资源描述
3.2.3 直线与平面的夹角
课时目标 1.了解直线与平面的夹角的三种状况，理解斜线和平面所成角的概念.2.了解三个角θ，θ1，θ2的意义，会利用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求平面的斜线与平面内的直线的夹角.3.会利用向量的方法求斜线和平面所成的角．
1．线线角、线面角的关系式
(如图)
cos θ＝____________.
2．直线与平面的夹角
(1)假如一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为________．
(2)假如一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为________．
(3)斜线和它在平面内的________________叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．
3．直线和平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的________所成的角，其范围是________，斜线与平面所成的角是这条直线与平面内的一切直线所成角中________的角．直 线和平面所成的角可以通过直线的______________与平面的__________求得，若设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为φ，则有sin θ＝__________.
一、选择题
1．假如BC⊂平面M，斜线AB与平面M所成的角为α，∠ABC＝θ，AA′⊥平面M，垂足为A′，∠A′BC＝β，那么( )
A．cos θ＝cos α·cos β B．sin θ＝sin α·sin β
C．cos α＝cos θ·cos β D．cos β＝cos α·cos θ
2．假如∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3．平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的2倍，则斜线与平面所成角的大小为( )
A．30° B．60° C．45° D．120°
4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是( )
A．等于90°
B．小于90°
C．大于90°
D．不确定
5．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．30° B．60° C．150° D．以上均错
6．假如一个平面与一个正方体的12条棱所在的直线都成相等的角，记作θ，那么sin θ的值为( )
A. B. C. D．1
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．平面α外两点A，B到平面α的距离分别为1和2，AB在α上的射影长为，则直线AB和平面α所成的角为______________．
8．正方形ABCD的边长为a，PA⊥平面ABCD，PA＝a，则直线PB与平面PAC所成的角为________．
9．在正三棱柱ABC—A1B1C1中侧棱长为，底面边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是________.
三、解答题
10.
如图所示，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′＝4，OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的正切值．
11.
如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．
力气提升
12．已知AB为平面α的一条斜线，B为斜足，AO⊥α，O为垂足，BC为α内的一条直线，AB与平面α所成的角为，∠OBC＝，求∠ABC.
13．如图所
示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE.
(1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；
(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．
直线与平面所成角的求法
(1)传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
(2)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，
a与u的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|＝或cos θ＝sin φ.
(3)如图所示，利用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2，求cos θ1，尽而求出θ1.
3．2.3 直线与平面的夹角
学问梳理
1．cos θ1·cos θ2
2．(1)90° (2)0° (3)射影所成的角
3．射影 最小 方向向量 法向量
|cos φ|
作业设计
1．A
2．D
[如图，设A在平面BPC内的射影为O.∵∠APB＝∠APC.
∴点O在∠BPC的角平分线上，
∴∠OPC＝30°，∠APO为PA与平面PBC所成的角．
∴cos∠APB＝cos∠APO·cos∠OPC
即cos 60°＝cos∠APO·cos 30°，
∴cos∠APO＝.]
3．B
4．A [∵A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥MN，
∵·＝(＋)·
＝·＋·＝0，
∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.
也可由三垂线定理直接得MP⊥MN.]
5．B [当直线l的方向向量ν与平面α的法向量n的夹角〈n，ν〉小于90°时，直线l与平面α所成的角与之互余．]
6．B [由于两条平行直线和同一平面所成的角相等，则在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1BC1满足和十二条棱所在直线成等角，又B1D⊥平面A1BC1，垂足为O，则O为△A1BC1的中心，且B1O＝B1D，设正方体棱长为a，则B1O＝a，
所以sin θ＝＝.]
7．30°或60°
解析 分A，B在α的同侧或异侧两种情形争辩．
8．30°
9.
解析
在正三棱柱ABC—A1B1C1中，取AC的中点O，OB⊥AC，
则OB⊥平面ACC1A1，
∴∠BC1O就是BC1与平面AC1的夹角．以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，B，
C1，＝，
＝.
cos〈，〉＝
＝＝＝.
∴〈，〉＝，
即BC1与平面ACC1A1的夹角为.
10．解 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系，
则B(3,0,0)，D.
设P(3,0，z)，则＝，＝(3,0，z)．
∵BD⊥OP，∴·
＝－＋4z＝0，z＝.
∴P.∵BB′⊥平面AOB，
∴∠POB是OP与底面AOB所成的角．
∵tan∠POB＝＝，
故OP与底面AOB所成角的正切值为.
11．解 由题设条件知，可建立以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴的空间直角坐标系(如图所示)．
设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，
D，S(0,0,1)．
∴＝(0,0,1)，
＝(－1，－1,1)．
明显是底面ABCD的法向量，它与已知向量的夹角β＝90°－θ，
故有sin θ＝|cos β|＝＝＝，
于是cos θ＝＝.
12．解
如图，过O作OC⊥BC，C为垂足，连结AC，由于AO⊥α，
∴由三垂线定理知BC⊥AC，
∴在Rt△ABO中，∠ABO＝，
∴AO＝OB＝AB，
在Rt△OBC中，∠OBC＝，
∴BC＝OC＝OB＝·AB＝AB，
∴在Rt△ABC中，cos∠ABC＝，
∴∠ABC＝.
13．(1)证明 由正三棱柱ABC—A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1.
又DE⊂平面A1B1C1，所以DE⊥AA1，而DE⊥AE，AA1∩AE＝A，所以DE⊥平面ACC1A1，又DE⊂平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1.
(2)解 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1＝，
则AB＝2，A(0，－1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，
D.
易知＝(，1,0)，＝(0,2，)，＝(，，)
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有
解得x＝－y，z＝－y，
故可取n＝(1，－，)．
所以cos〈n，〉＝＝＝.
由此可知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为.
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