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双基限时练(一)
一、选择题
1．下面几何体的截面肯定是圆面的是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球 D．圆台
答案 C
2．下列说法正确的是( )
A．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成
B．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
C．圆柱的任意两条母线所在直线相互平行
D．用一平面截圆锥，截面与底面之间的部分为圆台
解析 由旋转的过程，可知圆柱的任意两条母线所在直线相互平行．
答案 C
3．如图所示，观看下面四个几何体，其中推断正确的是( )
A．①是圆台 B．②是圆台
C．③是圆锥 D．④是圆台
答案 C
4．如图①是由下面哪个平面旋转得到的( )
解析 由旋转的学问，可知答案为C.
答案 C
5．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为( )
A．10 cm B．20 cm
C．20 cm D．10 cm
解析 由图可知，h＝20cos30°＝10(cm)，答案为A.
答案 A
6．有下列四个命题：
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交；④圆锥的轴截面是等腰三角形．
其中错误命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①错，以矩形某一边为轴旋转才是圆柱，以对角线为轴旋转则不是圆柱；②错，以其直角边为轴旋转才是圆锥；③错，肯定相交；④正确．
答案 C
二、填空题
7．圆台的两底面半径分别为2 cm和5 cm，母线长为3 cm，则它的轴截面面积为________．
解析 圆台的高h＝＝9(cm)，
S轴截面＝＝63(cm2)．
答案 63 cm2
8．用一张4 cm×8 cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽视不计，则轴截面面积是________．
解析 若圆柱的高为8 cm，则2πr＝4(cm)，
2r＝，轴截面面积S＝8·＝(cm2)，
若圆柱的高为4 cm，则2πr＝8(cm)，
2r＝，轴截面面积S＝4·＝(cm2)，
故答案为 cm2.
答案 cm2
9．始终角梯形上底长为1，下底长为3，高为2，现围着直角梯形的下底旋转一周，所围成的几何体的轴截面的面积为________．
解析 其轴截面由两部分组成其中一个为矩形，一个为三角形，S＝4×1＋×4×2＝8.
答案 8
三、解答题
10.
如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征．
解 如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体．
11．假如一个圆锥的侧面开放图是半圆，求这个圆锥的轴截面的顶角．
解 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
由题意，可得πl＝2πr，∴r＝.
∴轴截面的顶角α满足
sin＝＝，∴＝30°.
∴α＝60°，即圆锥轴截面的顶角为60°.
12．已知一个圆台的母线长是5 cm，上、下底面的面积分别是9π cm2和16π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
解 (1)设圆台的上、下底面半径为r、R，高为h，
则r＝3，R＝4，h＝＝＝
2(cm)；
(2)设圆锥母线长为l′，则＝，即＝，l′＝20(cm)．
思 维 探 究
13．一个圆锥的底面直径为4，高为8，在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)用x表示圆柱的轴截面面积；
(2)当x为何值时，S最大．
解 作出圆锥和内接圆柱的轴截面，设圆柱的底面半径为r.
由三角形相像可得＝，得r＝2－.
(1)圆柱的轴截面面积S＝2rx＝2x＝－x2＋4x，x∈(0,8)
(2)∵S＝－x2＋4x＝－(x－4)2＋8，x∈(0,8)，
∴当x＝4时，S取得最大值8.
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