2020-2021学年高中人教B版数学选修2-1课时作业：3.2.4.docx

3.2.4二面角及其度量课时目标理解二面角和二面角的平面角的概念，会用向量的方法求二面角1从一条直线动身的_所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做_，每个半平面叫做_棱为l，两个面分别为、的二面角，记为_2在二面角l的_上任取一点O，在_内分别作射线OAl，OBl，则_叫做二面角l的平面角3平面角是_的二面角叫做直二面角，相交成_的两个平面，叫做相互垂直的平面4二面角的平面角，它的两边在_平面内，且都_于棱，两个条件缺一不行5.用向量夹角来争辩二面角性质及其度量的方法(如图所示)(1)分别在二面角l的面、内，并沿，_的方向，作向量n1l，n2l，则_等于该二面角的平面角(2)设m1，m2，则m1，m2与该二面角_一、选择题1自二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，这两条垂线所成的角与二面角的大小关系是()A相等 B互为补角C互为余角 D相等或互为补角2如图所示，已知二面角l的大小为60，m，n为异面直线，且m，n，则直线m，n的夹角为()A30 B60C90 D1203假如二面角l的平面角是锐角，点P到，和棱l的距离分别为2，4和4，则二面角的大小为()A45或30 B15或75C30或60 D15或604从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条夹角均为60，则二面角BPAC的余弦值是()A. B. C. D.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B. C. D.6.如图所示，在边长为a的等边ABC中，ADBC，沿AD将ABD折起，若折起后B、C两点间距离为a，则二面角BADC的大小为()A30 B45C60 D90题号123456答案二、填空题7若两个平面，的法向量分别是n(1,0,1)，(1，1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是_8在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为正三角形，若AA1AB1，E为棱BB1的中点，则平面AEC与平面ABC所成锐二面角的大小为_9.如图，已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面的夹角等于_三、解答题10自二面角l的棱上一点A在平面内引一条射线AC，它与棱l成45角，和平面成30角，求二面角l的大小11.ABCD是直角梯形，ABCBAD90，又SA平面ABCD，SAABBC1，AD，求面SCD与面SAB所成二面角的正切值力气提升12在正方体AC1中，求二面角ABD1C的大小13.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AA1AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE3EB1.(1)证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；(2)设异面直线AB1与CD的夹角为45，求二面角A1AC1B1的正弦值1二面角有三个要素：两个半平面和一条棱；二面角大小范围是0，2求二面角的大小的一般步骤是：(1)找出或作出平面角；(2)证明它符合定义；(3)通过解三角形计算3与二面角有关的问题中找或作平面角的常用方法：(1)依据定义找出二面角的平面角；(2)依据三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角；(3)作二面角棱的垂面，则垂面和二面角的两个面的交线所成的角是该二面角的平面角4利用射影面积公式cos 求二面角的大小5利用平面的法向量来求二面角32.4二面角及其度量学问梳理1两个半平面二面角的棱二面角的面l2棱两半平面AOB3直角直二面角4同一个垂直5(1)延长n1，n2(2)大小相等或互补作业设计1D2B3B如图，所示，分别是P在二面角l的内部、外部时的状况由于PA，所以PAl，由于PCl，所以l面PAC，同理，l面PBC，而面PAC与面PBC有公共点，所以面PAC和面PBC应重合，即A，B，C，P在同一平面内，ACB是二面角的平面角在RtAPC中，sinACP，所以ACP30.在RtBPC中，sinBCP，所以BCP45，故ACB304575(图)，或ACB453015(图)4B在射线PA上取一点O，分别在平面PAB、PAC内作OEPA，OFPA交PB、PC于E、F，则EOF为所求二面角的平面角在EOF中，令EF1，则由题意可求得，OEOF，cosEOF.故选B.5B建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(1,0,1)，(1,1，)设平面A1DE的法向量n1(x，y，z)，则解得令z1，n1(1，1)平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.6CADCB，BDAD，CDAD，BDC为二面角BADC的平面角，又BDCDBC，BDC为等边三角形，BDC60.760解析cosn，.n，120.8309.解析作VO底面ABCD，OMBC，连结VM，则VMBC，所以VMO为侧面和底面的夹角由题意知O为底面中心，设底面边长为a，则2a2(2)2，解得a2，所以OM.又VVABCD(2)2h12，得h3.所以tanVMO，所以VMO.本题还可利用向量法求二面角10解如图所示，过C作CD平面，在内作DBAB，垂足为B，连结BC.由三垂线定理知BCAB，则CBD为二面角l的平面角设CDa，又CAD为AC与面所成的角，即CAD30，AC2a.又CAB45，BCa.在RtCDB中，sinCBD，CBD45，即二面角l为45.11解建立如图的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则是平面SAB的法向量设面SCD的法向量n(1，)，易得，.n.若以表示欲求二面角的值，则cos ，n.n，|，|n| ，cos ，sin ，tan .12解以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)(1,0,1)是平面ABD1的一个法向量，(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量所以cos，.所以，60.由图形可知二面角ABD1C为120.13(1)证明以B为坐标原点，射线BA、BB1为x轴正半轴、y轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.设AB2，则A(2,0,0)，B1(0,2,0)，D(0,1,0)，E(，0)又设C(1,0，c)，则(，0)，(2，2,0)，(1，1，c)于是0，0，故DEB1A，DEDC，又DEAB1E，CDDED.所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线(2)解由于，等于异面直线AB1与CD的夹角，故|cos 45，即24.解得c，故(1,0，)又(0,2,0)，所以(1,2，)设平面AA1C1的法向量m(x，y，z)，则m0，m0，即x2yz0,2y0.令x，则z1，y0.故m(，0,1)设平面AB1C1的法向量为n(p，q，r)，则n0，n0，即p2qr0,2p2q0，令p，则q，r1.故n(，1)所以cosm，n.由于m，n等于二面角A1AC1B1的平面角，所以二面角A1AC1B1的正弦值为.