角；(2)证明它符合定义；(3)通过解三角形计算．
3．与二面角有关的问题中找或作平面角的常用方法：
(1)依据定义找出二面角的平面角；
(2)依据三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角；
(3)作二面角棱的垂面，则垂面和二面角的两个面的交线所成的角是该二面角的平面角．
4．利用射影面积公式cos α＝求二面角的大小．
5．利用平面的法向量来求二面角．
3．2.4 二面角及其度量
学问梳理
1．两个半平面 二面角的棱 二面角的面 α—l—β
2．棱 两半平面 ∠AOB
3．直角 直二面角
4．同一个 垂直
5．(1)延长 〈n1，n2〉 (2)大小相等或互补
作业设计
1．D
2．B
3．B [如图①，②所示，分别是P在二面角α—l—β的内部、外部时的状况．由于PA⊥α，所以PA⊥l，由于PC⊥l，所以l⊥面PAC，同理，l⊥面PBC，而面PAC与面PBC有公共点，所以面PAC和面PBC应重合，即A，B，C，P在同一平面内，∠ACB是二面角的平面角．
在Rt△APC中，sin∠ACP＝＝＝，所以∠ACP＝30°.在Rt△BPC中，sin∠BCP＝＝＝，所以∠BCP＝45°，故∠ACB＝30°＋45°＝75°(图①)，或∠ACB＝45°－30°＝15°(图②)．]
① ②
4．B [在射线PA上取一点O，分别在平面PAB、PAC内作OE⊥PA，OF⊥PA交PB、PC于E、F，则∠EOF为所求二面角的平面角．
在△EOF中，令EF＝1，则由题意可求得，OE＝OF＝，∴cos∠EOF＝＝.故选B.]
5．B
[建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则＝(1,0,1)，＝(1,1，)
设平面A1DE的法向量n1＝(x，y，z)，则
∴解得
令z＝1，∴n1＝(－1，，1)
平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝.]
6．C [∵AD⊥CB，∴BD⊥AD，CD⊥AD，
∠BDC为二面角B－AD－C的平面角，
又∵BD＝CD＝BC＝，∴△BDC为等边三角形，
∴∠BDC＝60°.]
7．60°
解析 cos〈n，ν〉＝＝＝－.
∴〈n，ν〉＝120°.
8．30°
9.
解析 作VO⊥底面ABCD，OM⊥BC，连结VM，则VM⊥BC，
所以∠VMO为侧面和底面的夹角．由题意知O为底面中心，设底面边长为a，
则2a2＝(2)2，解得a＝2，所以OM＝.又VV—ABCD＝·(2)2·h＝12，得h＝3.
所以tan∠VMO＝＝，所以∠VMO＝.
本题还可利用向量法求二面角．
10．解 如图所示，
过C作CD⊥平面α，在α内作DB⊥AB，垂足为B，连结BC.由三垂线定理知BC⊥AB，
则∠CBD为二面角α—l—β的平面角．
设CD＝a，又∠CAD为AC与面α所成的角，
即∠CAD＝30°，∴AC＝2a.
又∠CAB＝45°，∴BC＝a.
在Rt△CDB中，sin∠CBD＝＝，
∴∠CBD＝45°，即二面角α—l—β为45°.
11．解 建立如图的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，D，
C(1,1,0)，S(0,0,1)，
则＝是平面SAB的法向量．
设面SCD的法向量n＝(1，λ，μ)，
易得λ＝－，μ＝.∴n＝.
若以θ表示欲求二面角的值，
则cos θ＝〈，n〉＝.
∵·n＝·＝，
||＝，|n|＝ ＝ ，
∴cos θ＝＝ ，sin θ＝ ，
∴tan θ＝＝.
12．解 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)．
＝(1,0,1)是平面ABD1的一个法向量，
＝(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量．
所以cos〈，〉＝＝.
所以〈，〉＝60°.
由图形可知二面角A—BD1—C为120°.
13．(1)证明 以B为坐标原点，射线BA、BB1为x轴正半轴、
y轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz.
设AB＝2，则A(2,0,0)，B1(0,2,0)，
D(0,1,0)，E(，，0)．
又设C(1,0，c)，则＝(，，0)，
＝(2，－2,0)，＝(1，－1，c)．
于是·＝0，·＝0，故DE⊥B1A，DE⊥DC，又DE∩AB1＝E，CD∩DE＝D.
所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．
(2)解 由于〈，〉等于异面直线AB1与CD的夹角，
故·＝||||cos 45°，
即2××＝4.
解得c＝，故＝(－1,0，)．
又＝＝(0,2,0)，
所以＝＋＝(－1,2，)．
设平面AA1C1的法向量m＝(x，y，z)，
则m·＝0，m·＝0，
即－x＋2y＋z＝0,2y＝0.
令x＝，则z＝1，y＝0.故m＝(，0,1)．
设平面AB1C1的法向量为n＝(p，q，r)，
则n·＝0，n·＝0，
即－p＋2q＋r＝0,2p－2q＝0，
令p＝，则q＝，r＝－1.故n＝(，，－1)．
所以cos〈m，n〉＝＝.
由于〈m，n〉等于二面角A1－AC1－B1的平面角，
所以二面角A1－AC1－B1的正弦值为＝.
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