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双基限时练(九) 映射
基 础 强 化
1．给出下列四个对应，其中能构成映射的是( )
解析 由映射的概念知答案为D.
答案 D
2．若f：A→B是一个映射，下列说法正确的有( )
(1)A中的任一元素在B中必需有像且唯一．
(2)A中的多个元素可以在B中有相同的像．
(3)B中的多个元素可以在A中有相同的原像．
(4)像的集合就是集合B.
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
解析 依据映射的定义，知(1)，(2)正确，(3)，(4)错误．
答案 B
3．设f：x→x2是集合A到B的映射，假如B＝{1,2}，那么A∩B＝( )
A. ∅ B. {1}
C. ∅或{2} D. ∅或{1}
解析 由x2＝1，得x＝±1，由x2＝2，得x＝±，可知A∩B＝∅，或A∩B＝{1}．
答案 D
4．设集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则从A到B的映射共有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析 列举法.
共四个．
答案 C
5．已知a，b为实数，集合M＝，N＝{a,0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
解析 依据题意，f(1)＝1，∴a＝1，∴f＝f(b)＝b，
∵b≠1(否则与集合互异性冲突)，∴b＝0，∴a＋b＝1.
答案 C
6．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数至少是( )
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
答案 A
7．设f：A→B是从集合A到B的映射，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中元素(6,2)在映射f下的原像是(3,1)，则k，b的值分别为________．
解 由题意得得
答案 2,1
能 力 提 升
8．f是从A到B的一一映射，A＝{x|1≤x≤3}，f：y＝2x－1，则集合B＝________.
解析 ∵1≤x≤3，∴1≤2x－1≤5.
答案 {y|1≤y≤5}
9．已知A到B的映射f：x→2x－1，从B到C的映射f：y→，则A到C的映射f：x→________.
解析 由映射的概念可得，f：x→y＝2x－1，又由B到C的映射f：y→，∴y→.
答案
10．推断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6,7,8,9}，对应关系f：x→2x＋1.
(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系是“作圆的内接矩形”．
(3)A＝{1,2,3,4}，B＝，对应关系：f：x→.
解 (1)是映射也是函数，但不是一一映射．由于数集A中的元素x依据对应关系f：x→2x＋1和数集B中的元素2x＋1对应，这个对应是数集A到数集B的映射，也是函数，但B中的元素4,6,8没有原像，不能构成一一映射．
(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射．由于一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应．
(3)是A到B的映射，也是函数和一一映射．
11．设映射f：A→B，其中A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应于B中元素(3x－2y＋1，4x＋3y－1)．
(1)求A中的元素(3,4)的像；
(2)求B中的元素(3,4)的原像；
(3)是否存在这样的元素(a，b)使它的像是自己？
解 (1)由题意得
由3×3－2×4＋1＝2，
4×3＋3×4－1＝23，
知(3,4)在B中的像为(2,23)．
(2)设(3,4)在A中的原像为(a，b)，
∴得
∴B中的元素(3,4)的原像为.
(3)设存在元素(a，b)使它的像是它自己
则得
∴的像是它本身．
12．已知集合A＝{1,2,3，k}，集合B＝{2,5，a3，a4－2}，且a∈N＋，x∈A，y∈B，映射f：A→B使B中元素y＝3x－1与A中元素x对应，求a和k的值及集合A，B.
解 ∵从集合A到B的映射为f：x→y＝3x－1，
且A＝{1,2,3，k}，B＝{2,5，a3，a4－2}，
∴a3＝8，或a4－2＝8.
又∵a∈N＋，∴a3＝8，即a＝2.
∴a4－2＝14，∴3k－1＝14，∴k＝5.
故a＝2，k＝5，A＝{1,2,3,5}，B＝{2,5,8,14}．
考 题 速 递
13．已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原像分别对应6和9，则19在f作用下的像为________．
解析 由已知，∴∴f：x→y＝2x－8，∴19在f作用下的像为2×19－8＝30.
答案 30
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