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双基限时练(九) 正切函数的定义、图像和性质
一、选择题
1．若角α的终边上有一点P(2x－1,3)，且tanα＝，则x的值为( )
A. 7 B. 8
C. 15 D.
解析 由＝，得x＝8.
答案 B
2．函数y＝的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
解析 由logtanx≥0知0<tanx≤1解得．
答案 C
3．以下三个描述不正确的有( )
①正切函数为定义域上的增函数；②正切函数存在闭区间[a，b]，使y＝tanx在其上是递增的；③正切函数存在闭区间[a，b]，使y＝tanx在其上是递减的．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 只有②正确．
答案 B
4．函数y＝tan在一个周期内的图像是( )
解析 ∵T＝＝2π，结合图像可知答案为A.
答案 A
5．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图像过点，则φ可以是( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 由题意得tan(＋φ)＝0，即tan(＋φ)＝0，且＋φ＝kπ，∴φ＝kπ－，令k＝0，则φ＝－.
答案 A
6．在区间范围内，函数y＝tanx与函数y＝sinx的图像交点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 方法一：在同一坐标系中，首先作出y＝sinx与y＝tanx在内的图像，需明确x∈时，有sinx＜x＜tanx(利用单位圆中的正弦线、正切线就可以证明)，然后利用对称性作出x∈的两函数的图像如图，由图像可知它们有3个交点．
∴应选C.
方法二：x∈，
即sinx＝tanx＝，sinx＝0，sinx＝0或cosx＝1.
在x∈内x＝－π、0、π满足sinx＝0，
x＝0满足cosx＝1，所以交点个数为3.
∴应选C.
答案 C
7．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图像如图所示，则f＝( )
A. 2＋ B.
C. D. 2－
解析 由图可知T＝＝2＝，
∴ω＝2，由2×π＋φ＝kπ，k∈Z，|φ|<，知φ＝，由Atan＝1，知A＝1，
∴f(x)＝tan，∴f＝tan＝.
答案 B
二、填空题
8．已知θ∈，在单位圆中，角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是a、b、c，则它们的大小关系是__________．
解析 由三角函数线知c＞a＞b.
答案 c＞a＞b
9．函数y＝的值域为________．
解析 设u＝tan2x－2tanx＋2＝(tanx－1)2＋1，明显u≥1，由反比例函数的图像可知值域为(0,1]．
答案 (0,1]
10．若y＝tan(2x＋θ)图像的一个对称中心为，其中－<θ<，则θ＝________.
解析 由题意得2x＋θ＝(k∈Z)，得x＝－，
∵y＝tan(2x＋θ)的一个对称中心为，
∴－＝，∴θ＝－π.
又θ∈，∴θ＝，或θ＝－.
答案 或－
三、解答题
11．作出函数f(x)＝tanx＋|tanx|的图像，并求出其周期．
解析 f(x)＝tanx＋|tanx|＝
(k∈Z)．作出f(x)的图像如下图，易得函数f(x)的周期T＝π.
12．已知f(x)＝tan，
(1)求f(x)的定义域及值域；
(2)求f(x)的周期及单调增区间．
解 (1)由2x＋≠kπ＋(k∈Z)，
得x≠＋(k∈Z)，
∴函数的定义域为，
由正切函数的图像可知值域为R.
(2)f(x)的周期T＝，
由kπ－<2x＋<kπ＋(k∈Z)，
得－π<x<＋(k∈Z)．
故函数的单调增区间为(k∈Z)．
13．确定函数f(x)＝sinx＋tanx，x∈的奇偶性、单调性，并求出它的值域．
解 明显f(x)的定义域关于原点对称，又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，设－≤x1<x2≤.
∵y＝sinx和y＝tanx在区间上都是增函数，
∴sinx1<sinx2，且tanx1<tanx2.
∴sinx1＋tanx1<sinx2＋tanx2，
即f(x1)<f(x2)．
∴f(x)在上是增函数．
∴f(x)在上的值域为.
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