2020-2021学年北师大版高中数学必修2双基限时练9.docx

双基限时练(九)
一、选择题
1．下列命题(其中a，b表示直线，α表示平面)中，正确的个数是(　　)
①若a∥b，bα，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，bα，则a∥b.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析　对于①，a∥b，bα，则aα，或a∥α；对于②，当a∥α，b∥α时，可能a∥b，也可能a与b相交或异面，对于③，当a∥b，b∥α时，可能a∥α，也可能aα；对于④，当a∥α，bα时，a与b可能平行，也可能异面，故①②③④均不对．
答案　A
2．若一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是(　　)
A．l∥α B．l⊥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或lα
解析　∵当l∥α时，直线l上任意一点到α的距离相等；当lα时，直线l上全部点到α的距离都是零，也相等，其他状况不符合．
答案　D
3．如图，△ABC的边BC在平面α内，点A在α外，EF是△ABC的中位线，则(　　)

A．EF与平面α平行
B．EF与平面α不平行
C．EF与平面α可能平行也可能相交
D．EF与平面α相交
解析　∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，故EF∥α.
答案　A
4．设a，b为直线，α，β为不重合的平面，下列条件能得出α∥β的是(　　)
A．存在一条直线aα，a∥β
B．存在两平行直线a，b，aα，bβ，且a∥β，b∥α
C. aα，bα，a∩b＝P，a∥β，b∥β
D. a，b为异面直线aα，bβ
解析　依据两平面平行的判定定理，可知答案为C.
答案　C
5．若两个平面内分别有一条直线，且这两条直线相互平行，则这两个平面的公共点的个数(　　)
A．有限个 B．无限个
C．0个 D．0个或无限个
解析　两平面可能平行也可能相交，故选D.
答案　D
6．如图P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q为PA的中点，O为AC与BD的交点，下面说法错误的是(　　)

A．OQ∥面PCD B．PC∥面BDQ
C．AQ∥面PCD D．CD∥面PAB
解析　∵O为▱ABCD对角线的交点，
∴AO＝OC，又Q为PA的中点，∴QO∥PC.
由线面平行的判定定理，可知A、B正确，又ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，故CD∥面PAB，故D正确．
答案　C
二、填空题
7．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AC平行，且过正方体三个顶点的截面是________．

解析　如图所示截面肯定过A1，C1两点，又截面过三个顶点，故所求截面为A1C1B和平面A1C1D.

答案　平面A1C1B和平面A1C1D
8．如图所示，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，图中满足线面平行位置关系的全部状况为________．

解析　由EF∥AC∥HG，得
AC∥面EFGH，EF∥面ACD，
HG∥面ABC，
由EH∥BD∥FG，得
EH∥面BCD，FG∥面ABD，BD∥面EFGH.
答案　AC∥面EFGH，EF∥面ACD，
HG∥面ABC，EH∥面BCD，FG∥面ABD，
BD∥面EFGH
9．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是CB延长线上的一点，且BD＝BC，则直线BC1与面AB1D的关系是________．
解析　∵DC∥B1C1，DB＝BC＝B1C1，∴四边形BDB1C1为平行四边形，∴DB1∥C1B.又BC1⃘面AB1D，B1D面AB1D，∴BC1∥面AB1D.

答案　平行
三、解答题
10．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为PB，PC上的点，且＝＝，

求证：EF∥面PAD.
证明　∵在△PBC中，＝＝，
∴EF∥BC.
又四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD.
∴EF∥AD.
又EF⃘面PAD，AD面PAD，
∴EF∥面PAD.

11．如图，已知三棱锥P－ABC，D，E，F分别为PA，PB，PC的中点，
求证：面DEF∥面ABC.
证明　在△PAB中，∵D，E分别为PA，PB的中点，∴DE∥AB，又DE⃘面ABC，∴DE∥面ABC.同理，EF∥面ABC.又DE∩EF＝E，∴面DEF∥面ABC.
12.

如图在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为BC，CC1，CD1，A1A的中点，求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥面BB1D1D；
(3)面BDF∥面B1D1H.
证明　(1)取BB1的中点M，连接C1M，

∵C1F綊BM，
∴四边形BMC1F为平行四边形．
∴BF∥MC1.
又MH綊A1B1綊D1C1，
∴四边形MHD1C1为平行四边形．
∴D1H∥C1M，∴BF∥D1H.
(2)连接D1B，∵G，E分别为D1C与BC的中点，
∴GE∥BD1，又BD1面BDD1B1，GE⃘面BDD1B1，
∴GE∥面BDD1B1.
(3)∵BD∥B1D1，又BD⃘面B1D1H，B1D1B1D1H，
∴BD∥面B1D1H.
同理可证BF∥面B1D1H，
又BD∩BF＝B，BD面BDF，BF面BDF，
∴面BDF∥面B1D1H.
思 维 探 究
13．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边及其内部运动，摸索求点M在怎样的位置时，有MN∥面B1BDD1?

解　点M在FH上时，有MN∥平面B1BDD1.如图所示，平面B1BDD1是正方体ABCD－A1B1C1D1的对角面，探究过点N且与平面B1BDD1平行的直线，可取B1C1的中点N1，连接N1N，则NN1∥平面B1BDD1，连接NH，则NH∥平面B1BDD1.
∵NH∩NN1＝N，∴平面NN1FH∥平面B1BDD1.
∵MN平面NN1FH，∴MN∥平面B1BDD1.此时，点M在FH上．