2022届高三数学一轮总复习基础练习：第二章-函数、导数及其应用2-13-.docx

第十三节　定积分与微积分基本定理(理)
时间：45分钟　分值：100分

一、选择题
1．若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)
A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S3
C．S2<S3<S1 D．S3<S2<S1
解析　本题考查微积分基本定理．
S1＝x2dx＝＝.
S2＝dx＝lnx＝ln2－ln1＝ln2.
S3＝exdx＝ex＝e2－e＝e(e－1)．
令e＝2.7，∴S3>3>S1>S2.故选B.
答案　B
2．(2022·河南联考)已知f(x)＝2－|x|，则
f(x)dx等于(　　)
A．3 B．4
C．3.5 D．4.5
解析　

答案　C

3．如图所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是(　　)
A.
B.(x2－1)dx
C.|x2－1|dx
D.(x2－1)dx＋(x2－1)dx
解析　面积S＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx
＝|x2－1|dx，故选C.
答案　C

4．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为(　　)
A. B.
C. D.
解析　

答案　B
5．一辆汽车在高速大路上行驶，由于遇到紧急状况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车连续行驶的距离(单位：m)是(　　)
A．1＋25ln5 B．8＋25ln
C．4＋25ln5 D．4＋50ln2
解析　令v(t)＝0,7－3t＋＝0
∴3t2－4t－32＝0，∴t＝4，则汽车行驶的距离为v(t)dt＝dt
＝＝7×4－×42＋25ln5－0＝4＋25ln5，故选C.
答案　C

6．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝(x＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析　

答案　C
二、填空题
7．若x2dx＝9，则常数T的值为________．
解析　∵x2dx＝＝＝9，∴T＝3.
答案　3
8．计算：(x2＋)dx＝______.
解析　(x2＋)dx＝x2dx＋dx＝＋π＝＋.
答案　＋
9．已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．
解析　设直线为y＝kx＋b，代入A，B两点，得y＝10x.代入B，C两点，则∴k＝－10，b＝10.
∴f(x)＝
∴y＝xf(x)＝

答案　
三、解答题
10．若f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求dx的值．
解　∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
由(ax＋b)dx＝5，得＝a＋b＝5.①
由xf(x)dx＝，得(ax2＋bx)dx＝.
即＝.
∴a＋b＝.②
解①②，得a＝4，b＝3.∴f(x)＝4x＋3.
于是dx＝dx＝(4＋)dx
＝(4x＋3lnx)＝8＋3ln2－4
＝4＋3ln2.
11．设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在点x＝1处有极值－2.
(1)求常数a，b的值；
(2)求曲线y＝f(x)与x轴所围成的图形的面积．

解　(1)由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f(1)＝－2，且f′(1)＝0，
即
解得
(2)由(1)可知，f(x)＝x3－3x.
作出曲线y＝x3－3x的草图如图，
所求面积为阴影部分的面积，由x3－3x＝0得曲线y＝x3－3x与x轴的交点坐标是(－，0)，(0,0)和(，0)，而y＝x3－3x是R上的奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称．
所以所求图形的面积为

1．(2022·湖南卷)已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且f(x)dx＝0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析　∵
∴－cos＋cosφ＝0.∴cos－cosφ＝0.
∴sinφ－cosφ＝0.∴sin＝0.
∴φ－＝k1π(k1∈Z)．∴φ＝k1π＋(k1∈Z)．
∴f(x)＝sin(k1∈Z)．
由x－k1π－＝k2π＋(k1，k2∈Z)，
得x＝(k1＋k2)π＋π(k1，k2∈Z)，
∴f(x)的对称轴方程为x＝(k1＋k2)π＋π(k1，k2∈Z)．
故x＝为函数f(x)的一条对称轴．
答案　A
2．(2022·湖北卷)若函数f(x)，g(x)满足f(x)·g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：
①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析　对于①，sinx·cosxdx

答案　C
3．曲线y＝＋2x＋2e2x，直线x＝1，x＝e和x轴所围成的区域的面积是________．
解析　

答案　e2e

4．如图所示，过点A(6,4)作曲线f(x)＝的切线l.
(1)求切线l的方程；
(2)求切线l，x轴及曲线f(x)＝所围成的封闭图形的面积S.
解　(1)由f(x)＝，∴f′(x)＝.
又点A(6,4)为切点，∴f′(6)＝，
因此切线方程为y－4＝(x－6)，即x－2y＋2＝0.
(2)令f(x)＝0，则x＝2，即点C(2,0)．
在x－2y＋2＝0中，令y＝0，则x＝－2，
∴点B(－2,0)．