资源描述
第六节 指数与指数函数
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．(2022·山东卷)设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B＝ ( )
A．[0,2] B．(1,3)
C．[1,3) D．(1,4)
解析 由题意，得A＝{x||x－1|<2}＝{x|－1<x<3}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝[1,3)．
答案 C
2．函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )
解析 f(x)＝故选B.
答案 B
3．不论a为何值时，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析 y＝a－2x，令2x－＝0，
得x＝－1，y＝－，∴这个定点是.
答案 C
4．(2022·广东四校联考)若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin，则( )
A．b>c>a B．b>a>c
C．a>b>c D．c>a>b
解析 20.5>20＝1,0＝logπ1<logπ3<logππ＝1，
log2sin<log21＝0.
答案 C
5．(2021·湖北荆门月考)已知a>b>1,0<x<1，以下结论中成立的是( )
A.x>x B．xa>xb
C．logxa>logxb D．logax>logbx
解析 ∵a>b>1,0<x<1，∴0<<<1.
∴x<x，故A不成立；
∵a>b>1,0<x<1，∴xa<xb，故B不成立；
∵a>b>1,0<x<1，
∴logxa<logxb，故C不成立；
∵a>b>1,0<x<1，∴logax>logbx，故D成立．故选D.
答案 D
6．若存在负实数使得方程2x－a＝成立，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,2) D．(0,1)
解析 在同一坐标系内分别作出函数y＝和y＝2x－a的图象知，当a∈(0,2)时符合要求．
答案 C
二、填空题
7．(2022·安徽六校测试)设函数f(x)＝则方程f(x)＝的解集为________．
解析 当x≤0时，解2x＝得x＝－1；当x>0时，解|log2x|＝得x＝或x＝.所以方程f(x)＝的解集为.
答案
8．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．
解析 f(1)＝a2＝，a＝，f(x)＝
∴单调递减区间为[2，＋∞)．
答案 [2，＋∞)
9．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析 令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，若0<a<1，明显y＝ax与y＝x＋a的图象只有一个公共点；若a>1，y＝ax与y＝x＋a的图象如图所示有两个公共点．
答案 (1，＋∞)
三、解答题
10．求下列函数的定义域和值域．
解 (1)明显定义域为R，
∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
且y＝x为减函数．
11．(2021·西安模拟)已知函数f(x)＝a－：
(1)求证：无论a为何实数f(x)总是增函数；
(2)确定a的值，使f(x)为奇函数；
(3)当f(x)为奇函数时，求f(x)的值域．
解 (1)证明：函数f(x)的定义域为R，设x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)
∴f(x)＝－.
(3)由(2)知f(x)＝－.
∵2x＋1>1，∴0<<1.
∴－<－<.
∴f(x)的值域为.
1．偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x，则关于x的方程f(x)＝x在x∈[0,4]上解的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 由f(x－1)＝f(x＋1)可知T＝2.
∵x∈[0,1]时，f(x)＝x，
又∵f(x)是偶函数，
∴可得图象如图．
∴f(x)＝x在x∈[0,4]上解的个数是4个．故选D.
答案 D
2．已知函数f(x)＝是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 ∵函数f(x)＝是定义域上的递减函数，
∴
即
解得<a≤.
答案 B
3．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．
解析 当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.
答案 0
4．已知函数f(x)＝3x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)推断x>0时，f(x)的单调性；
(3)若3tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈恒成立，求m的取值范围．
解 (1)当x≤0时，f(x)＝3x－3x＝0，
∴f(x)＝2无解．
当x>0时，f(x)＝3x－，令3x－＝2.
∴(3x)2－2·3x－1＝0，解得3x＝1±.
∵3x>0，∴3x＝1＋.∴x＝log3(1＋)．
(2)∵y＝3x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)＝3x－在(0，＋∞)上单调递增．
(3)∵t∈，∴f(t)＝3t－>0.
∴3tf(2t)＋mf(t)≥0化为
3t＋m≥0，
即3t＋m≥0，即m≥－32t－1.
令g(t)＝－32t－1，则g(t)在上递减．
∴g(x)max＝－4.
∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
